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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Wiebs91 |
| Aufgabe | Für [mm] t\in [0,2\pi] [/mm] sei [mm] \gamma(t)=4e^{it}
[/mm]
Berechnen Sie [mm] \integral_{\gamma} [/mm] tan(z(dz |
Hey,
ich komme bei der Aufgabe leider nicht weiter, wahrscheinlich ist sie nicht so schwer, aber mir fehlt noch bisschen die Herangehensweise an diese Aufgaben.
Ich habe erstmal [mm] tan(z)=\bruch{sin(z)}{cos(z)} [/mm] gesetzt
Somit erhalte ich als Singularitäten die Nullstellen des komplexen Cosinus, also [mm] (2k+1)*\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Diese sind nicht aufhebbar, da der
[mm] \limes_{z\rightarrow\ z_0} [/mm] tan(z) unbeschränkt ist für [mm] z_0 [/mm] Singularitäten
Es liegt außerdem nur [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] in meinem Kreis um 0 mir Radius 3, die anderen Singularitäten sind hier irrelevant.
Nun würde ich gerne mit Polen n-ter Ordnung bzw wesentlichen Singulariäten argumentieren, weiß aber nich, was hier zutrifft und wie ich das bestimmen kann? Wie bringe ich meine Funktion auf eine Form, die sich integrieren lässt, bzw auf die sich der Residuensatz anwenden lässt?
Es wäre super, wenn ihr mir einen Tipp geben könntet.
Vielen Dank vorab!
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Du kannst doch hier direkt mit dem Residuensatz arbeiten. Allerdings liegt auch - [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] im Innern des Kreises (vom Radius 3 oder 4?). Die Residuen findest du am schnellsten, wenn du die Sache auf den Ursprung zurückschiebst, für die Stelle [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] etwa so:
[mm]\tan z = \tan \left( \left( z - \frac{\pi}{2} \right) + \frac{\pi}{2} \right) = - \cot \left( z - \frac{\pi}{2} \right)[/mm]
Mit [mm]w = z - \frac{\pi}{2}[/mm] folgt:
[mm]- \cot w = - \frac{\cos w}{\sin w} = - \frac{1 - \frac{1}{2} w^2 \pm \ldots}{w - \frac{1}{6}w^3 \pm \ldots} = - \frac{1}{w} \cdot \frac{1 - \frac{1}{2} w^2 \pm \ldots}{1 - \frac{1}{6} w^2 \pm \ldots}[/mm]
Und hieran kann man alles ablesen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Wiebs91 |
Ja, ich meinte Radius 4, tut mir Leid, hab mich verschrieben :)
Wenn ich das jetzt als cotangens schreibe, und dabei
[mm] \bruch{1}{w} [/mm] rausziehe, dann kann ich den Rest als holomorphen Restterm betrachten, der dann integriert über der Kurve zu Null wird? Sodass ich nur noch
[mm] \bruch{1}{w} [/mm] über der Kurve integrieren muss bzw das Residuum berechnen muss für jede der beiden Polstellen? Aber wie gehe ich damit um dass zB. meine eine Polstelle ja [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ist und [mm] w=z-\bruch{\pi}{2} [/mm] ? Ist die Polstelle für -cot = 0 dann? Wenn ich den cot integriert habe, muss ich das noch irgendwie zurückverwandeln oder ist das dann mein Integral?
Tut mir Leid, das klingt alles "dumm" was ich schreibe, aber ich kämpfe mich seit Stunden durch das Skript und bin leider nicht überintelligent, sodass ich die "Trivialität" bei allem sofort sehe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Wiebs91 |
Also ich habe nun folgendes gemacht:
mit deiner Umformung erhalte ich ja ( mit dem w wie im vorigen Beitrag)
tan(z) = - cot(w) = [mm] -\bruch{1}{w}\*\bruch{...}{...} [/mm] und definiere mir diesen unendlichen Bruch als g(z), welcher ja holomorph ist.
Das Integral ergibt sich also zu
[mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{w}dw} [/mm] mit [mm] \gamma=\epsilon\*4e^{it} [/mm] + [mm] w_0
[/mm]
wobei [mm] w_0 [/mm] = 0 für [mm] z_0=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
und [mm] w_0 [/mm] = - [mm] \pi [/mm] für [mm] z_0 =\bruch{-\pi}{2}
[/mm]
Integriere ich also darüber, erhalte ich bei beiden -1 als integral
Mit dem Residuensatz ergibt sich:
[mm] \integral_{\gamma}^{}{tan(z) dz}=2\*\pi\*i\*(-2) [/mm] = [mm] -4\*\pi\*i
[/mm]
Der Radius 4 bei der Kurve gibt ja nur an, welche Pole ich berücksichtigen muss, kürzt sich aber beim Integral selber weg, oder?
Und liege ich nach alledem auch richtig in der Anname, dass es sich beim Tan um wesentliche Singularitäten handelt, da ja in der Umgebung von [mm] \pi/2 [/mm] usw immer der tan unbeschränkt ist?
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Das Ergebnis stimmt, aber deine Argumentation verstehe ich gar nicht. Ich sehe da überhaupt keinen Sinn dahinter.
Eigentlich mußt du doch nur die Residuen berechnen. Wenn [mm]a,b[/mm] die Residuen von [mm]\tan z[/mm] an den Stellen [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] und [mm]- \frac{\pi}{2}[/mm] sind, dann gilt:
[mm]\int_{\gamma} \tan z ~ \mathrm{d}z = 2 \pi \operatorname{i} \cdot \left( a + b \right)[/mm]
Das genau sagt der Residuensatz.
Und meine Umformung sollte dir nur helfen, [mm]a[/mm] zu berechnen. Wie bereits gezeigt, folgt mit [mm]w = z - \frac{\pi}{2}[/mm] die Beziehung
[mm]\tan z = - \frac{1}{w} \cdot \underbrace{\ \ \frac{1 - \frac{1}{2} w^2 \pm \ldots}{1 - \frac{1}{6} w^2 \pm \ldots} \ \ }_{g(w)}[/mm]
[mm]g(w)[/mm] ist in einer Umgebung von [mm]w=0[/mm] holomorph (der Nenner wird ja nicht mehr 0). Also läßt sich [mm]g(w)[/mm] um 0 in eine Potenzreihe entwickeln. Das erste Glied ist das konstante Glied [mm]g(0) = 1[/mm], das nächste Glied wäre [mm]g'(0) \cdot w[/mm], das folgende [mm]\frac{g''(0)}{2!} \cdot w^2[/mm] usw . (Satz von Taylor). Jetzt wäre es gar nicht so einfach, diese Glieder zu berechnen (damit die Koeffizienten einen Namen haben, sage ich einmal [mm]p,q[/mm] zu ihnen). Das Entscheidende jedoch ist: Man braucht die Werte von [mm]p,q[/mm] usw. gar nicht zu kennen. Zur Berechnung des Residuums reicht das erste Glied. Mit der Potenzreihe
[mm]g(w) = 1 + pw + qw^2 + \ldots[/mm]
folgt oben
[mm]\tan z = - \frac{1}{w} \cdot \left( 1 + pw + qw^2 + \ldots \right) = - \frac{1}{w} - p - qw + \ldots = - \frac{1}{z - \frac{\pi}{2}} - p - q \left( z - \frac{\pi}{2} \right) + \ldots[/mm]
Damit haben wir die Tangensfunktion um [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] in eine Laurent-Reihe entwickelt. Zwar kennen wir konkret nur den Koeffizienten von [mm]\left( z - \frac{\pi}{2} \right)^{-1}[/mm], aber genau den brauchen wir, er ist ja unser Residuum [mm]a[/mm]! Wir lesen ab: [mm]a=-1[/mm]. (Zugleich sehen wir, daß [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] ein Pol (!!) erster Ordnung ist, denn es gibt keine weiteren Potenzen von [mm]z - \frac{\pi}{2}[/mm] mit negativen Exponenten.)
Um nun das Residuum [mm]b[/mm] der Tangensfunktion an der Stelle [mm]-\frac{\pi}{2}[/mm] zu bestimmen, mußt du die Tangensfunktion in eine Laurent-Reihe um [mm]- \frac{\pi}{2}[/mm] entwickeln. Du kannst dich natürlich auch darauf berufen, daß der Tangens die Periode [mm]\pi[/mm] besitzt, und die Berechnung auf den soeben berechneten Fall zurückführen. Ich empfehle dir trotzdem den ausführlichen Weg, um dich mit den Begriffen vertraut zu machen und dir Tricks zu merken. Der entscheidende Trick war ja die erste Umformung in meinem ersten Beitrag.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Wiebs91 |
Hey,
vielen Dank für die ausführliche Antwort!
Ich habe alles nochmal durchdacht und durchgerechnet und soweit denke ich auch verstanden :)
Die Umformung mit cot und tan wa rmir nicht klar, auch wenn sie eigentlich leicht herzuleiten ist.
Laurentreihen haben wir nicht gemacht, aber die sind lernbar ;)
einen schönen Abend dir noch! :)
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