Kurvenintegral < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:10 Sa 25.04.2015 | | Autor: | Rzeta |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Integrale für die durch t [mm] \rightarrow [/mm] (cost(t),sin(t)), t [mm] \in [0,2\pi], [/mm] parametrisierte Kurve [mm] \gamma [/mm] und geben Sie jeweils an, um welchen Typ es sich handelt.
[mm] 1)\oint_{\gamma} \bruch{1}{||\vec{x}||}||d \vec{x}||
[/mm]
2) [mm] \oint_{\gamma} \bruch{1}{||\vec{x}||}\vec{x}||d \vec{x}||
[/mm]
3) [mm] \oint_{\gamma} \bruch{1}{||\vec{x}||^2}\vec{x} d\vec{x}
[/mm]
4) [mm] \oint_{\gamma} \bruch{1}{||\vec{x}||}\vec{x}ds
[/mm]
5) [mm] \oint_{\gamma} x_1x_2^2dx_1+x_1^2x_2dx_2 [/mm] |
Hallo,
ich hoffe die Frage wird nicht zu lange aber ich habe momentan ziemlich viele Verständnisprobleme in Mathe und ich hasse es Sachen einfach nur stupide zu rechnen und nichts wirklich zu verstehen.
Wir besprechen momentan Skalare und Vektorielle Kurven-/Wegintegrale. Hier gehts schonmal los. Was ist eigentlich der genaue Unterschied zwischen diesen beiden Integralen? Soweit ich das verstanden habe dann kann ich mir vorstellen das mein Weg einmal durch ein Skalarfeld und einmal durch ein Vektorfeld läuft oder? Ich hab aber keine Ahnung inwiefern sich das dann mathematisch auf mein Integral auswirkt.
Angenommen ich möchte jetzt das skalare Kurvenintegral von irgendeiner Funktion f berechnen. Berechne ich dann quasi die länge des Weges/Kurve in einem bestimmten Intervall? Mache ich das dann auch für das vektor Kurvenintegral?
Ich hoffe wenn ich diese Sachen verstehe dann kann ich die oben gestellte Frage selber beantworten.
Danke schonmal im Voraus
Liebe Grüße
Rzeta
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 So 26.04.2015 | | Autor: | Rzeta |
Ok ich hab mich jetzt nochmal an die Integrale gemacht und versucht diese zu lösen.
[mm] $||\vec{x}(t)||=\sqrt{\sin^2t+\cos^2t}=1$
[/mm]
[mm] $\frac{d\vec{x}(t)}{dt}=\begin{pmatrix}-\sin(t) \\ \cos(t) \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $\space$
[/mm]
$1) [mm] \space \space \oint_{\gamma} \frac{1}{||\vec{x}||}||d \vec{x}||=\oint_{0}^{2\pi}\frac{1}{1}\cdot dt=2\pi$
[/mm]
2) [mm] $\oint_{\gamma} \frac{1}{||\vec{x}||}\vec{x}||d \vec{x}||=\oint_{0}^{2\pi}1\cdot \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix} [/mm] dt$
[mm] =$\oint_{0}^{2\pi} \cos [/mm] t [mm] \space \space dt+\oint_{0}^{2\pi} \sin [/mm] t [mm] \space \space [/mm] dt$
Das macht aber irgendwie keinen Sinn da die Fläche die das integral ausspuckt ja negativ ist.
[mm] 3)$\oint_{\gamma} \frac{1}{||\vec{x}||^2}\vec{x} d\vec{x}=\oint_{0}^{2\pi} \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \end{pmatrix} \space [/mm] dt=0$
4) [mm] $\oint_{\gamma} \frac{1}{||\vec{x}||}\vec{x}ds$=?
[/mm]
5) [mm] $\oint_{\gamma} x_1x_2^2dx_1+x_1^2x_2dx_2=?$
[/mm]
Ich verstehe nicht ganz was damit gemeint ist den "Typ" des Integrals anzugeben. Vielleicht könnt ihr mir ja noch ein paar Tips geben.
Vielen Dank im Voraus
Rzeta
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Di 28.04.2015 | | Autor: | chrisno |
> Ok ich hab mich jetzt nochmal an die Integrale gemacht und
> versucht diese zu lösen.
>
> [mm]||\vec{x}(t)||=\sqrt{\sin^2t+\cos^2t}=1[/mm]
>
> [mm]\frac{d\vec{x}(t)}{dt}=\begin{pmatrix}-\sin(t) \\ \cos(t) \end{pmatrix}[/mm]
Das sieht richtig aus.
>
> [mm]\space[/mm]
>
> [mm]1) \space \space \oint_{\gamma} \frac{1}{||\vec{x}||}||d \vec{x}||=\oint_{0}^{2\pi}\frac{1}{1}\cdot dt=2\pi[/mm]
Das auch
>
> 2) [mm]\oint_{\gamma} \frac{1}{||\vec{x}||}\vec{x}||d \vec{x}||=\oint_{0}^{2\pi}1\cdot \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix} dt[/mm]
soweit auch, aber
>
>
> =[mm]\oint_{0}^{2\pi} \cos t \space \space dt+\oint_{0}^{2\pi} \sin t \space \space dt[/mm]
Da stand vorher ein Vektor unter dem Integral und nun ist er weg. Wenn Du Dir das Integrieren als Aufsammeln vorstellst, dann kann das nicht sein. Du gehst einen Weg lang. In kurzen Abständen hältst Du an und sammelst kleine Vektoren auf. Diese addierst Du zu den bisher aufgesammelten. Das Ergebnis ist ein Vektor. Also:
=[mm]\vektor{\oint_{0}^{2\pi} \cos t \space \space dt \\ \oint_{0}^{2\pi} \sin t \space \space dt}[/mm]
Nun kannst Du auch überlegen, was herauskommen muss: Auf dem Kreis sammelst Du die Komponenten von [mm] $\vec{x}$ [/mm] getrennt auf. Für die x-Komponente findest DU für jeden positiven Wert nach einem Halbkreis den passenden negativen Wert. Sie addieren sich zu Null. Entsprechendes passiert für die y-Komponente.
>
> Das macht aber irgendwie keinen Sinn da die Fläche die das
> integral ausspuckt ja negativ ist.
Das erkläre mal. Was ist die Fläche, warum ist es nicht möglich, dass das Integral negativ wird?
>
> 3)[mm]\oint_{\gamma} \frac{1}{||\vec{x}||^2}\vec{x} d\vec{x}=\oint_{0}^{2\pi} \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \end{pmatrix} \space dt=0[/mm]
ok, es wäre günstiger, hier noch einen Zwischenschritt anzugeben.
>
> 4) [mm]\oint_{\gamma} \frac{1}{||\vec{x}||}\vec{x}ds[/mm]=?
ds ist ein Wegstückchen entlang des Wegs [mm] $\gamma$. $ds^2 [/mm] = [mm] dx^2+dy^2$
[/mm]
>
> 5) [mm]\oint_{\gamma} x_1x_2^2dx_1+x_1^2x_2dx_2=?[/mm]
[mm] $dx_1$ [/mm] und [mm] $dx_2$ [/mm] sind die Komponenten von [mm] $\gamma$
[/mm]
>
> Ich verstehe nicht ganz was damit gemeint ist den "Typ" des
> Integrals anzugeben. Vielleicht könnt ihr mir ja noch ein
> paar Tips geben.
Gib erst die Definitionen aus der Vorlesung.
|
|
|
|
