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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:14 Mi 19.06.2013 | | Autor: | Bonaqa |
| Aufgabe | Prüfen Sie, für welche Werte von a [mm] \in [/mm] IR das folgende LGS in den Unbekannten [mm] x_1,...,x_4 [/mm] über IR lösbar ist und bestimmen Sie ggf alle Lösungen.
[mm] x_1+ax_2+7x_3+6x_4=3a
[/mm]
[mm] -4x_2+10ax_4=-2
[/mm]
[mm] ax_1+(2+4a)x_2+33x_3+39x_4=12a+1
[/mm]
[mm] x_1+ax_2+(6-a)x_3+6x_4=4a [/mm] |
Hallo, ich habe das Gauß-Verfahren angewendet und wollte fragen, ob das Ergebnis richtig ist.
Ich stelle jetzt erstmal nur das Ergebnis online, falls es falsch ist stelle ich auch die Zwischenschritte rein. Ich hoffe ihr könnt mir helfen. :)
[mm] \begin{pmatrix}
1 & a & 7 & 6 & |3a\\
0 & -4 & 0 & 10a & | -2 \\
0 & 0 & -104 & (-30a^2-20a-132) & | -30a \\
0 & 0 & 0 & (30a^2+20a+132) & | 31a
\end{pmatrix}
[/mm]
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Hallo,
> Prüfen Sie, für welche Werte von a [mm]\in[/mm] IR das folgende
> LGS in den Unbekannten [mm]x_1,...,x_4[/mm] über IR lösbar ist und
> bestimmen Sie ggf alle Lösungen.
>
> [mm]x_1+ax_2+7x_3+6x_4=3a[/mm]
>
> [mm]-4x_2+10ax_4=-2[/mm]
>
> [mm]ax_1+(2+4a)x_2+33x_3+39x_4=12a+1[/mm]
>
> [mm]x_1+ax_2+(6-a)x_3+6x_4=4a[/mm]
> Hallo, ich habe das Gauß-Verfahren angewendet und wollte
> fragen, ob das Ergebnis richtig ist.
> Ich stelle jetzt erstmal nur das Ergebnis online, falls es
> falsch ist stelle ich auch die Zwischenschritte rein.
Mache das mal besser direkt. Warum sollte jemand das nachrechnen wollen? Zumal das doch schon ziemlich umfangreich ist?
Schließlich hast du es ja schon gerechnet. Poste das und wir kontrollieren gerne nach ...
> Ich
> hoffe ihr könnt mir helfen. :)
>
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & a & 7 & 6 & |3a\\
0 & -4 & 0 & 10a & | -2 \\
0 & 0 & -104 & (-30a^2-20a-132) & | -30a \\
0 & 0 & 0 & (30a^2+20a+132) & | 31a
\end{pmatrix}[/mm]
>
>
>
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Mi 19.06.2013 | | Autor: | Bonaqa |
[mm] \begin{pmatrix}
1 & a & 7 & 6 & |3a\\
0 & -4 & 0 & 10a & | -2 \\
1 & (2+4a) & 33 & 39 & | 12a+1 \\
1 & a & (6-a) & 6 & | 4a
\end{pmatrix}
[/mm]
1.Schritt III-I und IV-I
[mm] \begin{pmatrix}
1 & a & 7 & 6 & |3a\\
0 & -4 & 0 & 10a & | -2 \\
0 & (3a+2) & 26 & 33 & | 9a+1 \\
0 & 0 & (-a-1) & 0 & | a
\end{pmatrix}
[/mm]
2.Schritt II. * (3a+2) III. * (-4) und dann III-II. am ende habe ich die II. wieder durch (3a+2) geteilt.
[mm] \begin{pmatrix}
1 & a & 7 & 6 & |3a\\
0 & -4 & 0 & 10a & | -2 \\
0 & 0 & -104 & (-30a^2-20a-132) & | -30a \\
0 & 0 & (-a-1) & 0 & | a
\end{pmatrix}
[/mm]
3.Schritt III.*(-a-1) und IV. * (-104) und dann IV-III am ende wieder die dritte Gleichung durch (-a-1) geteilt.
[mm] \begin{pmatrix}
1 & a & 7 & 6 & |3a\\
0 & -4 & 0 & 10a & | -2 \\
0 & 0 & -104 & (-30a^2-20a-132) & | -30a \\
0 & 0 & 0 & 30a^2+20a+132 & | 31a
\end{pmatrix}
[/mm]
da sind jetzt aufjedenfall irgendwelche Fehler drinne, da ich es nur auf ein schmierzettel geschrieben habe konnt ich das auch nicht mehr richtig nach vollziehen aber trotzdem kann mir jmd hier helfen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Mi 19.06.2013 | | Autor: | Bonaqa |
[mm] \begin{pmatrix}
1 & a & 7 & 6 & |3a\\
0 & -4 & 0 & 10a & | -2 \\
1 & (2+4a) & 33 & 39 & | 12a+1 \\
1 & a & (6-a) & 6 & | 4a
\end{pmatrix}
[/mm]
1.Schritt III-I und IV-I
[mm] \begin{pmatrix}
1 & a & 7 & 6 & |3a\\
0 & -4 & 0 & 10a & | -2 \\
0 & (3a+2) & 26 & 33 & | 9a+1 \\
0 & 0 & (-a-1) & 0 & | a
\end{pmatrix}
[/mm]
2.Schritt II. * (3a+2) III. * (-4) und dann III-II. am ende habe ich die II. wieder durch (3a+2) geteilt.
[mm] \begin{pmatrix}
1 & a & 7 & 6 & |3a\\
0 & -4 & 0 & 10a & | -2 \\
0 & 0 & -104 & (-30a^2-20a-132) & | -30a \\
0 & 0 & (-a-1) & 0 & | a
\end{pmatrix}
[/mm]
3.Schritt III.*(-a-1) und IV. * (-104) und dann IV-III am ende wieder die dritte Gleichung durch (-a-1) geteilt.
[mm] \begin{pmatrix}
1 & a & 7 & 6 & |3a\\
0 & -4 & 0 & 10a & | -2 \\
0 & 0 & -104 & (-30a^2-20a-132) & | -30a \\
0 & 0 & 0 & 30a^2+20a+132 & | 31a
\end{pmatrix}
[/mm]
da sind jetzt aufjedenfall irgendwelche Fehler drinn, da ich es nur auf ein schmierzettel geschrieben habe konnt ich das auch nicht mehr richtig nach vollziehen aber trotzdem kann mir jmd hier helfen?
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Hallo nochmal,
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & a & 7 & 6 & |3a\\
0 & -4 & 0 & 10a & | -2 \\
\red{1} & (2+4a) & 33 & 39 & | 12a+1 \\
1 & a & (6-a) & 6 & | 4a
\end{pmatrix}[/mm]
Laut dem geposten GS sollte da ein [mm] $\red [/mm] a$ stehen, damit wird es komplizierter.
Kontrolliere nochmal die Gleichungen im Ausgangspost und die Matrix ...
>
> 1.Schritt III-I
Das klappt dann so nicht ...
> und IV-I
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & a & 7 & 6 & |3a\\
0 & -4 & 0 & 10a & | -2 \\
0 & (3a+2) & 26 & 33 & | 9a+1 \\
0 & 0 & (-a-1) & 0 & | a
\end{pmatrix}[/mm]
>
> 2.Schritt II. * (3a+2) III. * (-4) und dann III-II. am ende
> habe ich die II. wieder durch (3a+2) geteilt.
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & a & 7 & 6 & |3a\\
0 & -4 & 0 & 10a & | -2 \\
0 & 0 & -104 & (-30a^2-20a-132) & | -30a \\
0 & 0 & (-a-1) & 0 & | a
\end{pmatrix}[/mm]
>
> 3.Schritt III.*(-a-1) und IV. * (-104) und dann IV-III am
> ende wieder die dritte Gleichung durch (-a-1) geteilt.
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & a & 7 & 6 & |3a\\
0 & -4 & 0 & 10a & | -2 \\
0 & 0 & -104 & (-30a^2-20a-132) & | -30a \\
0 & 0 & 0 & 30a^2+20a+132 & | 31a
\end{pmatrix}[/mm]
>
> da sind jetzt aufjedenfall irgendwelche Fehler drinne, da
> ich es nur auf ein schmierzettel geschrieben habe konnt ich
> das auch nicht mehr richtig nach vollziehen aber trotzdem
> kann mir jmd hier helfen?
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Mi 19.06.2013 | | Autor: | Bonaqa |
melde mich nacher nochmal ich rechne es eben kurz nochmal.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Mi 19.06.2013 | | Autor: | Bonaqa |
[mm] \begin{pmatrix}
1 & a & 7 & 6 & |3a\\
0 & -4 & 0 & 10a & | -2 \\
a & (2+4a) & 33 & 39 & | 12a+1 \\
1 & a & (6-a) & 6 & | 4a
\end{pmatrix} [/mm]
1.Schritt I.*a dann III-I am ende die erste Gleichung durch a teilen dann IV-I.
[mm] \begin{pmatrix}
1 & a & 7 & 6 & |3a\\
0 & -4 & 0 & 10a & | -2 \\
0 & (-a^2+4a+2) & (-7a+33) & (-6+39) & | (-3a^2+12a+1) \\
0 & 0 & (-a-1) & 0 & | a
\end{pmatrix} [/mm]
2.Schritt II. * [mm] (-a^2+4a+2) [/mm] III. * (-4) dann III-II. und am ende wieder die zweite gleichung durch [mm] (-a^2+4a+2 [/mm] teilen.
[mm] \begin{pmatrix}
1 & a & 7 & 6 & |3a\\
0 & -4 & 0 & 10a & | -2 \\
0 & 0 & (28a+29) & (10a^3-40a^2+4a+156) & | (10a^2-56a-8) \\
0 & 0 & (-a-1) & 0 & | a
\end{pmatrix} [/mm]
ist es bis hierhin richtig? bevor ich weiter rechne. :D
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Hallo nochmal,
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & a & 7 & 6 & |3a\\
0 & -4 & 0 & 10a & | -2 \\
a & (2+4a) & 33 & 39 & | 12a+1 \\
1 & a & (6-a) & 6 & | 4a
\end{pmatrix}[/mm]
>
> 1.Schritt I.*a dann III-I am ende die erste Gleichung
> durch a teilen
Besser III+(-a)*I, sonst musst du a=0 ausschließen ...
Kommt rechnerisch aber auf dasselbe heraus
> dann IV-I.
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & a & 7 & 6 & |3a\\
0 & -4 & 0 & 10a & | -2 \\
0 & (-a^2+4a+2) & (-7a+33) & (\red{-6}+39) & | (-3a^2+12a+1) \\
0 & 0 & (-a-1) & 0 & | a
\end{pmatrix}[/mm]
[mm]\red{-6a}[/mm] meinst du ... Den Rest habe ich auch so.
Wenn du nicht zwingend die ZSF benötigst, kannst du dir möglicherweise die weitere Rechnung etwas vereinfachen.
An der letzten Zeile sieht man, dass es für [mm]a=-1[/mm] keine Lösung gibt, denn dann stünde dort [mm]0=-1[/mm]
Für [mm]a\neq -1[/mm] kannst du durch [mm]-a-1[/mm] teilen und bekommst schonmal [mm]x_3=-\frac{a}{a+1}[/mm]
Das kannst du ja einsetzen und so verwenden ...
>
> 2.Schritt II. * [mm](-a^2+4a+2)[/mm] III. * (-4) dann III-II. und
> am ende wieder die zweite gleichung durch [mm](-a^2+4a+2[/mm]
> teilen.
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & a & 7 & 6 & |3a\\
0 & -4 & 0 & 10a & | -2 \\
0 & 0 & (28a+29) & (10a^3-40a^2+4a+156) & | (10a^2-56a-8) \\
0 & 0 & (-a-1) & 0 & | a
\end{pmatrix}[/mm]
Da habe ich in der 3.Zeile [mm]0 \ \ 0 \ \ 28a-132 \ \ 10a^3-40a^2+4a-156 \ \ \mid \ 10a^2-40a[/mm]
>
>
> ist es bis hierhin richtig? bevor ich weiter rechne. :D
Überprüfe mal den letzten Schritt ...
Oder vllt. den Weg über das Einsetzen von [mm]x_3[/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mi 19.06.2013 | | Autor: | Bonaqa |
ok. nee ich brauch nicht die ZSF hauptsache am ende kommt das richtige Ergebnis raus. sagen wir mal wir machen es über das Einsetzen
wir haben schon gesagt dass es für a = -1 keine Lösung gibt das heißt wir brauchen noch ergebnisse für unendlich viele Lsg und eine eindeutige Lösung richtig?
wenn wir [mm] x_3= -\bruch{a}{a+1} [/mm] haben setzen wir es in die dritte Gleichung rein? also
(28a-132) * [mm] -\bruch{a}{a+1} [/mm] und was dann? :S oder ist der Ansatz auch falsch?
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Hallo nochmal,
ich habe das jetzt mal gerechnet - im Wesentlichen wie du, habe aber vorher mal die 2.Zeile mit 1/2 multipliziert.
Ich komme auf
[mm]\pmat{1&a&7&6&\mid&3a\\0&2&0&-5a&\mid&1\\0&0&66-14a&-5a^3+20a^2-2a+78&\mid&-5a(a-4)\\0&0&-1-a&0&\mid&a}[/mm]
Nun kann man für [mm]a\neq -1[/mm] das [mm]x_3=-\frac{a}{a+1}[/mm] aus Zeile 4 in Zeile 3 einsetzen und erhält dort:
[mm](66-14a)\cdot{}\left(-\frac{a}{a+1}\right)+(-5a^3+20a^2-2a+78)\cdot{}x_4=-5a(a-4)[/mm]
Das sieht nicht schön aus, ich habe es auch nicht weiter gerechnet ...
> ok. nee ich brauch nicht die ZSF hauptsache am ende kommt
> das richtige Ergebnis raus. sagen wir mal wir machen es
> über das Einsetzen
>
> wir haben schon gesagt dass es für a = -1 keine Lösung
> gibt das heißt wir brauchen noch ergebnisse für unendlich
> viele Lsg und eine eindeutige Lösung richtig?
>
> wenn wir [mm]x_3= -\bruch{a}{a+1}[/mm] haben setzen wir es in die
> dritte Gleichung rein?
Jo!
> also
>
> (28a-132) * [mm]-\bruch{a}{a+1}[/mm]
Da fehlen Klammern ...
> und was dann? :S
Im Wesentlichen nach [mm] $x_4$ [/mm] auflösen und dabei noch Fälle unterscheiden ...
Wobei der online-Rechner für [mm] $-5a^3+20a^2-2a+78$ [/mm] nur eine reelle Nullstelle, aber eine ganz "krumme" ausspuckt ...
Möglicherweise habe ich mich verrechnet, gehe deine Rechnung nochmal sorgfältig durch. Das Prozedere haben wir ja dann ...
> oder ist der
> Ansatz auch falsch?
Nö, so sollte das klappen.
Gruß
schachuzipus
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