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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen
a) vom Grad 2, deren Graph durch A(0/2) und B(6/8) geht und die x-Achse berührt |
Hallo Leute ich hab einige Probleme mit dieser Funktion!!
Also ausrechnen kann ich das schon......
f(x)=ax²+bx+c
f'(x)=2ax+b
Bedingungen:
f(0)=2 [mm] \gdw [/mm] 2=c
f(6)=8 [mm] \gdw [/mm] 8=36a+6b+2 [mm] \gdw [/mm] 1=6a+b
[mm] f(x_{0})=0 \gdw ax_{0}²+bx_{0}+2=0
[/mm]
[mm] f'(x_{0})=0 \gdw b=-2ax_{0}
[/mm]
c=2 [mm] \wedge 6a-2ax_{0}=1 \wedge ax_{0}²-2ax_{0}²+2=0 \wedge b=-2ax_{0}
[/mm]
c=2 [mm] \wedge 6a-2ax_{0}=1 \wedge x_{0}=\pm\wurzel{\bruch{2}{a}} \wedge b=-2ax_{0}
[/mm]
c=2 [mm] \wedge 6a\pm2a\wurzel{\bruch{2}{a}}=1 \wedge x_{0}=\wurzel{\bruch{2}{a}} \wedge b=-2ax_{0} [/mm]
c=2 [mm] \wedge (6a-1)²=(\pm2a\wurzel{\bruch{2}{a}})² \wedge x_{0}=\wurzel{\bruch{2}{a}} \wedge b=-2ax_{0} [/mm]
c=2 [mm] \wedge 36a²-12a+1=4a²\*\bruch{2}{a} \wedge x_{0}=\wurzel{\bruch{2}{a}} \wedge b=-2ax_{0} [/mm]
c=2 [mm] \wedge [/mm] 36a²-20a+1=0 [mm] \wedge x_{0}=\wurzel{\bruch{2}{a}} \wedge b=-2ax_{0} [/mm]
c=2 [mm] \wedge a²-\bruch{20}{36}a+\bruch{1}{36}=0 \wedge x_{0}=\wurzel{\bruch{2}{a}} \wedge b=-2ax_{0}
[/mm]
dann den 2. Teil (den ich die ganze Zeit umgeformt habe) mit der pq-Formel ausrechnen...
Ergebnis:
[mm] a_{1}=\bruch{1}{18} [/mm] und [mm] a_{12}=\bruch{1}{2}
[/mm]
das heißt diese muss ich dann so einsetzten in die anderen gleichungen dass [mm] x_{0} [/mm] und b rauskommt ....
[mm] a_{1}=\bruch{1}{18} [/mm] : [mm] x_{0}=\pm\wurzel{\bruch{2}{\bruch{1}{18}}} [/mm] =6 [mm] \vee [/mm] -6 bzw passent dazu.. [mm] b=-\bruch{2}{3} \vee \bruch{2}{3}
[/mm]
und
[mm] a_{12}=\bruch{1}{2} [/mm] : [mm] x_{0}=\pm\wurzel{\bruch{2}{\bruch{1}{2}}} [/mm] =2 [mm] \vee [/mm] -2 bwz passent dazu.. b=-2 [mm] \vee [/mm] 2
das heißt es gibt insgesamt 4 Lösungen....
aber meine Lehrerin meinte es gibt nur 2 Lösungen d.h. es müssen von diesen 4 Lösngen 2 wegfallen..aber welche und warum bzw wie rechnet man das aus?? (es wäre schön wenn es eine Erklärung dazu gibt )
Ich hoffe ihr könnt mir helfen =) Lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Di 19.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo LittleLady!
Forme hier die Beziehung $b \ = \ [mm] -2a*x_0$ [/mm] nach [mm] $x_0 [/mm] \ = \ ...$ um und setze in die andere Gleichung ein.
> Bedingungen:
> f(0)=2 [mm]\gdw[/mm] 2=c
> f(6)=8 [mm]\gdw[/mm] 8=36a+6b+2 [mm]\gdw[/mm] 1=6a+b
> [mm]f(x_{0})=0 \gdw ax_{0}²+bx_{0}+2=0[/mm]
> [mm]f'(x_{0})=0 \gdw b=-2ax_{0}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> c=2 [mm]\wedge 6a-2ax_{0}=1 \wedge ax_{0}²-2ax_{0}²+2=0 \wedge b=-2ax_{0}[/mm]
> c=2 [mm]\wedge 6a-2ax_{0}=1 \wedge x_{0}=\pm\wurzel{\bruch{2}{a}} \wedge b=-2ax_{0}[/mm]
Wie kommst Du auf den Wurzelausdruck?
Gruß
Loddar
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> Hallo Loddar!
>
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> > c=2 [mm]\wedge 6a-2ax_{0}=1 \wedge ax_{0}²-2ax_{0}²+2=0 \wedge b=-2ax_{0}[/mm]
>
> > c=2 [mm]\wedge 6a-2ax_{0}=1 \wedge x_{0}=\pm\wurzel{\bruch{2}{a}} \wedge b=-2ax_{0}[/mm]
>
> Wie kommst Du auf den Wurzelausdruck?
>
also du hast mir ja geschrieben, dass ich die Gleichung nch [mm] x_{0} [/mm] umformen soll....genau das habe ich auch gemacht denn wenn man die eine gleichung umform ergibt diese:
[mm] ax_{0}²-2ax_{0}²+2=0 [/mm] /-2
[mm] ax_{0}²-2ax_{0}² [/mm] =-2 ( normales subtrahieren)
[mm] -ax_{0}² [/mm] =-2 /:(-1)
[mm] ax_{0}² [/mm] =2 /:a
[mm] x_{0}² [/mm] =2 (und dann das hoch 2 rüber ziehen->so entsteht die wurzel...)
also ergebnis ist: [mm] x_{0}=\pm\wurzel{\bruch{2}{a}}
[/mm]
dieses ergebnis hab ich dann in die andere gleichung eingestezt und hab weiter gerechnet...hab ich irgendwo ein denkfehler drin? und wenn nicht brauche ich bitte noch antworten auf meine fragen am anfang =)
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo LittleLady!
Du sollst die andere Gleichung $b \ = \ [mm] -2a*x_0$ [/mm] nach [mm] $x_0 [/mm] \ = \ ...$ umformen (siehe auch andere Antwort).
Gruß
Loddar
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hey...
okey hab ich gemacht, aber wo soll ich das einsetztn?
denn wenn ich das in eine der beiden gleichungen einsetzte...hab ich nen b in der gleichung. d.h. wieder 2 variabeln..es nützt dann auch nichts wenn ich für das [mm] b...b=-2ax_{0} [/mm] einsetzte denn dann hab ich wieder [mm] x_{0} [/mm] in der gleichung....hmmm ich hoffe ich geh dir nicht zu sehr auf die nerfen..aber ich komm da nich weiter^^
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo LittleLady!
Aus der genannten Gleichung erhalten wir [mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{b}{2a}$ [/mm] .
Das nun einsetzen in [mm] $a*x_0^2+b*x+2 [/mm] \ = \ 0$ .
Mit der Gleichung $6a+b \ = \ 1$ hast Du dann ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten.
Gruß
Loddar
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