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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Linn |
| Aufgabe | Für z aus der geschlitzten Ebene [mm] \IC [/mm] _ := [mm] \IC- [/mm] {z: Im(z)=0, [mm] Re(z)\le0 [/mm] } sei L(z):= [mm] \integral_{1}^{z}{\bruch{1}{w} dw}.
[/mm]
Die Integration erfolge dabei auf einer Kurve, die 1 mit z innerhalb [mm] \IC_ [/mm] verbindet.
Berechne L(z), indem du als Kurve die Strecke von 1 nach |z| und dann weiter von |z| keisförmig nach [mm] z=|z|e^{i*fi} [/mm] wählen. |
Ich habe L(z) von 1 nach |z| berechnet und Ln(|z|) rausbekommen.
Dann habe ich eine Fallunterscheidung gemacht mit fi [mm] \in [0,\pi) [/mm] da kam i*fi raus.
Nun noch fi [mm] \in (\pi,2*\pi]. [/mm] Dazu habe ich zwei unterschiedliche Rechnungen gesehen.
Die erste sieht so aus:
[mm] \gamma(t)=|z|*e^{it} [/mm]
[mm] \integral_{2*\pi}^{fi}{f(w) dw}= i(fi-2*\pi)
[/mm]
Die andere so:
[mm] \gamma(t)=|z|*e^{i(\pi-t)}
[/mm]
[mm] \integral_{\pi}^{fi}{f(w) dw}= i(\pi-fi)
[/mm]
Ich selber hätte es noch anders gemacht:
[mm] \gamma(t)=|z|*e^{it}
[/mm]
[mm] \integral_{fi}^{2*\pi}{f(w) dw}= i(2*\pi-fi)
[/mm]
Was ist denn nun richtig und warum. Ich bin da etwas verwirrt worden.
Lg Linn
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Mo 09.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Du brauchst keine Fallunterscheidung:
Sei [mm] \phi [/mm] = Arg(z) (Hauptwert des Arguments).
Mit $ [mm] \gamma(t)=|z|\cdot{}e^{it} [/mm] $
ist dann das Integral von |z| bis z =
[mm] \integral_{\gamma}^{}{f(w) dw} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\phi}{\bruch{i|z|e^{it}}{|z|e^{it}} dt} [/mm] = $i [mm] \phi$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Linn |
Na das ist ja schön einfach...
Dann hätt ich trotzdem nochmal ne generelle Frage:
Wenn [mm] \gamma [/mm] = [mm] re^{it} [/mm] ist, mit t [mm] \in [0,\pi] [/mm] dann laufe ich doch auf dem Kreis gegen den Urzeigersinn.
Wenn ich jetzt mit dem Uhrzeigersinn laufe, ist dann [mm] \gamma [/mm] = [mm] re^{-it} [/mm] oder [mm] \gamma [/mm] = [mm] -re^{-it} [/mm] und von wo bis wo integriere ich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mo 09.02.2009 | | Autor: | fred97 |
[mm] $\gamma(t) [/mm] = [mm] re^{i(\pi-t)}$, [/mm] t [mm] \in [/mm] [0, [mm] \pi]
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Linn |
Aber [mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] re^{i(\pi-t)} [/mm] ist doch = [mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] -re^{-it}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Mo 09.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Aber [mm]\gamma(t)[/mm] = [mm]re^{i(\pi-t)}[/mm] ist doch = [mm]\gamma(t)[/mm] =
> [mm]-re^{-it}[/mm]
Richtig
FRED
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