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Hallo Matheraum... ich habe leider ein kleines Problem mit der Darstellung folgender Aufgabe:
Berechne das Kurvenintegral [mm] \integral_{\red{\vec{x}}}{\vec{F}\vec{ds}}
[/mm]
für [mm] \vec{F}(x,y,z)=\vektor{y^2+x \\ -xy \\ 1}
[/mm]
mit [mm] \vec{x}(t)=\vektor{-sin(t) \\ cos(t) \\ t}, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le 2\pi
[/mm]
Wir hatten bisher das Kurvenintegral wie folgt definiert: [mm] \integral_{\red{\gamma}}{\vec{F}\vec{ds}}
[/mm]
Kann ich nun voraussetzen, dass [mm] \red{\vec{x}}=\red{\gamma} [/mm] ???
Und somit wie folgt rechnen:
Das Kurvenintegral lautet für die Aufgabe [mm] \integral_0^{2\pi}{\left\langle \vec{F}(\vec{x}(t)),\vec{x}'(t)\right\rangle}dt
[/mm]
Parametrisierung ist gebeben mit [mm] \vec{x}=\vektor{-sin(t) \\ cos(t) \\ t} [/mm] und es ergibt sich somit [mm] \vec{x}'(t)=\vektor{-cos(t) \\ -sin(t) \\ 1}
[/mm]
Weiterhin ist [mm] \vec{F}(\vec{x}(t))=\vec{F}(-sin(t),cos(t),t)=\vektor{cos^2(t)-sin(t) \\ sin(t)cos(t) \\ 1}
[/mm]
Und somit ergibt sich:
[mm] \integral_0^{2\pi}{\left\langle \vektor{cos^2(t)-sin(t) \\ sin(t)cos(t) \\ 1},\vektor{-cos(t) \\ -sin(t) \\ 1}\right\rangle}dt=\integral_0^{2\pi}{-cos^3(t)+sin(t)cos(t)-sin^2(t)cos(t)+1}dt=\integral_0^{2\pi}{-cos^3(t)}dt+\integral_0^{2\pi}{sin(t)cos(t)}dt-\integral_0^{2\pi}{sin^2(t)cos(t)}dt+\integral_0^{2\pi}{1}dt
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_0^{2\pi}{\left\langle \vektor{cos^2(t)-sin(t) \\ sin(t)cos(t) \\ 1},\vektor{-cos(t) \\ -sin(t) \\ 1}\right\rangle}dt=-[-\bruch{1}{3}sin(t)(sin^2(t)-3)]_0^{2\pi}+[-\bruch{1}{2}cos^2(t)]_0^{2\pi}-[\bruch{1}{3}sin^3(t)]_0^{2\pi}+[/mm] [t][mm] _0^{2\pi}=0-\bruch{1}{2}-(-\bruch{1}{2})-0+2\pi=2\pi
[/mm]
mfg dodo4ever
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Mi 11.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Matheraum... ich habe leider ein kleines Problem mit
> der Darstellung folgender Aufgabe:
>
> Berechne das Kurvenintegral
> [mm]\integral_{\red{\vec{x}}}{\vec{F}\vec{ds}}[/mm]
>
> für [mm]\vec{F}(x,y,z)=\vektor{y^2+x \\ -xy \\ 1}[/mm]
>
> mit [mm]\vec{x}(t)=\vektor{-sin(t) \\ cos(t) \\ t},[/mm] 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le 2\pi[/mm]
>
> Wir hatten bisher das Kurvenintegral wie folgt definiert:
> [mm]\integral_{\red{\gamma}}{\vec{F}\vec{ds}}[/mm]
>
> Kann ich nun voraussetzen, dass [mm]\red{\vec{x}}=\red{\gamma}[/mm]
> ???
Ja
>
> Und somit wie folgt rechnen:
>
> Das Kurvenintegral lautet für die Aufgabe
> [mm]\integral_0^{2\pi}{\left\langle \vec{F}(\vec{x}(t)),\vec{x}'(t)\right\rangle}dt[/mm]
>
> Parametrisierung ist gebeben mit [mm]\vec{x}=\vektor{-sin(t) \\ cos(t) \\ t}[/mm]
> und es ergibt sich somit [mm]\vec{x}'(t)=\vektor{-cos(t) \\ -sin(t) \\ 1}[/mm]
>
> Weiterhin ist
> [mm]\vec{F}(\vec{x}(t))=\vec{F}(-sin(t),cos(t),t)=\vektor{cos^2(t)-sin(t) \\ sin(t)cos(t) \\ 1}[/mm]
>
> Und somit ergibt sich:
>
> [mm]\integral_0^{2\pi}{\left\langle \vektor{cos^2(t)-sin(t) \\ sin(t)cos(t) \\ 1},\vektor{-cos(t) \\ -sin(t) \\ 1}\right\rangle}dt=\integral_0^{2\pi}{-cos^3(t)+sin(t)cos(t)-sin^2(t)cos(t)+1}dt=\integral_0^{2\pi}{-cos^3(t)}dt+\integral_0^{2\pi}{sin(t)cos(t)}dt-\integral_0^{2\pi}{sin^2(t)cos(t)}dt+\integral_0^{2\pi}{1}dt[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral_0^{2\pi}{\left\langle \vektor{cos^2(t)-sin(t) \\ sin(t)cos(t) \\ 1},\vektor{-cos(t) \\ -sin(t) \\ 1}\right\rangle}dt=-[-\bruch{1}{3}sin(t)(sin^2(t)-3)]_0^{2\pi}+[-\bruch{1}{2}cos^2(t)]_0^{2\pi}-[\bruch{1}{3}sin^3(t)]_0^{2\pi}+[/mm]
> [t][mm]_0^{2\pi}=0-\bruch{1}{2}-(-\bruch{1}{2})-0+2\pi=2\pi[/mm]
Sieht gut aus.
FRED
>
> mfg dodo4ever
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Mi 11.01.2012 | | Autor: | dodo4ever |
Danke dir vielmals fred...
Warum auch immer diese Unterschiedlichen Konventionen und schreibweisen :(
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