Kurvenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 So 30.06.2013 | | Autor: | Helicase |
| Aufgabe | Unter Wirkung des Kraftfeldes
f(x,y) = [mm] \vektor{2xy \\ x^{2} + y^{2}}
[/mm]
bewege sich eine Massepunkt auf der Parabel y = [mm] x^{2} [/mm] vom Punkt (1,1) zum Punkt (2,4).
a) Welche Arbeit wird hierbei geleistet?
b) Welche Länge hat das Kurvenstück? |
Hallo, hier meine Überlegungen.
Zunächst habe ich mir die Parabel parametrisiert:
[mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] \vektor{t \\ f(t)} [/mm] = [mm] \vektor{t \\ t^{2}}, [/mm] 1 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 2
Die Ableitung ist dann:
[mm] \gamma'(t) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2t}
[/mm]
Eingesetzt in mein Kurvenintegral folgt dann:
[mm] \integral_{a}^{b}{(f(\gamma(t)) | \gamma'(t)) dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{2}{\vektor{2t^{3} \\ t^{2} + t^{4}} | \vektor{1 \\ 2t} dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{2}{4t^{3} + 2t^{5} dt}
[/mm]
= 36
[mm] L(\gamma) [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{||\gamma'(t)|| dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{2}{||\vektor{1 \\ 2t}|| dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{2}{\wurzel{1 + (2t)^{2}} dt}
[/mm]
Jetzt hätte ich u = 2t substituiert und erhalte
= [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{2}^{4}{\wurzel{1 + u^{2}} du}
[/mm]
Jetzt würde ich nochmal substituieren mit u = sinh x
= [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{sinh(2)}^{sinh(4)}{cosh(x)*cosh(x) dx}
[/mm]
Wenn ich jetzt partiell integriere, erhalte ich
[mm] L(\gamma) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}*[1 [/mm] + cosh(sinh(4)) sinh(sinh(2))]
Würde mich freuen, wenn jemand drüber schauen könnte und gegebenenfalls meine Fehler erklären könnte.
Danke & Gruß
Helicase.
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Hallo Helicase,
> Unter Wirkung des Kraftfeldes
>
> f(x,y) = [mm]\vektor{2xy \\ x^{2} + y^{2}}[/mm]
>
> bewege sich eine Massepunkt auf der Parabel y = [mm]x^{2}[/mm] vom
> Punkt (1,1) zum Punkt (2,4).
>
> a) Welche Arbeit wird hierbei geleistet?
> b) Welche Länge hat das Kurvenstück?
> Hallo, hier meine Überlegungen.
>
> Zunächst habe ich mir die Parabel parametrisiert:
>
> [mm]\gamma(t)[/mm] = [mm]\vektor{t \\ f(t)}[/mm] = [mm]\vektor{t \\ t^{2}},[/mm] 1 [mm]\le[/mm]
> t [mm]\le[/mm] 2
>
> Die Ableitung ist dann:
>
> [mm]\gamma'(t)[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2t}[/mm]
>
> Eingesetzt in mein Kurvenintegral folgt dann:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{(f(\gamma(t)) | \gamma'(t)) dt}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{1}^{2}{\vektor{2t^{3} \\ t^{2} + t^{4}} | \vektor{1 \\ 2t} dt}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{1}^{2}{4t^{3} + 2t^{5} dt}[/mm]
>
> = 36
>
>
> [mm]L(\gamma)[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b}{||\gamma'(t)|| dt}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{1}^{2}{||\vektor{1 \\ 2t}|| dt}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{1}^{2}{\wurzel{1 + (2t)^{2}} dt}[/mm]
>
> Jetzt hätte ich u = 2t substituiert und erhalte
>
> = [mm]\bruch{1}{2}*\integral_{2}^{4}{\wurzel{1 + u^{2}} du}[/mm]
>
Bis hier ist alles korrekt.
> Jetzt würde ich nochmal substituieren mit u = sinh x
>
> =
> [mm]\bruch{1}{2}*\integral_{sinh(2)}^{sinh(4)}{cosh(x)*cosh(x) dx}[/mm]
>
Es muss doch hier stehen:
[mm]\bruch{1}{2}*\integral_{x_{1}}^{x_{2}}{cosh(x)*cosh(x) dx}[/mm]
> Wenn ich jetzt partiell integriere, erhalte ich
>
> [mm]L(\gamma)[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}*[1[/mm] + cosh(sinh(4)) sinh(sinh(2))]
>
> Würde mich freuen, wenn jemand drüber schauen könnte und
> gegebenenfalls meine Fehler erklären könnte.
>
> Danke & Gruß
> Helicase.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 So 30.06.2013 | | Autor: | Helicase |
Okay, das versteh ich jetzt nicht ganz.
Durch die erste Substitution haben sie die Grenzen zu [mm] \integral_{2}^{4}{} [/mm] geändert.
Wenn ich jetzt nochmals substituiere, muss ich doch wieder meine Grenzen anpassen?
Gruß
Helicase
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Hallo Helicase,
> Okay, das versteh ich jetzt nicht ganz.
>
> Durch die erste Substitution haben sie die Grenzen zu
> [mm]\integral_{2}^{4}{}[/mm] geändert.
>
> Wenn ich jetzt nochmals substituiere, muss ich doch wieder
> meine Grenzen anpassen?
>
Genau so ist es.
> Gruß
> Helicase
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 So 30.06.2013 | | Autor: | Helicase |
Wenn ich jetzt mit u = sinh (x) substituiere, bekomme ich doch aber [mm] \integral_{sinh(2)}^{sinh(4)}{} [/mm] ?
Was meinst du da mit [mm] \integral_{x_{1}}^{x_{2}}{}?
[/mm]
Gruß
Helicase
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Hallo Helicase,
> Wenn ich jetzt mit u = sinh (x) substituiere, bekomme ich
> doch aber [mm]\integral_{sinh(2)}^{sinh(4)}{}[/mm] ?
>
> Was meinst du da mit [mm]\integral_{x_{1}}^{x_{2}}{}?[/mm]
>
Es ist [mm]4=\sinh\left(x_{2}\right)[/mm]
und [mm]2=\sinh\left(x_{1}\right)[/mm]
> Gruß
> Helicase
Gruss
MathePower
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Hallo,
für a)
Anders herangegangen, kann man sich auch fragen, ob das Kraftfeld konservativ ist und dann, wenn ja, ein entsprechendes Potential sich suchen. Das ist schnell gemacht.
Lösung ist dann natürlich identisch und entspricht der Arbeit von 36 Einheiten.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 So 30.06.2013 | | Autor: | Helicase |
Jetzt wo du es sagst ;)
Die Integrabilitätsbedingung ist erfüllt,
also: [mm] \bruch{\partial f_{1}}{\partial y} [/mm] = [mm] \bruch{\partial f_{2}}{\partial x} [/mm]
[mm] \to [/mm] 2x = 2x
Nun die beiden Komponenten integrieren, ergibt
[mm] \vektor{y*x^{2} \\ \bruch{1}{3}*y^{3} + x^{2}*y}
[/mm]
und damit das Potential
U = [mm] \bruch{1}{3}*y^{3} [/mm] + [mm] x^{2}*y.
[/mm]
Punkte eingesetzt und es kommt 36 raus :)
Das ist natürlich der leichtere Weg, man muss weniger rechnen und es kommen keine aufwendigen Integrale heraus.
Man muss es vorher nur erkennen ;)
Danke und schönen Abend.
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