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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Mi 15.06.2011 | | Autor: | engels |
| Aufgabe | Berechnen Sie fur den Weg C = f(t; [mm] t^{2}; t^{3}) [/mm] : 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 2 das Kurvenintegral
[mm] \integral_{C}^{}{(2xy + z^{2} - 4x)dx + (x^{2} - 2y + 2z)dy + (2xz + 2y + 2z)dz}
[/mm]
einmal direkt und einmal mit Hilfe eines Potentials. |
So nun weiß ich leider fast gar nicht wie ich vorgehen soll.
Ich hab mal den direkten Weg probiert und mir eine passende Stammfunktion zu dem Integral gesucht und bei auf:
[mm] F(x,y,z)=x^{2}y+xz^{2}+2yz-2x^{2}-y^{2}+z^{2} [/mm] gekommen.
Nun hab ich F(2,4,8)-F(0,0,0)=198 gerechnet und den Wert zu bestimmen.
Ist das Vorgehen beim direkten Verfahren korrekt?
Ich weiß auch absolut nicht, wie ich es mit dem Potenital machen soll (war in der Vorlesung krank und leider haben wir kein Skript). Kann das jemand kurz erläutern?
Danke schonmal.
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Hallo engels,
> Berechnen Sie fur den Weg C = f(t; [mm]t^{2}; t^{3})[/mm] : 0 [mm]\le[/mm] t
> [mm]\le[/mm] 2 das Kurvenintegral
>
> [mm]\integral_{C}^{}{(2xy + z^{2} - 4x)dx + (x^{2} - 2y + 2z)dy + (2xz + 2y + 2z)dz}[/mm]
>
> einmal direkt und einmal mit Hilfe eines Potentials.
> So nun weiß ich leider fast gar nicht wie ich vorgehen
> soll.
>
> Ich hab mal den direkten Weg probiert und mir eine passende
> Stammfunktion zu dem Integral gesucht und bei auf:
>
> [mm]F(x,y,z)=x^{2}y+xz^{2}+2yz-2x^{2}-y^{2}+z^{2}[/mm] gekommen.
>
> Nun hab ich F(2,4,8)-F(0,0,0)=198 gerechnet und den Wert zu
> bestimmen.
>
> Ist das Vorgehen beim direkten Verfahren korrekt?
Die Stammfunktion stimmt zwar, aber das Ergebnis nicht.
>
> Ich weiß auch absolut nicht, wie ich es mit dem Potenital
> machen soll (war in der Vorlesung krank und leider haben
> wir kein Skript). Kann das jemand kurz erläutern?
>
Schreibt man den Integranden so:
[mm]\integral_{C}^{}{a\left(x,y,z \right) \ dx + b\left(x,y,z \right) \ dy + c\left(x,y,z \right) \ dz}[/mm]
Dann ist die Bedingung dafür,
daß es ein Potential gibt (Integrabilitätsbedingungen):
[mm]\bruch{\partial a\left(x,y,z \right)}{\partial y\right)}=\bruch{\partial b\left(x,y,z\right)}{\partial x\right)}[/mm]
[mm]\bruch{\partial a\left(x,y,z\right)}{\partial z\right)}=\bruch{\partial c\left(x,y,z\right)}{\partial x\right)[/mm]
[mm]\bruch{\partial b\left(x,y,z\right)}{\partial z\right)}=\bruch{\partial c\left(x,y,z\right)}{\partial y\right)}[/mm]
in einer sternförmigen offenen Menge.
Eine Menge heisst sternförmig, wenn mit Punkten p,q aus dieser Menge
auch deren Verbindungsstrecke enthalten ist.
> Danke schonmal.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mi 15.06.2011 | | Autor: | engels |
Ok, das verstehe ich nun. Ich kann auch nachweisen, dass es ein Potential gibt, nur wie bestimme ich es?
Da fällt mir nichts zu ein.
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Hallo engels,
> Ok, das verstehe ich nun. Ich kann auch nachweisen, dass es
> ein Potential gibt, nur wie bestimme ich es?
> Da fällt mir nichts zu ein.
>
Der Integrand stellt ein totales Differential dar,
läßt sich demnach so schreiben:
[mm]F_{x} \ dx + F_{y} \ dy + F_{z} \ dz[/mm]
Verglichen mit dem gegebenen Integranden ergibt sich:
[mm]F_{x} = a\left(x,y,z\right)[/mm]
[mm]F_{y} = b\left(x,y,z\right)[/mm]
[mm]F_{z} = c\left(x,y,z\right)[/mm]
Um jetzt ein Potential zu bestimmen, kannst Du z.B, so vorgehen:
[mm]F_{x} = a\left(x,y,z\right) \Rightarrow F=\integral_{}^{}{ a\left(x,y,z\right)\ dx}+k1\left(y,z\right)[/mm]
Dies nach y differenziert und mit
[mm]F_{y} = b\left(x,y,z\right)[/mm]
verglichen, liefert k1(y,z).
Dazu kommt noch eine Integrationskonstante, die nur von z abhängig ist.
Dann wird F nach z differenziert und mit
[mm]F_{z} = c\left(x,y,z\right)[/mm]
verglichen.
Gruss
MathePower
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