Kurvenschar mit e-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:50 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Nima |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktionenschar fa(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x + [mm] ae^{-x} [/mm] , a>0
a) Für welchen Wert von a liegt das Minimum auf der x-Achse? |
Hallo ihr da draußen!
Die Aufgabe oben finde ich unlösbar... Ich habe erstmal die erste Ableitung gebildet:
fa'(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] ae^{-x}
[/mm]
Diese habe ich dann 0 gesetzt und nach x aufgelöst:
x = ln(2a)
Dies müsste nun die x-Koordinate des Minimums sein. Die y-Koordinate bekommt man also heraus indem man diesen Wert für x in die Funktion einsetzt:
fa(ln(2a)) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln(2a) + [mm] ae^{-ln(2a)}
[/mm]
Da das Minimum auf der x-Achse liegen soll, muss die y-Koordinate zwangsweise 0 sein, also habe ich diesen obigen Term gleich 0 gesetzt und komme dann auf a = 0 .
Das ist aber laut Aufgabe gar nicht möglich, denn es soll ja a > 0 gelten...
Könntet ihr da vielleicht weiterhelfen? Das wäre echt toll...
Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Do 26.02.2009 | | Autor: | Nima |
Leider nein, ich habe die y-Koordinate gleich 0 gesetzt:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln(2a) + [mm] ae^{-ln(2a)} [/mm] = 0
Dann habe ich ausgeklammert:
a ( [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln2 + [mm] e^{-ln(2a)} [/mm] ) = 0
Ich bin dann so auf a = 0 gekommen, bin mir aber nicht sicher ob man hier a überhaupt ausklammern kann. Falls nicht, wie sollte man dann weiterrechnen? Einen Rechenweg sehe ich hier nicht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:26 Do 26.02.2009 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Dann habe ich ausgeklammert:
>
> a ( [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln2 + [mm]e^{-ln(2a)}[/mm] ) = 0
>
> Ich bin dann so auf a = 0 gekommen, bin mir aber nicht
> sicher ob man hier a überhaupt ausklammern kann. Falls
Nein. Dann müßte ja [mm] $\ln(2a)=a\ln(2)$ [/mm] sein. Wenn das der Fall wäre, wäre das Leben viel einfacher (oder auch nicht. Die entstehenden Widersprüche würden die Mathematik nutzlos machen, und wir säßen noch in unseren Höllen ohne Internetanschluß)
[mm] $\ln(2a)=\ln(2)+\ln(a)$ [/mm] ging höchstens, hilft hier aber nicht weiter.
> nicht, wie sollte man dann weiterrechnen? Einen Rechenweg
> sehe ich hier nicht...
[mm] $e^{-\ln(2a)}=e^{\ln\left(\frac{1}{2a}\right)}=\frac{1}{2a}$
[/mm]
bzw. [mm] $e^{-\ln(2a)}=\left(e^{\ln(2a)}\right)^{-1}=(2a)^{-1}$, [/mm]
ist nicht ganz so fitzelig klein und führt (natürlich) auf's gleiche.
ciao
Stefan
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