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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Do 18.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Zu untersuchen gilt das LGS mit dem frei wählbaren Parameter k:
[mm]kx-t=-1[/mm]
[mm]x+y+z+t=4[/mm]
[mm]y+2z+t=4[/mm]
[mm]x-ky-z=0[/mm] |
Hallo alle zusammen.
Also die Lösung hier stellt mich so vor einige Rätsel, folgende Vorgehensweise:
[mm]t=1+kx[/mm]
eingesetzt ergibt das:
[mm]x*(1+k)+y+z=3[/mm]
[mm]kx+y+2z=3[/mm]
[mm]x-ky-z=0[/mm]
Mit Gauss:
[mm]z+y+x*(1+k)=3[/mm]
[mm]-z-ky+x=0[/mm]
[mm]y*(1-k)+x*(2+k)=0[/mm]
[mm]2z+y+kx=3[/mm]
[mm]-2z-2ky+2x=0[/mm]
[mm]y*(1-2k)+x*(k+2)=3[/mm]
bringt man die beiden Zeilen zusammen, also:
[mm]y*(1-k)+x*(2+k)=0[/mm] *(1-2k)
[mm]y*(1-2k)+x*(k+2)=3[/mm]*(k-1)
so ergibt sich:
[mm]x*(2+k)*(1-2k)-x*(k+2)*(1-k)=3*(1-2k)-3*(1-k)[/mm]
ich fasse zusammen:
[mm]x*(2+k)*(-3k)=-3k[/mm]
Gut also mein erster Weg war kurzer Hand zu kürzen und zwar hat mein Endergebnis dann so ausgesehen:
[mm]x*(2+k)=1[/mm]
Somit:
[mm] \exists [/mm] ! Lösung: [mm] k\not= [/mm] -2
[mm] \exists [/mm] keine Lösung: k=-2
ABER: In der Lösung für die Aufgabe stand, dass auch der Paramter k=0 einen Einfluss spielt, somit hätte ich:
[mm] \exists [/mm] ! Lösung: [mm] k\not= [/mm] -2,0
[mm] \exists [/mm] keine Lösung: k=-2
[mm] \exists \infty [/mm] k = 0
Ich frage mich nun, wieso spielt hier die k=0 Lösung eine Rolle. Wenn ich das Gleichungssystem auflöse so bekomme ich folgende Werte heraus:
x = 3/(k + 2) ∧ y = 0 ∧ z = 3/(k + 2) ∧ t = 2·(2·k + 1)/(k + 2)
Wie ihr seht, wenn ich hier irgendwo für k=0 einsetze so eliminiert sich kein Therm.
Ist jetzt das k=0 eine falsche Lösung oder ist es doch richtig, aber wenn es richtig ist, wo kommt es zur Geltung?
Allgemein: Wenn ich in so einer Situation mit Gauss bin, also:
[mm]x*(2+k)*(-3k)=-3k[/mm]
und kürze, verliere ich hierbei Lösungen oder nicht?
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Do 18.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schreib das ganze mal in ein LGS, und forme mit Gauss um.
Also:
[mm] \vmat{kx-t=-1\\x+y+z+t=4\\y+2z+t=4\\x-ky-z=0}
[/mm]
[mm] \gdw \vmat{kx+0y+0z-1t=-1\\x+y+z+t=4\\0x+y+2z+t=4\\x-ky-z+0t=0}
[/mm]
Das ganze in Matrixschreibweise:
[mm] \pmat{1&0&0&-1&|&-1\\1&1&1&1&|&4\\0&1&2&1&|&4\\1&-k&-1&0&|&0}
[/mm]
Diese Matrix bringe nun mal auf die Dreiecksgestalt. Um es einfacher zu machen, vertausche mal die Zeilen wie folgt:
[mm] \gdw\pmat{1&1&1&1&|&4\\1&0&0&-1&|&-1\\1&-k&-1&0&|&0\\0&1&2&1&|&4}
[/mm]
[mm] \gdw\pmat{1&1&1&1&|&4\\1&-k&-1&0&|&0\\1&0&0&-1&|&-1\\0&1&2&1&|&4}
[/mm]
Jedesmal, wenn du jetzt (oder beim Umformen) einen Eintrag e der Matrix mit dem Parameter k hast, musst du diesen auf e=0 untersuchen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Do 18.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo
>
> Schreib das ganze mal in ein LGS, und forme mit Gauss um.
>
> Also:
>
> [mm]\vmat{kx-t=-1\\x+y+z+t=4\\y+2z+t=4\\x-ky-z=0}[/mm]
> [mm]\gdw \vmat{kx+0y+0z-1t=-1\\x+y+z+t=4\\0x+y+2z+t=4\\x-ky-z+0t=0}[/mm]
>
> Das ganze in Matrixschreibweise:
>
> [mm]\pmat{1&0&0&-1&|&-1\\1&1&1&1&|&4\\0&1&2&1&|&4\\1&-k&-1&0&|&0}[/mm]
>
> Diese Matrix bringe nun mal auf die Dreiecksgestalt. Um es
> einfacher zu machen, vertausche mal die Zeilen wie folgt:
>
> [mm]\gdw\pmat{1&1&1&1&|&4\\1&0&0&-1&|&-1\\1&-k&-1&0&|&0\\0&1&2&1&|&4}[/mm]
>
> [mm]\gdw\pmat{1&1&1&1&|&4\\1&-k&-1&0&|&0\\1&0&0&-1&|&-1\\0&1&2&1&|&4}[/mm]
>
> Jedesmal, wenn du jetzt (oder beim Umformen) einen Eintrag
> e der Matrix mit dem Parameter k hast, musst du diesen auf
> e=0 untersuchen.
>
> Marius
Ehrlich gesagt, ich habe es zu Beginn immer mit einer Matrix versucht, ich arbeite aber lieber ohne und mit der Vorgehensweise welche ich bereits beschrieben habe. Dort habe ich ja auch meine Zeilenstufen-Form bereits berechnet und eben aus diesem Resultat meine Frage gestellt.
Weiters bleibt mir immer noch offen:
> Allgemein: Wenn ich in so einer Situation mit Gauss bin, also:
[mm]x*(2+k)*(-3k)=-3k[/mm]
> und kürze, verliere ich hierbei Lösungen oder nicht?
Dankesehr
lg
Zuggel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Do 18.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wann immer du durch eine Variable teilst, was du hier tust, musst du ausschliessen, dass sie Null ist, und wenn du das wie hier nicht kannst, musst du eine Fallunterscheidung machen. Also hier:
$ [mm] x\cdot{}(2+k)\cdot{}(-3k)=-3k [/mm] $
Du teilst durch 3k, also mache die Fallunterschidung 3k=0 und [mm] 3k\ne0
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 Fr 19.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
Dankesehr ;)
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