LGS 2 Parameter < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | für welches lambda, µ hat gleichungssystem
2x + z = lambda
2y + 3z = 0
x + y + µz = 1
a) eine Lösung
b) keine Lösung
c) unendlich viele Lösungen (gib parameterdarstellung des lösungsraumes an) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich komme einfach nicht vorran... hab es schon mit gauß probiert, scheitere aber ständig
kann mir jemand erklären wie das funktioniert, damit ich das verstehe und es auf andere gleichwertige aufgaben anwenden kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Sa 27.03.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hast du denn das LGS mal in die Zeilenstufenform gebracht.
Also
[mm] \pmat{1&1&\mu&|&0\\2&0&1&|&\lambda\\0&2&3&|&0}
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{1&1&\mu&|&0\\0&2&2\mu-1&|&-\lambda\\0&2&3&|&0}
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{1&1&\mu&|&0\\0&2&2\mu-1&|&-\lambda\\0&0&2\mu-4&|&-\lambda}
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{1&1&\mu&|&0\\0&2&2\mu-1&|&-\lambda\\0&0&1&|&-\bruch{\lambda}{2\mu-4}}
[/mm]
Jetzt betrachten wir mal die letzte Zeile.
Wenn da stehen würde 1=0, hättest du keine Lösung. Was heisst dass dann für dieses spezielle LGS? Wann gilt [mm] -\bruch{\lambda}{2\mu-4}=0 [/mm] ? Betrachte diesen Fall mal gesondert.
Und da du im vorletzten Schritt durch einen Parameterhaltigen Term geteilt hast, darf dieser natürlich auch nicht null werden. Betrachte also mal den Fall, in dem [mm] 2\mu-4=0 [/mm] auch gesondert.
Marius
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> Hallo
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> Hast du denn das LGS mal in die Zeilenstufenform gebracht.
>
> Also
>
> [mm]\pmat{1&1&\mu&|&0\\2&0&1&|&\lambda\\0&2&3&|&0}[/mm]
> [mm]\gdw \pmat{1&1&\mu&|&0\\0&2&2\mu-1&|&-\lambda\\0&2&3&|&0}[/mm]
du hast da einen fehler in der ersten Reihe... das muss heißen 1 1 µ | 1
>
> [mm]\gdw \pmat{1&1&\mu&|&0\\0&2&2\mu-1&|&-\lambda\\0&0&2\mu-4&|&-\lambda}[/mm]
>
> [mm]\gdw \pmat{1&1&\mu&|&0\\0&2&2\mu-1&|&-\lambda\\0&0&1&|&-\bruch{\lambda}{2\mu-4}}[/mm]
>
> Jetzt betrachten wir mal die letzte Zeile.
>
> Wenn da stehen würde 1=0, hättest du keine Lösung. Was
> heisst dass dann für dieses spezielle LGS? Wann gilt
> [mm]-\bruch{\lambda}{2\mu-4}=0[/mm] ? Betrachte diesen Fall mal
> gesondert.
>
> Und da du im vorletzten Schritt durch einen
> Parameterhaltigen Term geteilt hast, darf dieser natürlich
> auch nicht null werden. Betrachte also mal den Fall, in dem
> [mm]2\mu-4=0[/mm] auch gesondert.
>
> Marius
hab es mal in Stufenform gebracht und das sieht so bei mir aus:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & µ & | & 1 \\ 0 & 2 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 2 & | & -2+lambda}
[/mm]
das heißt doch ich habe a)
eine Lösung, wenn z = -1 + 1/2 * lambda
oder?
muss ich dann noch x und y angeben?
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> > Hallo
> >
> > Hast du denn das LGS mal in die Zeilenstufenform gebracht.
> >
> > Also
> >
> > [mm]\pmat{1&1&\mu&|&0\\2&0&1&|&\lambda\\0&2&3&|&0}[/mm]
> > [mm]\gdw \pmat{1&1&\mu&|&0\\0&2&2\mu-1&|&-\lambda\\0&2&3&|&0}[/mm]
>
>
> du hast da einen fehler in der ersten Reihe... das muss
> heißen 1 1 µ | 1
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Stimmt! Die 1 ist untergegangen...
>
> >
> > [mm]\gdw \pmat{1&1&\mu&|&0\\0&2&2\mu-1&|&-\lambda\\0&0&2\mu-4&|&-\lambda}[/mm]
>
> >
> > [mm]\gdw \pmat{1&1&\mu&|&0\\0&2&2\mu-1&|&-\lambda\\0&0&1&|&-\bruch{\lambda}{2\mu-4}}[/mm]
>
> >
> > Jetzt betrachten wir mal die letzte Zeile.
> >
> > Wenn da stehen würde 1=0, hättest du keine Lösung. Was
> > heisst dass dann für dieses spezielle LGS? Wann gilt
> > [mm]-\bruch{\lambda}{2\mu-4}=0[/mm] ? Betrachte diesen Fall mal
> > gesondert.
> >
> > Und da du im vorletzten Schritt durch einen
> > Parameterhaltigen Term geteilt hast, darf dieser natürlich
> > auch nicht null werden. Betrachte also mal den Fall, in dem
> > [mm]2\mu-4=0[/mm] auch gesondert.
> >
> > Marius
>
> hab es mal in Stufenform gebracht
Deine ZSF ist nicht richtig. Rechne nochmal.
> und das sieht so bei mir
> aus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & µ & | & 1 \\ 0 & 2 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 2 & | & -2+lambda}[/mm]
Mal angenommen, dies wäre richtig.
Man könnte ablesen:
Rang der Koeffizientenmatrix = Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix, also ist das System lösbar.
Zusätzlich ist der Rang der Koeffizientenmatrix = 3, also hat das System genau eine Löung.
>
> das heißt doch ich habe a)
>
> eine Lösung, wenn z = -1 + 1/2 * lambda
>
> oder?
>
> muss ich dann noch x und y angeben?
Ja klar, die passenden x,y mußt Du auch noch angeben.
Dann kennst Du den Lösungsvektor [mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{...\\...\\-1 + 1/2 * \lambda }
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Deine ZSF ist nicht richtig. Rechne nochmal.
>
hab ich... nun sieht es so aus
[mm] \pmat{ 1 & 1 & m & | & 1 \\ 0 & 2 & 2m-1 & | & 2-\lambda \\ 0 & 0 & 2m-4 & | & 2-\lambda }
[/mm]
m steht für µ
> > und das sieht so bei mir
> > aus:
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 1 & µ & | & 1 \\ 0 & 2 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 2 & | & -2+lambda}[/mm]
>
> Mal angenommen, dies wäre richtig.
> Man könnte ablesen:
>
> Rang der Koeffizientenmatrix = Rang der erweiterten
> Koeffizientenmatrix, also ist das System lösbar.
>
> Zusätzlich ist der Rang der Koeffizientenmatrix = 3, also
> hat das System genau eine Löung.
> >
> > das heißt doch ich habe a)
> >
> > eine Lösung, wenn z = -1 + 1/2 * lambda
> >
> > oder?
> >
> > muss ich dann noch x und y angeben?
>
> Ja klar, die passenden x,y mußt Du auch noch angeben.
>
> Dann kennst Du den Lösungsvektor
> [mm]\vektor{x\\y\\z}=\vektor{...\\...\\-1 + 1/2 * \lambda }[/mm]
>
> Gruß v. Angela
>
mein vektor sieht demnach für (a) so aus:
[mm]\vektor{x\\y\\z}=\vektor{(2\lambda m - 3\lambda-2) : (4m-8) \\ -3/2 * (2-\lambda) : (2m-4)\\ (2-\lambda) : (2m-4) }[/mm]
könnte das stimmen?
wenn es stimmt, was schreib ich dann bezüglich [mm] \lambda [/mm] und µ (steht ja in der aufgabenstellung)
...folglich hätte das LGS keine Lösung, wenn µ = 2 und [mm] \lambda [/mm] ungleich 2
und unendlich viele Lösungen für µ = 2 und [mm] \lambda [/mm] = 2 (aber wie schreibe ich dies in Parameterform?)
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> > Deine ZSF ist nicht richtig. Rechne nochmal.
> >
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> hab ich... nun sieht es so aus
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & m & | & 1 \\ 0 & 2 & 2m-1 & | & 2-\lambda \\ 0 & 0 & 2m-4 & | & 2-\lambda }[/mm]
>
> m steht für µ
>
>
> > > und das sieht so bei mir
> > > aus:
> > >
> > > [mm]\pmat{ 1 & 1 & µ & | & 1 \\ 0 & 2 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 2 & | & -2+lambda}[/mm]
>
> >
> > Mal angenommen, dies wäre richtig.
> > Man könnte ablesen:
> >
> > Rang der Koeffizientenmatrix = Rang der erweiterten
> > Koeffizientenmatrix, also ist das System lösbar.
> >
> > Zusätzlich ist der Rang der Koeffizientenmatrix = 3, also
> > hat das System genau eine Löung.
> > >
> > > das heißt doch ich habe a)
> > >
> > > eine Lösung, wenn z = -1 + 1/2 * lambda
> > >
> > > oder?
> > >
> > > muss ich dann noch x und y angeben?
> >
> > Ja klar, die passenden x,y mußt Du auch noch angeben.
> >
> > Dann kennst Du den Lösungsvektor
> > [mm]\vektor{x\\y\\z}=\vektor{...\\...\\-1 + 1/2 * \lambda }[/mm]
>
> >
> > Gruß v. Angela
> >
Hallo,
Fall1:
sofern [mm] m\not=2, [/mm] ist der Rang der Koeffizientenmatrix =3, man hat also genau eine Lösung, und
>
> mein vektor sieht demnach für (a) so aus:
>
> [mm]\vektor{x\\y\\z}=\vektor{(2\lambda m - 3\lambda-2) : (4m-8) \\ -3/2 * (2-\lambda) : (2m-4)\\ (2-\lambda) : (2m-4) }[/mm]
>
> könnte das stimmen?
Ja.
>
> wenn es stimmt, was schreib ich dann bezüglich [mm]\lambda[/mm] und
> µ (steht ja in der aufgabenstellung)
>
> ...folglich hätte das LGS keine Lösung, wenn µ = 2 und
> [mm]\lambda[/mm] ungleich 2
Richtig.
Schreibe
Fall2: [mm] \mu=2 [/mm] und [mm] \lambda\not=2.
[/mm]
Die Ränge von Koeffizientenmatrix und erweiterter Koeffizientenmatrix stimmen nicht überein, also hat das GS keine Lösung.
Fall3:
> und unendlich viele Lösungen für µ = 2 und [mm]\lambda[/mm] = 2
> (aber wie schreibe ich dies in Parameterform?)
Nimm die entsprechende Matrix, setze [mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda [/mm] ein und bestimme die Lösungsmenge des LGS.
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 & | & 1 \\ 0 & 2 & 3 & | & 0\\ 0 & 0 & 0 & | & 0}
[/mm]
Gruß v. Angela
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super, da bin ich schon mal ein schritt weiter...
> Nimm die entsprechende Matrix, setze [mm]\mu[/mm] und [mm]\lambda[/mm] ein
> und bestimme die Lösungsmenge des LGS.
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 2 & | & 1 \\ 0 & 2 & 3 & | & 0\\ 0 & 0 & 0 & | & 0}[/mm]
>
hab doch jetzt das GS:
x + y + 2z = 1
2y+ 3z = 0
und da soll ich jetzt x, y, z bestimmen, richtig?
ich schieb die zahlen hin und her, aber komm leider nicht drauf :-(
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> super, da bin ich schon mal ein schritt weiter...
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> > Nimm die entsprechende Matrix, setze [mm]\mu[/mm] und [mm]\lambda[/mm] ein
> > und bestimme die Lösungsmenge des LGS.
> > [mm]\pmat{ 1 & 1 & 2 & | & 1 \\ 0 & 2 & 3 & | & 0\\ 0 & 0 & 0 & | & 0}[/mm]
>
> >
>
> hab doch jetzt das GS:
>
> x + y + 2z = 1
> 2y+ 3z = 0
>
> und da soll ich jetzt x, y, z bestimmen, richtig?
>
> ich schieb die zahlen hin und her, aber komm leider nicht
> drauf :-(
Hallo,
zum Lösen von LGSen findest Du übrigens eine Fülle von letztendlich gelösten Aufgaben im Forum.
Ich erklär' Dir, wie man das kochrezeptartig betreiben kann:
die führenden Elemente der Nichtnullzeilen in der ZSF stehen in Spalte 1 und 2.
Also kannst Du die dritte variable frei wählen.
Mit
z=t
erhältst Du aus der zweiten Zeile
y=-1.5t
und aus der ersten
x=1-y-2z=1-0.5t.
Also haben die Lösungen [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] die Gestalt [mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{1-0.5t\\-1.5t\\t}=\vektor{1\\0\\0} [/mm] + [mm] t*\vektor{-0.5\\-1.5\\1},
[/mm]
und dies ist die Lösung in Parameterform.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 So 28.03.2010 | | Autor: | dieBiene85 |
wow... danke alles klar...habs kapiert... wenn man es so sieht, wirkt es eigentlich "simpel"...
super... du hast mir echt wahnsinnig geholfen 
hast aber einen kleinen fehler in der parameterform bei y ... muss doch -1,5 sein, oder?
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> hast aber einen kleinen fehler in der parameterform bei y
> ... muss doch -1,5 sein, oder?
Ja, ich hab's korrigiert.
Gruß v. Angela
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