www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - L. Abhängigkeit im Dualraum
L. Abhängigkeit im Dualraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

L. Abhängigkeit im Dualraum: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 00:11 Do 31.07.2014
Autor: MeineKekse

Aufgabe
Es sein n [mm] \in \IR, [/mm] K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und [mm] \alpha_{1}, ...,\alpha_{n} \in [/mm] V* Linearformen auf V.

Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(i) [mm] \alpha_{1}, ...,\alpha_{n} [/mm] sind linear abhängig im Dualraum

(ii) Es gibt ein v [mm] \in [/mm] V \ {0} , so dass [mm] \alpha_{1}(v) [/mm] =... = [mm] \alpha_{n}(v) [/mm] = 0.

Hinweis: Betrachten Sie beim Beweis von i nach ii die folgende Abbildung

V -> [mm] K^{n}, [/mm] v [mm] =\vektor{\alpha_{1}(v) \\ . \\ .\\ .\\ \alpha_{n}(v)} [/mm]

So hallo, leider komme ich bei der Aufgabe so gar nicht weiter. Sowohl die Hin als auch Rückrichtung ist mir unklar. Kann mir jemand weiterhelfen?

Grüße
MeineKekse

        
Bezug
L. Abhängigkeit im Dualraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 Do 31.07.2014
Autor: hippias

Hinrichtung: Wenn man zeigen, dass die vorgeschlagene Abbildung linear und einen Kern [mm] $\neq [/mm] 0$, dann waere [mm] $i)\Rightarrow [/mm] ii)$ gezeigt. Also gehe so vor: 1) Zeige, dass die Abbildung linear ist; 2) Ueberlege Dir, dass sie nicht surjektiv ist (dazu wirst Du die Voraussetzung anwenden muessen). Aus dem Dimensionssatz $n= dim Kern+ dim Bild$ folgt dann, dass der Kern nicht trivial ist.

Rueckrichtung: Hier wuesste ich gerne, welche Vorkenntnisse Du hast: Kennst Du die Dimension des Dualraumes?

Bezug
                
Bezug
L. Abhängigkeit im Dualraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:46 Do 31.07.2014
Autor: fred97


> Hinrichtung: Wenn man zeigen, dass die vorgeschlagene
> Abbildung linear und einen Kern [mm]\neq 0[/mm], dann waere
> [mm]i)\Rightarrow ii)[/mm] gezeigt. Also gehe so vor: 1) Zeige, dass
> die Abbildung linear ist; 2) Ueberlege Dir, dass sie nicht
> surjektiv ist (dazu wirst Du die Voraussetzung anwenden
> muessen). Aus dem Dimensionssatz [mm]n= dim Kern+ dim Bild[/mm]
> folgt dann, dass der Kern nicht trivial ist.

Edit: hier stand Unsinn.
FRED

>  
> Rueckrichtung: Hier wuesste ich gerne, welche Vorkenntnisse
> Du hast: Kennst Du die Dimension des Dualraumes?


Bezug
                
Bezug
L. Abhängigkeit im Dualraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:52 Do 31.07.2014
Autor: MeineKekse

Okay die Linearität, folgt ja direkt aus der Definition der Funktion und der Linearität der [mm] \alpha_{k}. [/mm]

Jetzt mal mein Ansatz:

Da die [mm] \alpha_{k} [/mm] linear abhängig exisitiert mindestens ein [mm] \alpha_{0}, [/mm] das als Linearkombination andere [mm] \alpha [/mm] s geschrieben werden kann.

Sei [mm] \alpha_{1} [/mm] dieses [mm] \alpha_{0} [/mm] und [mm] \alpha_{2}, [/mm] ... , [mm] \alpha_{j} [/mm] die Linearkombination, sodass:

[mm] \alpha_{1} [/mm] = [mm] a_{2}*\alpha_{2} [/mm] + ... + [mm] a_{j}*\alpha_{j} [/mm]
daraus folgt

[mm] \alpha_{1}(v) [/mm] = [mm] a_{2}*\alpha_{2}(v) [/mm] + ... + [mm] a_{j}*\alpha_{j}(v) [/mm] für alle v [mm] \in [/mm] V.

Das wiederum heißt, dass es zu [mm] y_{1} \not= a_{2}*y_{2}+ [/mm] ... [mm] +a_{j}*y_{j} (\vektor{ \alpha_{1}(v) \\ . \\ . \\ \alpha_{n}(v)} [/mm] = [mm] \vektor{ y_{i} \\ . \\ . \\ y_{n}}) [/mm]
kein v existiert, sodass [mm] \alpha_{1}(v) [/mm] = [mm] y_{1} [/mm]

Also ist f nicht surjektiv und hat nach dem Dimensionssatz auch keinen trivialen Kern.
Es existiert als ein v mit [mm] \alpha_{k}(v) [/mm] = 0 für 1<= k <=  n.

Macht das ganze Sinn und ist richtig aufgeschrieben?

Zur anderen Richtung ich weiß, dass die Dimension von V* also die Dimension des Dualraums im endlichdimensionalen gleich der Dimension von V.

Danke schonmal
MeineKekse

Bezug
                        
Bezug
L. Abhängigkeit im Dualraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:36 Do 31.07.2014
Autor: fred97


> Okay die Linearität, folgt ja direkt aus der Definition
> der Funktion und der Linearität der [mm]\alpha_{k}.[/mm]
>  
> Jetzt mal mein Ansatz:
>  
> Da die [mm]\alpha_{k}[/mm] linear abhängig exisitiert mindestens
> ein [mm]\alpha_{0},[/mm] das als Linearkombination andere [mm]\alpha[/mm] s
> geschrieben werden kann.
>  
> Sei [mm]\alpha_{1}[/mm] dieses [mm]\alpha_{0}[/mm] und [mm]\alpha_{2},[/mm] ... ,
> [mm]\alpha_{j}[/mm] die Linearkombination, sodass:
>  
> [mm]\alpha_{1}[/mm] = [mm]a_{2}*\alpha_{2}[/mm] + ... + [mm]a_{j}*\alpha_{j}[/mm]
>  daraus folgt
>
> [mm]\alpha_{1}(v)[/mm] = [mm]a_{2}*\alpha_{2}(v)[/mm] + ... +
> [mm]a_{j}*\alpha_{j}(v)[/mm] für alle v [mm]\in[/mm] V.
>  
> Das wiederum heißt, dass es zu [mm]y_{1} \not= a_{2}*y_{2}+[/mm]
> ... [mm]+a_{j}*y_{j} (\vektor{ \alpha_{1}(v) \\ . \\ . \\ \alpha_{n}(v)}[/mm]
> = [mm]\vektor{ y_{a} \\ . \\ . \\ y_{n}})[/mm]


Da komme ich nicht mehr mit ! Was sind denn die [mm] y_i [/mm] ???

FRED

> kein v existiert, sodass [mm]\alpha_{1}(v)[/mm] = [mm]y_{1}[/mm]
>  
> Also ist f nicht surjektiv und hat nach dem Dimensionssatz
> auch keinen trivialen Kern.
>  Es existiert als ein v mit [mm]\alpha_{k}(v)[/mm] = 0 für 1<= k <=
>  n.
>  
> Macht das ganze Sinn und ist richtig aufgeschrieben?
>  
> Zur anderen Richtung ich weiß, dass die Dimension von V*
> also die Dimension des Dualraums im endlichdimensionalen
> gleich der Dimension von V.
>  
> Danke schonmal
>  MeineKekse


Bezug
                                
Bezug
L. Abhängigkeit im Dualraum: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:49 Do 31.07.2014
Autor: MeineKekse


> > Okay die Linearität, folgt ja direkt aus der Definition
> > der Funktion und der Linearität der [mm]\alpha_{k}.[/mm]
>  >  
> > Jetzt mal mein Ansatz:
>  >  
> > Da die [mm]\alpha_{k}[/mm] linear abhängig exisitiert mindestens
> > ein [mm]\alpha_{0},[/mm] das als Linearkombination andere [mm]\alpha[/mm] s
> > geschrieben werden kann.
>  >  
> > Sei [mm]\alpha_{1}[/mm] dieses [mm]\alpha_{0}[/mm] und [mm]\alpha_{2},[/mm] ... ,
> > [mm]\alpha_{j}[/mm] die Linearkombination, sodass:
>  >  
> > [mm]\alpha_{1}[/mm] = [mm]a_{2}*\alpha_{2}[/mm] + ... + [mm]a_{j}*\alpha_{j}[/mm]
>  >  daraus folgt
> >
> > [mm]\alpha_{1}(v)[/mm] = [mm]a_{2}*\alpha_{2}(v)[/mm] + ... +
> > [mm]a_{j}*\alpha_{j}(v)[/mm] für alle v [mm]\in[/mm] V.
>  >  
> > Das wiederum heißt, dass es zu [mm]y_{1} \not= a_{2}*y_{2}+[/mm]
> > ... [mm]+a_{j}*y_{j} (\vektor{ \alpha_{1}(v) \\ . \\ . \\ \alpha_{n}(v)}[/mm]
> > = [mm]\vektor{ y_{a} \\ . \\ . \\ y_{n}})[/mm]
>
>
> Da komme ich nicht mehr mit ! Was sind denn die [mm]y_i[/mm] ???
>  


Hi, die [mm] y_{i} [/mm] sind das Ergebnis der Abbildung, die v auf [mm] \alpha_{i}(v) [/mm] abbildet. Das wollte ich mit dem Vektor andeuten
v -> [mm] \vektor{ \alpha_{1}(v) \\ . \\ . \\ \alpha_{n}(v)} [/mm]  = [mm] \vektor{ y_{1} \\ . \\ . \\ y_{n}}. [/mm]

Es gilt also [mm] \alpha_{i}(v) [/mm] = [mm] y_{i} [/mm]

Ich hoffe das ganze macht es verständlicher.

Gruß MeineKekse





Bezug
                                        
Bezug
L. Abhängigkeit im Dualraum: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Sa 02.08.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
L. Abhängigkeit im Dualraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:25 Do 31.07.2014
Autor: fred97

Zu (ii) [mm] \Rightarrow [/mm] (i): nimm an  $ [mm] \alpha_{1}, ...,\alpha_{n} [/mm] $ sind linear unabhängig .

Da dimV*=n ist, ist [mm] \{\alpha_{1}, ...,\alpha_{n}\} [/mm] eine Basis von V*.

Ist nun f [mm] \in [/mm] V*, so gibt es [mm] $k_1,...,k_n \in [/mm] K$ mit

   [mm] $f=k_1* \alpha_1+...+k_n* \alpha_n$. [/mm]

Sei nun $v$ wie in (ii). Dann folgt: $f(v)=0$.

Fazit:    $f(v)=0$  für alle(!)   f [mm] \in [/mm] V*  !

Klingelt das was ?

FRED





Bezug
                
Bezug
L. Abhängigkeit im Dualraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:00 Do 31.07.2014
Autor: MeineKekse

folgt da driekt die lineare abhängigkeit der [mm] \alpha [/mm] s draus?

Denn der Dualraum ist ja definiert als ALLE lineare Abbildungen von V nach K.
da aber für alle f(v) = 0 gilt mit v [mm] \not= [/mm] 0 fehlt zum Beispiel eine lineare Abbildung mit f(v) = 1 usw. Daraus folgt, dass die [mm] \alpha [/mm] s keine Basis von V bilden. Da es aber n = dim(V*) Stück sind müssen diese linear abhängig sein?

Gruß
MeineKekse

Bezug
                        
Bezug
L. Abhängigkeit im Dualraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:38 Do 31.07.2014
Autor: fred97


> folgt da driekt die lineare abhängigkeit der [mm]\alpha[/mm] s
> draus?
>  
> Denn der Dualraum ist ja definiert als ALLE lineare
> Abbildungen von V nach K.
>  da aber für alle f(v) = 0 gilt mit v [mm]\not=[/mm] 0


... aber nur für dieses eine $v$


> fehlt zum
> Beispiel eine lineare Abbildung mit f(v) = 1 usw.


Ja, zu v [mm] \ne [/mm] 0 ex. eine Linearform f mit f(v)=1.

> Daraus
> folgt, dass die [mm]\alpha[/mm] s keine Basis von V bilden. Da es
> aber n = dim(V*) Stück sind müssen diese linear abhängig
> sein?

Ja

FRED

>  
> Gruß
>  MeineKekse
>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]