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Hi :D
nachdem ich vor einigen Tagen hier eine Frage zu Kurvenintegralen hatte,
und Bastiane und Fire21 mir alles erklärt haben,
wollte ich euch bitten, vielleicht mal die folgende Lösung der folgenden
Aufgabe zu überprüfen und ggf. zu korrigieren. :D
Also hier die Aufgabe:
Es sei [mm] \Gamma [/mm] die Kurve im [mm] \mathff{R}^{3} [/mm] mit der Parameterdarstellung
[mm] \vec{x}:[0,2\pi] \rightarrow \mathff{R}^{3}, \qquad \vec{x}(t) [/mm] = [mm] (\sin(t), \sin^{2}(t), \cos^{2}(t))^{T}
[/mm]
und es sei [mm] \vec{g}:\mathff{R}^{3} \rightarrow \mathff{R}^{3} [/mm] das Vektorfeld mit
[mm] \vec{g}(x,y,z)=(1, [/mm] z, [mm] -y)^{T}
[/mm]
Berechnen sie das Kurvenintegral:
[mm] \integral_{\Gamma}\vec{g}(\vec{x})d\vec{x}
[/mm]
meine Lösung:
[mm] \vec{x}'(t) [/mm] = [mm] (\cos(t), 2\sin(t)\cos(t), -2\sin(t)\cos(t))^{T}
[/mm]
einsetzten:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}1-2\cos(t)\sin(t)-2\cos(t)\sin(t)dt
[/mm]
=
[mm] \integral_{0}^{2\pi}1-4\cos(t)\sin(t)dt
[/mm]
=
[mm] [t-2\sin^{2}(t)]_{0}^{2\pi} [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] - 0 = [mm] 2\pi
[/mm]
Danke fuer eure Mühe, Ciao...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Mi 20.07.2005 | | Autor: | Fire21 |
Hi,
die Definition für das Kurvenintegral lautete:
[mm] \int_{\gamma} [/mm] g(x)dx = [mm] \int_{a}^{b} g(\gamma(t))\cdot \dot{\gamma}(t) [/mm] dt
Gruß
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Also auf ein neues ;p
Es sei [mm] \Gamma [/mm] die Kurve im [mm] \mathff{R}^{3} [/mm] mit der Parameterdarstellung
[mm] \vec{x}:[0,2\pi] \rightarrow \mathff{R}^{3}, \qquad \vec{x}(t) [/mm] = [mm] (\sin(t), \sin^{2}(t), \cos^{2}(t))^{T} [/mm]
und es sei [mm] \vec{g}:\mathff{R}^{3} \rightarrow \mathff{R}^{3} [/mm] das Vektorfeld mit
[mm] \vec{g}(x,y,z)=(1, [/mm] z, [mm] -y)^{T}
[/mm]
Berechnen sie das Kurvenintegral:
$ [mm] \integral_{\Gamma}\vec{g}(\vec{x})d\vec{x} [/mm] $
meine Lösung:
[mm] \vec{x}'(t) [/mm] = [mm] (\cos(t), 2\sin(t)\cos(t), -2\sin(t)\cos(t))^{T} [/mm]
einsetzten:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}\cos(t)-2\cos(t)\sin^{3}(t)-2\cos^{3}(t)\sin(t)dt [/mm]
=
[mm] [\sin(t) [/mm] - [mm] \sin^{4}(t)+\frac{\cos^{4}(t)}{2}]_{0}^{2\pi} [/mm] = [mm] \sin(2\pi)-\sin^{2}(2\pi) [/mm] = 0
jetzt richtig?? :D
eigtl. klar, weil es hier auch ein Potential besitzt, oder??
Danke fuer eure Mühe, Ciao...
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Hallo!
Also, ich glaube, das stimmt noch nicht ganz:
> Es sei [mm]\Gamma[/mm] die Kurve im [mm]\mathff{R}^{3}[/mm] mit der
> Parameterdarstellung
> [mm]\vec{x}:[0,2\pi] \rightarrow \mathff{R}^{3}, \qquad \vec{x}(t)[/mm]
> = [mm](\sin(t), \sin^{2}(t), \cos^{2}(t))^{T}[/mm]
> und es sei [mm]\vec{g}:\mathff{R}^{3} \rightarrow \mathff{R}^{3}[/mm]
> das Vektorfeld mit
> [mm]\vec{g}(x,y,z)=(1,[/mm] z, [mm]-y)^{T}[/mm]
>
> Berechnen sie das Kurvenintegral:
>
> [mm]\integral_{\Gamma}\vec{g}(\vec{x})d\vec{x}[/mm]
>
> meine Lösung:
>
> [mm]\vec{x}'(t)[/mm] = [mm](\cos(t), 2\sin(t)\cos(t), -2\sin(t)\cos(t))^{T}[/mm]
>
> einsetzten:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\cos(t)-2\cos(t)\sin^{3}(t)-2\cos^{3}(t)\sin(t)dt[/mm]
Wie kommst du denn auf die beiden Minuszeichen? Ich habe da jeweils ein Plus stehen. Ich vermute, dass du dich vielleicht von dem z in der zweiten Komponente hast verwirren lassen, und dann die dritte Komponente der Ableitung eingesetzt hast, könnte das sein? Jedenfalls ist deine Reihenfolge auch anders als bei mir.
Ich meine aber, es müsste bei der zweiten Komponente von g auch die zweite der Ableitung gehören, auch wenn dort z als dritte Komponente hinkommt. Warum, kann ich dir leider nicht sagen.
> =
> [mm][\sin(t)[/mm] - [mm]\sin^{4}(t)+\frac{\cos^{4}(t)}{2}]_{0}^{2\pi}[/mm] =
> [mm]\sin(2\pi)-\sin^{2}(2\pi)[/mm] = 0
>
> jetzt richtig?? :D
>
> eigtl. klar, weil es hier auch ein Potential besitzt,
> oder??
Aber vielleicht kommt da dann trotzdem das Gleiche raus?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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