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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:39 Mi 23.09.2009 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Sei [mm] $\zeta_0\in\IC$ [/mm] mit [mm] $|\zeta_0|=1$. $U\subset\IC$ [/mm] sei eine Umgebung von [mm] $\zeta_0$. [/mm] Weiter gelte:
(1): [mm] $f:U\rightarrow\IC$ [/mm] holomorph in $U$
(2): [mm] $f(\zeta_0)=0$
[/mm]
(3): Re [mm] $f(\zeta)\geqslant [/mm] 0$ [mm] $\forall\,|\zeta|>1$
[/mm]
Zeige
[mm] $f'(\zeta_0)\neq [/mm] 0$ |
Hallo an alle,
irgendwie komme ich bei der obigen Aufgabe nicht vorwaerts. Folgender Hinweis wurde mir gegeben:
Hinweis: Angenommen [mm] $f'(\zeta_0)=0$, [/mm] dann gilt
[mm] $f(\zeta)=(\zeta-\zeta_0)^p\cdot g(\zeta)$
[/mm]
fuer [mm] $p\geqslant [/mm] 2$ und [mm] $g(\zeta_0)\neq [/mm] 0$. Setze nun
[mm] $\zeta=\zeta_0\cdot(1+\varepsilon e^{i\varphi})$
[/mm]
ein.
Irgendwie hilft mir das nicht wirklich weiter. Es waere schoen, wenn ihr mir weiterhelfen koenntet.
Danke und Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 Mi 23.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Da stimmt was nicht !
Sei U = [mm] \IC [/mm] , [mm] \zeta_0=1 [/mm] und f die Funktion konstant = 0.
Dann sind die Vor. (1), (2) und (3) erfüllt.
Hast Du irgend etwas vergessen ?
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:14 Mi 23.09.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Sei [mm]\zeta_0\in\IC[/mm] mit [mm]|\zeta_0|=1[/mm]. [mm]U\subset\IC[/mm] sei eine
> Umgebung von [mm]\zeta_0[/mm]. Weiter gelte:
> (1): [mm]f:U\rightarrow\IC[/mm] holomorph in [mm]U[/mm]
> (2): [mm]f(\zeta_0)=0[/mm]
> (3): Re [mm]f(\zeta)\geqslant 0[/mm] [mm]\forall\,|\zeta|>1[/mm]
> Zeige
> [mm]f'(\zeta_0)\neq 0[/mm]
> Hallo an alle,
>
> irgendwie komme ich bei der obigen Aufgabe nicht vorwaerts.
> Folgender Hinweis wurde mir gegeben:
>
> Hinweis: Angenommen [mm]f'(\zeta_0)=0[/mm], dann gilt
> [mm]f(\zeta)=(\zeta-\zeta_0)^p\cdot g(\zeta)[/mm]
> fuer
> [mm]p\geqslant 2[/mm] und [mm]g(\zeta_0)\neq 0[/mm]. Setze nun
> [mm]\zeta=\zeta_0\cdot(1+\varepsilon e^{i\varphi})[/mm]
> ein.
>
> Irgendwie hilft mir das nicht wirklich weiter. Es waere
> schoen, wenn ihr mir weiterhelfen koenntet.
>
> Danke und Gruss
Hallo nochmal,
in (3) muss ein streng groesser stehen, d.h.
(3): Re [mm]f(\zeta)>0[/mm] [mm]\forall\,|\zeta|>1[/mm]
Hat nun jemand eine Idee?
Danke und Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 26.09.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Mo 28.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Manchmal müüsen Dinge etwas gären ..
Wir können [mm] \zeta_0 [/mm] = 1 annehmen (Drehung !) , das erleichtert die Schreibarbeit
Es gibt also ein $p [mm] \in \IN [/mm] $ und eine auf U holomorphe Funktion g mit:
$f(z) = (z-1)^pg(z)$ für z [mm] \in [/mm] U und $g(1) [mm] \not= [/mm] 0$
Für r [mm] \ge [/mm] 0 und t [mm] \in \IR [/mm] sei
$z(r,t) := [mm] 1+re^{it}$
[/mm]
Dann gibt es ei R>0 mit
$z(r,t) [mm] \in [/mm] U$ für r [mm] \in [/mm] [0,R) und t [mm] \in I:=[\bruch{- \pi}{2}, \bruch{\pi}{2}]
[/mm]
und
$|z(r,t)|>1$ für r [mm] \in [/mm] (0,R) und t [mm] \in [/mm] I.
Es ist
$f(z(r,t)) = [mm] r^p(cos(pt)+i [/mm] sin(pt)) (Re(g(z(r,t)) +i Im(g(z(r,t)))$
Aus de Vor. Re $ [mm] f(\zeta)> [/mm] 0 $ $ [mm] \forall\,|\zeta|>1 [/mm] $ folgt:
(*) $cos(pt)*Re(g(z(r,t)) > sin(pt)*Im(g(z(r,t))$ für r [mm] \in [/mm] (0,R) und t [mm] \in [/mm] I.
Lässt man in (*) r gegen 0 gehen, so ergibt sich:
(**) $cos(pt)*Re(g(1)) [mm] \ge [/mm] sin(pt)*Im(g(1))$ für t [mm] \in [/mm] I.
Wählt man in (**) $t = [mm] \bruch{\pi}{2p}$, [/mm] so erhält man $Im(g(1)) [mm] \le [/mm] 0$
Wählt man in (**) $t = [mm] \bruch{- \pi}{2p}$, [/mm] so erhält man $Im(g(1)) [mm] \ge [/mm] 0$
Also: $Im(g(1)) = 0$
Wählt man in (**) $t = 0$, so erhält man $Re(g(1)) [mm] \ge [/mm] 0$
Wäre nun $p [mm] \ge [/mm] 2$, so wäre [mm] $t_0:= \bruch{\pi}{p} \in [/mm] I$, und aus (**) würde, mit [mm] t_0, [/mm] folgen:
$Re(g(1)) [mm] \le [/mm] 0$.
Die liefert den Widerspruch $g(1) = 0$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Mo 28.09.2009 | | Autor: | Denny22 |
Super,
vielen Dank Fred. Ich habe es ueberprueft und es scheint mir sehr einleuchtend und richtig zu sein.
Vielen Dank und Gruss
Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Mo 28.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo Denny,
der Beweis zeigt, dass man nur Re $ [mm] f(\zeta)\geqslant [/mm] 0 $ $ [mm] \forall\,|\zeta|>1 [/mm] $ voraussetzen muß, wenn man noch fordert, dass f nicht konstant ist.
FRED
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