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| Aufgabe | Sei D das von [mm] x^2+y^2=1 [/mm] (x>=0) und [mm] y^2-2x=1 [/mm] begrenzte Gebiet und sei C die geschlossene Kurve die den Bereich D umrandet.
Sei v(x,y) = [mm] \begin{pmatrix} x^2 \\ xy \\ \end{pmatrix} [/mm]
Gesucht ist das Kurvenintegral v dx. |
Hallo!
v soll ein Vektor sein.
Parametrisierung soll entgegen dem Uhrzeigersinn sein.
Den Kreis zu parametrisieren ist leicht, einfach auf Kreiskoordinaten umformen etc.
Bei der Parabel [mm] y^2-2x=1 [/mm] sieht meine Parametrisierung wie folgt aus:
[mm] \begin{pmatrix} (-0,5+(t^2)/2 \\ t \end{pmatrix} [/mm] t€[-1,1]
Die Ableitung nach t wäre also [mm] \begin{pmatrix} t\\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt rechne ich [mm] x^2 [/mm] => [mm] (0,25-0,5t^2+(t^2)/4) [/mm] und xy = [mm] t*(-0,5)+(t^2)/2)
[/mm]
Danach Multipliziere ich [mm] x^2 [/mm] mit t und xy mit 1 und addiere die beiden Werte (Skalarprodukt) danach integriere ich von 1 bis -1
Anschließend addiere ich beide Kurvenintegrale und bin fertig.
Stimmt das so oder hab ich einen Denkfehler drinnen?
Besten Dank!
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Hallo Epsilongroesser0,
> Sei D das von [mm]x^2+y^2=1[/mm] (x>=0) und [mm]y^2-2x=1[/mm] begrenzte
> Gebiet und sei C die geschlossene Kurve die den Bereich D
> umrandet.
> Sei v(x,y) = [mm]\begin{pmatrix} x^2 \\ xy \\ \end{pmatrix}[/mm]
>
> Gesucht ist das Kurvenintegral v dx.
>
> Hallo!
>
> v soll ein Vektor sein.
> Parametrisierung soll entgegen dem Uhrzeigersinn sein.
>
> Den Kreis zu parametrisieren ist leicht, einfach auf
> Kreiskoordinaten umformen etc.
>
> Bei der Parabel [mm]y^2-2x=1[/mm] sieht meine Parametrisierung wie
> folgt aus:
> [mm]\begin{pmatrix} (-0,5+(t^2)/2 \\ t \end{pmatrix}[/mm]
> t€[-1,1]
>
> Die Ableitung nach t wäre also [mm]\begin{pmatrix} t\\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Jetzt rechne ich [mm]x^2[/mm] => [mm](0,25-0,5t^2+(t^2)/4)[/mm] und xy =
> [mm]t*(-0,5)+(t^2)/2)[/mm]
>
> Danach Multipliziere ich [mm]x^2[/mm] mit t und xy mit 1 und addiere
> die beiden Werte (Skalarprodukt) danach integriere ich von
> 1 bis -1
>
> Anschließend addiere ich beide Kurvenintegrale und bin
> fertig.
>
Bei dem anderen Kurvenintegral sind noch die Grenzen zu beachten.
> Stimmt das so oder hab ich einen Denkfehler drinnen?
>
Das stimmt so.
> Besten Dank!
Gruss
MathePower
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Andere Kurvenintegral hätte die Grenzen 3pi/2 und pi/2 oder?
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Hallo Epsilogroesser0,
> Andere Kurvenintegral hätte die Grenzen 3pi/2 und pi/2
> oder?
>
Wenn die rechte Seite der Skizze gemeint ist, ja.
Gruss
MathePower
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