LGS < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Di 02.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Zu untersuchen ist folgendes LGS mit dem frei wählbaren Parameter [mm] \alpha \in \IR:
[/mm]
[mm] x-2y+z=\alpha
[/mm]
[mm] \alpha*x+3*y+2*z=0
[/mm]
[mm] (2+\alpha)*x-y+4*z=2*\alpha [/mm] |
Hallo alle zusammen, also folgendes:
Ich bringe 1. und 2. Zeile in Abhängigkeit voneinander (ich arbeite mit Gauss)
x- 2y + z = [mm] \alpha [/mm] + 0 [mm] *(\alpha)
[/mm]
[mm] \alpha*x+3*y+2*z=0 [/mm] *-1
=
[mm] -y*(2*\alpha+3)+z*(\alpha-2)=\alpha²
[/mm]
Und nun 1. und letzte Zeile:
[mm] x-2y+z=\alpha [/mm] +0 [mm] *(2+\alpha)
[/mm]
[mm] (2+\alpha)*x-y+4*z=2*\alpha [/mm] *(-1)
=
[mm] -y*(2*\alpha+3)+z*(\alpha-2)=\alpha²
[/mm]
Ich sehe nun, dass die beiden Resultierenden Gleichungen die Selben sind, somit weiß ich, von den 3 Ausgangsgleichungen sind 2 lin. voneinander abhängig.
Also ist dieses System nur lösbar, wenn ich z.B. z=t mit t [mm] \in \IR, [/mm] also z einen Parameter zuweiße, mit welchem ich das System lösen kann. Nun muss ich noch schauen, hat das System [mm] \infty^{1} [/mm] oder [mm] \infty² [/mm] Lösungen:
(*) Ich löse mit z=t die Ausgangsgleichung und nehme die 1. zeile her:
x= [mm] \alpha [/mm] -t +2*y
und setzte dies in die 2. Zeile ein:
y= [mm] \bruch{\alpha*t-2*t-\alpha²}{2*\alpha+3}
[/mm]
Nun sehe ich, für [mm] \lpha=-2/3 [/mm] kann ich das System nicht lösen.
Also wäre die richtige Schlussfolgerung:
Das System hat [mm] \infty^{1} [/mm] Lösungen für [mm] \alpha \not [/mm] -3/2 und es existiert keine Lösung für [mm] \alpha=-3/2, [/mm] oder?
Weitere Frage:
Nochaml zurück zur 2. Zeile - also das Auflösen mit z=t ... (siehe *):
y= [mm] \bruch{\alpha*t-2*t-\alpha²}{2*\alpha+3}
[/mm]
kann man auch sehen als:
[mm] y*(2*\alpha+3)= \alpha*t-2*t-\alpha²
[/mm]
Nehmen wir an, hier bie der Gleichung darober, würde für ein [mm] \alpha [/mm] 0=0 herauskommen, hätte ich dann den Fall, dass ich [mm] \infty² [/mm] Lösungen habe?
Dankeschön
lg
Zuggel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Di 02.12.2008 | | Autor: | Dath |
Warum denn Gauss?
man kann das LGS auch einfacher lösen, mit Additionsverfahren, Einsetzverfahren etc.
Ich versteh irgendwie nicht ganz, warum du unbedingt nach [mm]\alpha[/mm] auflösen willst.
Beim LGS geht es doch eigentlich darum, x,y und z herauszufinden.
Dieser Parameter ist, wie der Name schon sagt, synonym für eine Zahl. D.h, du betrachtest ihn wie eine Zahl und löst konsequent auf. (Wie ein Computer)
Ich hoffe, das hilft dir ein bisschen!
Viele Grüße,
Dath
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Di 02.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
Weil man mit Gauss bei anderen LGS 4x4 usw schneller ist, meines erachtens nach :)
Jedenfalls, ich habe ja am Ende auf x,y aufgelöst, mein Problem liegt in der Wahl des Parameters welcher bei der Lösung doch eine erhebliche Rolle spielt :)
|
|
|
| |
|
Hallo Zuggel,
> Zu untersuchen ist folgendes LGS mit dem frei wählbaren
> Parameter [mm]\alpha \in \IR:[/mm]
>
> [mm]x-2y+z=\alpha[/mm]
> [mm]\alpha*x+3*y+2*z=0[/mm]
> [mm](2+\alpha)*x-y+4*z=2*\alpha[/mm]
> Hallo alle zusammen, also folgendes:
>
> Ich bringe 1. und 2. Zeile in Abhängigkeit voneinander (ich
> arbeite mit Gauss)
>
> x- 2y + z = [mm]\alpha[/mm] + 0 [mm]*(\alpha)[/mm]
> [mm]\alpha*x+3*y+2*z=0[/mm] *-1
>
> =
>
> [mm]-y*(2*\alpha+3)+z*(\alpha-2)=\alpha²[/mm]
>
>
> Und nun 1. und letzte Zeile:
>
> [mm]x-2y+z=\alpha[/mm] +0 [mm]*(2+\alpha)[/mm]
> [mm](2+\alpha)*x-y+4*z=2*\alpha[/mm] *(-1)
>
> =
>
> [mm]-y*(2*\alpha+3)+z*(\alpha-2)=\alpha²[/mm]
>
> Ich sehe nun, dass die beiden Resultierenden Gleichungen
> die Selben sind, somit weiß ich, von den 3
> Ausgangsgleichungen sind 2 lin. voneinander abhängig.
> Also ist dieses System nur lösbar, wenn ich z.B. z=t mit t
> [mm]\in \IR,[/mm] also z einen Parameter zuweiße, mit welchem ich
> das System lösen kann. Nun muss ich noch schauen, hat das
> System [mm]\infty^{1}[/mm] oder [mm]\infty²[/mm] Lösungen:
>
> (*) Ich löse mit z=t die Ausgangsgleichung und nehme die 1.
> zeile her:
>
> x= [mm]\alpha[/mm] -t +2*y
>
> und setzte dies in die 2. Zeile ein:
>
> y= [mm]\bruch{\alpha*t-2*t-\alpha²}{2*\alpha+3}[/mm]
>
> Nun sehe ich, für [mm]\lpha=-2/3[/mm] kann ich das System nicht
> lösen.
>
> Also wäre die richtige Schlussfolgerung:
>
> Das System hat [mm]\infty^{1}[/mm] Lösungen für [mm]\alpha \not[/mm] -3/2 und
> es existiert keine Lösung für [mm]\alpha=-3/2,[/mm] oder?
>
Für [mm]\alpha=-\bruch{3}{2}[/mm] kannst Du aber nach Variable z auflösen
und y als frei wählbaren Parameter t setzen.
>
>
>
> Weitere Frage:
>
> Nochaml zurück zur 2. Zeile - also das Auflösen mit z=t ...
> (siehe *):
>
> y= [mm]\bruch{\alpha*t-2*t-\alpha²}{2*\alpha+3}[/mm]
>
> kann man auch sehen als:
>
> [mm]y*(2*\alpha+3)= \alpha*t-2*t-\alpha²[/mm]
>
>
> Nehmen wir an, hier bie der Gleichung darober, würde für
> ein [mm]\alpha[/mm] 0=0 herauskommen, hätte ich dann den Fall, dass
> ich [mm]\infty²[/mm] Lösungen habe?
>
Ja, Du hast ja dann zwei frei wählbare Parameter.
>
> Dankeschön
>
> lg
> Zuggel
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Di 02.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo Zuggel,
>
> > Zu untersuchen ist folgendes LGS mit dem frei wählbaren
> > Parameter [mm]\alpha \in \IR:[/mm]
> >
> > [mm]x-2y+z=\alpha[/mm]
> > [mm]\alpha*x+3*y+2*z=0[/mm]
> > [mm](2+\alpha)*x-y+4*z=2*\alpha[/mm]
> > Hallo alle zusammen, also folgendes:
> >
> > Ich bringe 1. und 2. Zeile in Abhängigkeit voneinander (ich
> > arbeite mit Gauss)
> >
> > x- 2y + z = [mm]\alpha[/mm] + 0 [mm]*(\alpha)[/mm]
> > [mm]\alpha*x+3*y+2*z=0[/mm] *-1
> >
> > =
> >
> > [mm]-y*(2*\alpha+3)+z*(\alpha-2)=\alpha²[/mm]
> >
> >
> > Und nun 1. und letzte Zeile:
> >
> > [mm]x-2y+z=\alpha[/mm] +0 [mm]*(2+\alpha)[/mm]
> > [mm](2+\alpha)*x-y+4*z=2*\alpha[/mm] *(-1)
> >
> > =
> >
> > [mm]-y*(2*\alpha+3)+z*(\alpha-2)=\alpha²[/mm]
> >
> > Ich sehe nun, dass die beiden Resultierenden Gleichungen
> > die Selben sind, somit weiß ich, von den 3
> > Ausgangsgleichungen sind 2 lin. voneinander abhängig.
> > Also ist dieses System nur lösbar, wenn ich z.B. z=t
> mit t
> > [mm]\in \IR,[/mm] also z einen Parameter zuweiße, mit welchem ich
> > das System lösen kann. Nun muss ich noch schauen, hat das
> > System [mm]\infty^{1}[/mm] oder [mm]\infty²[/mm] Lösungen:
> >
> > (*) Ich löse mit z=t die Ausgangsgleichung und nehme die 1.
> > zeile her:
> >
> > x= [mm]\alpha[/mm] -t +2*y
> >
> > und setzte dies in die 2. Zeile ein:
> >
> > y= [mm]\bruch{\alpha*t-2*t-\alpha²}{2*\alpha+3}[/mm]
> >
> > Nun sehe ich, für [mm]\lpha=-2/3[/mm] kann ich das System nicht
> > lösen.
> >
> > Also wäre die richtige Schlussfolgerung:
> >
> > Das System hat [mm]\infty^{1}[/mm] Lösungen für [mm]\alpha \not[/mm] -3/2 und
> > es existiert keine Lösung für [mm]\alpha=-3/2,[/mm] oder?
> >
>
>
> Für [mm]\alpha=-\bruch{3}{2}[/mm] kannst Du aber nach Variable z
> auflösen
> und y als frei wählbaren Parameter t setzen.
>
Ist das nicht so anzusehen, dass ich aufgrund meiner Wahl: z=t auf dieses Problem gestoßen bin und somit dies zu berücksichtigen ist? Also es eine Folge von z=t ist und als Bedingung anzusehen ist bei der Lösung?
>
> >
> >
> >
> > Weitere Frage:
> >
> > Nochaml zurück zur 2. Zeile - also das Auflösen mit z=t ...
> > (siehe *):
> >
> > y= [mm]\bruch{\alpha*t-2*t-\alpha²}{2*\alpha+3}[/mm]
> >
> > kann man auch sehen als:
> >
> > [mm]y*(2*\alpha+3)= \alpha*t-2*t-\alpha²[/mm]
> >
> >
> > Nehmen wir an, hier bie der Gleichung darober, würde für
> > ein [mm]\alpha[/mm] 0=0 herauskommen, hätte ich dann den Fall, dass
> > ich [mm]\infty²[/mm] Lösungen habe?
> >
>
>
> Ja, Du hast ja dann zwei frei wählbare Parameter.
>
Ok, Danke :)
lg
Zuggel
|
|
|
| |
|
Hallo Zuggel,
> > Hallo Zuggel,
> >
> > > Zu untersuchen ist folgendes LGS mit dem frei wählbaren
> > > Parameter [mm]\alpha \in \IR:[/mm]
> > >
> > > [mm]x-2y+z=\alpha[/mm]
> > > [mm]\alpha*x+3*y+2*z=0[/mm]
> > > [mm](2+\alpha)*x-y+4*z=2*\alpha[/mm]
> > > Hallo alle zusammen, also folgendes:
> > >
> > > Ich bringe 1. und 2. Zeile in Abhängigkeit voneinander (ich
> > > arbeite mit Gauss)
> > >
> > > x- 2y + z = [mm]\alpha[/mm] + 0 [mm]*(\alpha)[/mm]
> > > [mm]\alpha*x+3*y+2*z=0[/mm] *-1
> > >
> > > =
> > >
> > > [mm]-y*(2*\alpha+3)+z*(\alpha-2)=\alpha²[/mm]
> > >
> > >
> > > Und nun 1. und letzte Zeile:
> > >
> > > [mm]x-2y+z=\alpha[/mm] +0 [mm]*(2+\alpha)[/mm]
> > > [mm](2+\alpha)*x-y+4*z=2*\alpha[/mm] *(-1)
> > >
> > > =
> > >
> > > [mm]-y*(2*\alpha+3)+z*(\alpha-2)=\alpha²[/mm]
> > >
> > > Ich sehe nun, dass die beiden Resultierenden Gleichungen
> > > die Selben sind, somit weiß ich, von den 3
> > > Ausgangsgleichungen sind 2 lin. voneinander abhängig.
> > > Also ist dieses System nur lösbar, wenn ich z.B. z=t
> > mit t
> > > [mm]\in \IR,[/mm] also z einen Parameter zuweiße, mit welchem ich
> > > das System lösen kann. Nun muss ich noch schauen, hat das
> > > System [mm]\infty^{1}[/mm] oder [mm]\infty²[/mm] Lösungen:
> > >
> > > (*) Ich löse mit z=t die Ausgangsgleichung und nehme die 1.
> > > zeile her:
> > >
> > > x= [mm]\alpha[/mm] -t +2*y
> > >
> > > und setzte dies in die 2. Zeile ein:
> > >
> > > y= [mm]\bruch{\alpha*t-2*t-\alpha²}{2*\alpha+3}[/mm]
> > >
> > > Nun sehe ich, für [mm]\lpha=-2/3[/mm] kann ich das System nicht
> > > lösen.
> > >
> > > Also wäre die richtige Schlussfolgerung:
> > >
> > > Das System hat [mm]\infty^{1}[/mm] Lösungen für [mm]\alpha \not[/mm] -3/2 und
> > > es existiert keine Lösung für [mm]\alpha=-3/2,[/mm] oder?
> > >
> >
> >
> > Für [mm]\alpha=-\bruch{3}{2}[/mm] kannst Du aber nach Variable z
> > auflösen
> > und y als frei wählbaren Parameter t setzen.
> >
>
>
> Ist das nicht so anzusehen, dass ich aufgrund meiner Wahl:
> z=t auf dieses Problem gestoßen bin und somit dies zu
> berücksichtigen ist? Also es eine Folge von z=t ist und als
> Bedingung anzusehen ist bei der Lösung?
>
>
Nein, das Problem ist schon viel früher entstanden.
Und zwar hängt das mit den Eliminationsschritten zusammen.
Beginn mit der Elimination am besten mit der Spalte,
die frei von dem Parameter [mm]\alpha[/mm] ist.
>
>
> >
> > >
> > >
> > >
> > > Weitere Frage:
> > >
> > > Nochaml zurück zur 2. Zeile - also das Auflösen mit z=t ...
> > > (siehe *):
> > >
> > > y= [mm]\bruch{\alpha*t-2*t-\alpha²}{2*\alpha+3}[/mm]
> > >
> > > kann man auch sehen als:
> > >
> > > [mm]y*(2*\alpha+3)= \alpha*t-2*t-\alpha²[/mm]
> > >
> > >
> > > Nehmen wir an, hier bie der Gleichung darober, würde für
> > > ein [mm]\alpha[/mm] 0=0 herauskommen, hätte ich dann den Fall, dass
> > > ich [mm]\infty²[/mm] Lösungen habe?
> > >
> >
> >
> > Ja, Du hast ja dann zwei frei wählbare Parameter.
> >
>
> Ok, Danke :)
>
>
>
> lg
> Zuggel
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo Zuggel,
>
> > > Hallo Zuggel,
> > >
> > > > Zu untersuchen ist folgendes LGS mit dem frei wählbaren
> > > > Parameter [mm]\alpha \in \IR:[/mm]
> > > >
> > > > [mm]x-2y+z=\alpha[/mm]
> > > > [mm]\alpha*x+3*y+2*z=0[/mm]
> > > > [mm](2+\alpha)*x-y+4*z=2*\alpha[/mm]
> > > > Hallo alle zusammen, also folgendes:
> > > >
> > > > Ich bringe 1. und 2. Zeile in Abhängigkeit voneinander (ich
> > > > arbeite mit Gauss)
> > > >
> > > > x- 2y + z = [mm]\alpha[/mm] + 0 [mm]*(\alpha)[/mm]
> > > > [mm]\alpha*x+3*y+2*z=0[/mm] *-1
> > > >
> > > > =
> > > >
> > > > [mm]-y*(2*\alpha+3)+z*(\alpha-2)=\alpha²[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > Und nun 1. und letzte Zeile:
> > > >
> > > > [mm]x-2y+z=\alpha[/mm] +0 [mm]*(2+\alpha)[/mm]
> > > > [mm](2+\alpha)*x-y+4*z=2*\alpha[/mm] *(-1)
> > > >
> > > > =
> > > >
> > > > [mm]-y*(2*\alpha+3)+z*(\alpha-2)=\alpha²[/mm]
> > > >
> > > > Ich sehe nun, dass die beiden Resultierenden Gleichungen
> > > > die Selben sind, somit weiß ich, von den 3
> > > > Ausgangsgleichungen sind 2 lin. voneinander abhängig.
> > > > Also ist dieses System nur lösbar, wenn ich z.B.
> z=t
> > > mit t
> > > > [mm]\in \IR,[/mm] also z einen Parameter zuweiße, mit welchem ich
> > > > das System lösen kann. Nun muss ich noch schauen, hat das
> > > > System [mm]\infty^{1}[/mm] oder [mm]\infty²[/mm] Lösungen:
> > > >
> > > > (*) Ich löse mit z=t die Ausgangsgleichung und nehme die 1.
> > > > zeile her:
> > > >
> > > > x= [mm]\alpha[/mm] -t +2*y
> > > >
> > > > und setzte dies in die 2. Zeile ein:
> > > >
> > > > y= [mm]\bruch{\alpha*t-2*t-\alpha²}{2*\alpha+3}[/mm]
> > > >
> > > > Nun sehe ich, für [mm]\lpha=-2/3[/mm] kann ich das System nicht
> > > > lösen.
> > > >
> > > > Also wäre die richtige Schlussfolgerung:
> > > >
> > > > Das System hat [mm]\infty^{1}[/mm] Lösungen für [mm]\alpha \not[/mm] -3/2 und
> > > > es existiert keine Lösung für [mm]\alpha=-3/2,[/mm] oder?
> > > >
> > >
> > >
> > > Für [mm]\alpha=-\bruch{3}{2}[/mm] kannst Du aber nach Variable z
> > > auflösen
> > > und y als frei wählbaren Parameter t setzen.
> > >
> >
> >
> > Ist das nicht so anzusehen, dass ich aufgrund meiner Wahl:
> > z=t auf dieses Problem gestoßen bin und somit dies zu
> > berücksichtigen ist? Also es eine Folge von z=t ist und als
> > Bedingung anzusehen ist bei der Lösung?
> >
> >
>
>
> Nein, das Problem ist schon viel früher entstanden.
>
> Und zwar hängt das mit den Eliminationsschritten zusammen.
>
> Beginn mit der Elimination am besten mit der Spalte,
> die frei von dem Parameter [mm]\alpha[/mm] ist.
>
Hallo :)
Sollte man das immer tun oder wäre das nur hier in diesem Fall zu empfehlen? Ich versuche mir schlimmsten Falls die Parameter immer so zu Recht zu rücken, dass das System für mich leichter lösbar wird.
lg
Zuggel
PS: Entschuldige meine verspätete Antwort
|
|
|
| |
|
Hallo Zuggel,
> > Hallo Zuggel,
> >
> > > > Hallo Zuggel,
> > > >
> > > > > Zu untersuchen ist folgendes LGS mit dem frei wählbaren
> > > > > Parameter [mm]\alpha \in \IR:[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]x-2y+z=\alpha[/mm]
> > > > > [mm]\alpha*x+3*y+2*z=0[/mm]
> > > > > [mm](2+\alpha)*x-y+4*z=2*\alpha[/mm]
> > > > > Hallo alle zusammen, also folgendes:
> > > > >
> > > > > Ich bringe 1. und 2. Zeile in Abhängigkeit voneinander (ich
> > > > > arbeite mit Gauss)
> > > > >
> > > > > x- 2y + z = [mm]\alpha[/mm] + 0 [mm]*(\alpha)[/mm]
> > > > > [mm]\alpha*x+3*y+2*z=0[/mm] *-1
> > > > >
> > > > > =
> > > > >
> > > > > [mm]-y*(2*\alpha+3)+z*(\alpha-2)=\alpha²[/mm]
> > > > >
> > > > >
> > > > > Und nun 1. und letzte Zeile:
> > > > >
> > > > > [mm]x-2y+z=\alpha[/mm] +0 [mm]*(2+\alpha)[/mm]
> > > > > [mm](2+\alpha)*x-y+4*z=2*\alpha[/mm] *(-1)
> > > > >
> > > > > =
> > > > >
> > > > > [mm]-y*(2*\alpha+3)+z*(\alpha-2)=\alpha²[/mm]
> > > > >
> > > > > Ich sehe nun, dass die beiden Resultierenden Gleichungen
> > > > > die Selben sind, somit weiß ich, von den 3
> > > > > Ausgangsgleichungen sind 2 lin. voneinander abhängig.
> > > > > Also ist dieses System nur lösbar, wenn ich
> z.B.
> > z=t
> > > > mit t
> > > > > [mm]\in \IR,[/mm] also z einen Parameter zuweiße, mit welchem ich
> > > > > das System lösen kann. Nun muss ich noch schauen, hat das
> > > > > System [mm]\infty^{1}[/mm] oder [mm]\infty²[/mm] Lösungen:
> > > > >
> > > > > (*) Ich löse mit z=t die Ausgangsgleichung und nehme die 1.
> > > > > zeile her:
> > > > >
> > > > > x= [mm]\alpha[/mm] -t +2*y
> > > > >
> > > > > und setzte dies in die 2. Zeile ein:
> > > > >
> > > > > y= [mm]\bruch{\alpha*t-2*t-\alpha²}{2*\alpha+3}[/mm]
> > > > >
> > > > > Nun sehe ich, für [mm]\lpha=-2/3[/mm] kann ich das System nicht
> > > > > lösen.
> > > > >
> > > > > Also wäre die richtige Schlussfolgerung:
> > > > >
> > > > > Das System hat [mm]\infty^{1}[/mm] Lösungen für [mm]\alpha \not[/mm] -3/2 und
> > > > > es existiert keine Lösung für [mm]\alpha=-3/2,[/mm] oder?
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Für [mm]\alpha=-\bruch{3}{2}[/mm] kannst Du aber nach Variable z
> > > > auflösen
> > > > und y als frei wählbaren Parameter t setzen.
> > > >
> > >
> > >
> > > Ist das nicht so anzusehen, dass ich aufgrund meiner Wahl:
> > > z=t auf dieses Problem gestoßen bin und somit dies zu
> > > berücksichtigen ist? Also es eine Folge von z=t ist und als
> > > Bedingung anzusehen ist bei der Lösung?
> > >
> > >
> >
> >
> > Nein, das Problem ist schon viel früher entstanden.
> >
> > Und zwar hängt das mit den Eliminationsschritten zusammen.
> >
> > Beginn mit der Elimination am besten mit der Spalte,
> > die frei von dem Parameter [mm]\alpha[/mm] ist.
> >
>
> Hallo :)
>
> Sollte man das immer tun oder wäre das nur hier in diesem
> Fall zu empfehlen? Ich versuche mir schlimmsten Falls die
> Parameter immer so zu Recht zu rücken, dass das System für
> mich leichter lösbar wird.
Das sollte man natürlich immer tun.
>
> lg
> Zuggel
>
> PS: Entschuldige meine verspätete Antwort
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Do 04.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo Zuggel,
>
> > > Hallo Zuggel,
> > >
> > > > > Hallo Zuggel,
> > > > >
> > > > > > Zu untersuchen ist folgendes LGS mit dem frei wählbaren
> > > > > > Parameter [mm]\alpha \in \IR:[/mm]
> > > > > >
> > > > > > [mm]x-2y+z=\alpha[/mm]
> > > > > > [mm]\alpha*x+3*y+2*z=0[/mm]
> > > > > > [mm](2+\alpha)*x-y+4*z=2*\alpha[/mm]
> > > > > > Hallo alle zusammen, also folgendes:
> > > > > >
> > > > > > Ich bringe 1. und 2. Zeile in Abhängigkeit voneinander (ich
> > > > > > arbeite mit Gauss)
> > > > > >
> > > > > > x- 2y + z = [mm]\alpha[/mm] + 0 [mm]*(\alpha)[/mm]
> > > > > > [mm]\alpha*x+3*y+2*z=0[/mm] *-1
> > > > > >
> > > > > > =
> > > > > >
> > > > > > [mm]-y*(2*\alpha+3)+z*(\alpha-2)=\alpha²[/mm]
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Und nun 1. und letzte Zeile:
> > > > > >
> > > > > > [mm]x-2y+z=\alpha[/mm] +0 [mm]*(2+\alpha)[/mm]
> > > > > > [mm](2+\alpha)*x-y+4*z=2*\alpha[/mm] *(-1)
> > > > > >
> > > > > > =
> > > > > >
> > > > > > [mm]-y*(2*\alpha+3)+z*(\alpha-2)=\alpha²[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Ich sehe nun, dass die beiden Resultierenden Gleichungen
> > > > > > die Selben sind, somit weiß ich, von den 3
> > > > > > Ausgangsgleichungen sind 2 lin. voneinander abhängig.
> > > > > > Also ist dieses System nur lösbar, wenn ich
> > z.B.
> > > z=t
> > > > > mit t
> > > > > > [mm]\in \IR,[/mm] also z einen Parameter zuweiße, mit welchem ich
> > > > > > das System lösen kann. Nun muss ich noch schauen, hat das
> > > > > > System [mm]\infty^{1}[/mm] oder [mm]\infty²[/mm] Lösungen:
> > > > > >
> > > > > > (*) Ich löse mit z=t die Ausgangsgleichung und nehme die 1.
> > > > > > zeile her:
> > > > > >
> > > > > > x= [mm]\alpha[/mm] -t +2*y
> > > > > >
> > > > > > und setzte dies in die 2. Zeile ein:
> > > > > >
> > > > > > y= [mm]\bruch{\alpha*t-2*t-\alpha²}{2*\alpha+3}[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Nun sehe ich, für [mm]\lpha=-2/3[/mm] kann ich das System nicht
> > > > > > lösen.
> > > > > >
> > > > > > Also wäre die richtige Schlussfolgerung:
> > > > > >
> > > > > > Das System hat [mm]\infty^{1}[/mm] Lösungen für [mm]\alpha \not[/mm] -3/2 und
> > > > > > es existiert keine Lösung für [mm]\alpha=-3/2,[/mm] oder?
> > > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Für [mm]\alpha=-\bruch{3}{2}[/mm] kannst Du aber nach Variable z
> > > > > auflösen
> > > > > und y als frei wählbaren Parameter t setzen.
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Ist das nicht so anzusehen, dass ich aufgrund meiner Wahl:
> > > > z=t auf dieses Problem gestoßen bin und somit dies zu
> > > > berücksichtigen ist? Also es eine Folge von z=t ist und als
> > > > Bedingung anzusehen ist bei der Lösung?
> > > >
> > > >
> > >
> > >
> > > Nein, das Problem ist schon viel früher entstanden.
> > >
> > > Und zwar hängt das mit den Eliminationsschritten zusammen.
> > >
> > > Beginn mit der Elimination am besten mit der Spalte,
> > > die frei von dem Parameter [mm]\alpha[/mm] ist.
> > >
> >
> > Hallo :)
> >
> > Sollte man das immer tun oder wäre das nur hier in diesem
> > Fall zu empfehlen? Ich versuche mir schlimmsten Falls die
> > Parameter immer so zu Recht zu rücken, dass das System für
> > mich leichter lösbar wird.
>
>
> Das sollte man natürlich immer tun.
Ok Danke!
Eine Frage bleibt mir aber noch: Sollte ich wieder in so einen Fall kommen, dass die letzte Zeile sich streicht oder dass nicht nur die letzte, sondern auch die vorletzte Zeile auf meinen frei wählbaren Parameter Einfluss haben, muss ich davon ausgehen, dass ich durch das Auflösen nach [mm] \alpha [/mm] (oder wie auch immer) mich in diese Situation gebracht habe oder es efektiv so ist?
Was ich damit meine ist: Woher weiß ich denn nun, ob das Problem mit den Eliminationsschritten zusammhängt oder nicht?
lg
Zuggel
Danke vielmals
|
|
|
| |
|
Hallo Zuggel,
> > Hallo Zuggel,
> >
> > > > Hallo Zuggel,
> > > >
> > > > > > Hallo Zuggel,
> > > > > >
> > > > > > > Zu untersuchen ist folgendes LGS mit dem frei wählbaren
> > > > > > > Parameter [mm]\alpha \in \IR:[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]x-2y+z=\alpha[/mm]
> > > > > > > [mm]\alpha*x+3*y+2*z=0[/mm]
> > > > > > > [mm](2+\alpha)*x-y+4*z=2*\alpha[/mm]
> > > > > > > Hallo alle zusammen, also folgendes:
> > > > > > >
> > > > > > > Ich bringe 1. und 2. Zeile in Abhängigkeit voneinander (ich
> > > > > > > arbeite mit Gauss)
> > > > > > >
> > > > > > > x- 2y + z = [mm]\alpha[/mm] + 0 [mm]*(\alpha)[/mm]
> > > > > > > [mm]\alpha*x+3*y+2*z=0[/mm]
> *-1
> > > > > > >
> > > > > > > =
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]-y*(2*\alpha+3)+z*(\alpha-2)=\alpha²[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Und nun 1. und letzte Zeile:
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]x-2y+z=\alpha[/mm] +0 [mm]*(2+\alpha)[/mm]
> > > > > > > [mm](2+\alpha)*x-y+4*z=2*\alpha[/mm] *(-1)
> > > > > > >
> > > > > > > =
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]-y*(2*\alpha+3)+z*(\alpha-2)=\alpha²[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > Ich sehe nun, dass die beiden Resultierenden Gleichungen
> > > > > > > die Selben sind, somit weiß ich, von den 3
> > > > > > > Ausgangsgleichungen sind 2 lin. voneinander abhängig.
> > > > > > > Also ist dieses System nur lösbar, wenn
> ich
> > > z.B.
> > > > z=t
> > > > > > mit t
> > > > > > > [mm]\in \IR,[/mm] also z einen Parameter zuweiße, mit welchem ich
> > > > > > > das System lösen kann. Nun muss ich noch schauen, hat das
> > > > > > > System [mm]\infty^{1}[/mm] oder [mm]\infty²[/mm] Lösungen:
> > > > > > >
> > > > > > > (*) Ich löse mit z=t die Ausgangsgleichung und nehme die 1.
> > > > > > > zeile her:
> > > > > > >
> > > > > > > x= [mm]\alpha[/mm] -t +2*y
> > > > > > >
> > > > > > > und setzte dies in die 2. Zeile ein:
> > > > > > >
> > > > > > > y= [mm]\bruch{\alpha*t-2*t-\alpha²}{2*\alpha+3}[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > Nun sehe ich, für [mm]\lpha=-2/3[/mm] kann ich das System nicht
> > > > > > > lösen.
> > > > > > >
> > > > > > > Also wäre die richtige Schlussfolgerung:
> > > > > > >
> > > > > > > Das System hat [mm]\infty^{1}[/mm] Lösungen für [mm]\alpha \not[/mm] -3/2 und
> > > > > > > es existiert keine Lösung für [mm]\alpha=-3/2,[/mm] oder?
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Für [mm]\alpha=-\bruch{3}{2}[/mm] kannst Du aber nach Variable z
> > > > > > auflösen
> > > > > > und y als frei wählbaren Parameter t
> setzen.
> > > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Ist das nicht so anzusehen, dass ich aufgrund meiner Wahl:
> > > > > z=t auf dieses Problem gestoßen bin und somit dies zu
> > > > > berücksichtigen ist? Also es eine Folge von z=t ist und als
> > > > > Bedingung anzusehen ist bei der Lösung?
> > > > >
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Nein, das Problem ist schon viel früher entstanden.
> > > >
> > > > Und zwar hängt das mit den Eliminationsschritten zusammen.
> > > >
> > > > Beginn mit der Elimination am besten mit der Spalte,
> > > > die frei von dem Parameter [mm]\alpha[/mm] ist.
> > > >
> > >
> > > Hallo :)
> > >
> > > Sollte man das immer tun oder wäre das nur hier in diesem
> > > Fall zu empfehlen? Ich versuche mir schlimmsten Falls die
> > > Parameter immer so zu Recht zu rücken, dass das System für
> > > mich leichter lösbar wird.
> >
> >
> > Das sollte man natürlich immer tun.
>
> Ok Danke!
>
> Eine Frage bleibt mir aber noch: Sollte ich wieder in so
> einen Fall kommen, dass die letzte Zeile sich streicht oder
> dass nicht nur die letzte, sondern auch die vorletzte Zeile
> auf meinen frei wählbaren Parameter Einfluss haben, muss
> ich davon ausgehen, dass ich durch das Auflösen nach [mm]\alpha[/mm]
> (oder wie auch immer) mich in diese Situation gebracht habe
> oder es efektiv so ist?
> Was ich damit meine ist: Woher weiß ich denn nun, ob das
> Problem mit den Eliminationsschritten zusammhängt oder
> nicht?
So wie Du hier vorgegangen bist, hast Du gesehen, daß je nach Wahl des Parameters [mm]\alpha[/mm] nach einer anderen Variablen aufzulösen ist.
Gut, das mag ja im Allgemeinen auch so sein, Nach Möglichkeit sollte man das aber, solange wie möglich umgehen.
>
> lg
> Zuggel
>
> Danke vielmals
>
Gruß
MathePower
|
|
|
|
