Kurvenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Es sei
v(x) = [mm] \begin{pmatrix} 2x_{1}e^{x_{3}} + 4x_{1}x_{2}^{3} \\ 6x_{1}^{2}x_{2}^{2} \\ x_{1}^{2}e^{x_{3}} + 3x_{3}^{2} \end{pmatrix} [/mm] , x = [mm] (x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T} \in R^{3}
[/mm]
Berechnen Sie das Integral
[mm] \integral_{x}^{}{v * dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{}{v * d\vec s}
[/mm]
für den durch die Spirale gegebenen Weg x : [mm] [0,4\pi] [/mm] -> [mm] R^{3}, [/mm] x(t) = (2cos t, 2sin t, [mm] t)^{T}, [/mm] t [mm] \in [0,\pi]. [/mm] |
Hi,
ich habe eine solche Aufgabe noch nie gerechnet und habe deshalb ein paar Fragen.
Für was steht hier das [mm] d\vec [/mm] s ?
Muss ich hier für [mm] x_{1-3} [/mm] jeweils die gegeben Werte mit t einsetzen und dann für t einmal [mm] 4\pi [/mm] und einmal 0 einsetzen und die Stammfunktion der Vektorfeld berechnen.
Dann noch die Stammfunktionen mit [mm] 4\pi [/mm] mit den Stammfunktion mit 0 subtrahieren und habe damit das Integral berechnet?
Danke für eure Hilfe im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Mo 01.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es sei
> v(x) = [mm]\begin{pmatrix} 2x_{1}e^{x_{3}} + 4x_{1}x_{2}^{3} \\ 6x_{1}^{2}x_{2}^{2} \\ x_{1}^{2}e^{x_{3}} + 3x_{3}^{2} \end{pmatrix}[/mm]
> , x = [mm](x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T} \in R^{3}[/mm]
>
> Berechnen Sie das Integral
> [mm]\integral_{x}^{}{v * dx}[/mm] = [mm]\integral_{a}^{}{v * d\vec s}[/mm]
>
> für den durch die Spirale gegebenen Weg x : [mm][0,4\pi][/mm] ->
> [mm]R^{3},[/mm] x(t) = (2cos t, 2sin t, [mm]t)^{T},[/mm] t [mm]\in [0,\pi].[/mm]
> Hi,
> ich habe eine solche Aufgabe noch nie gerechnet und habe
> deshalb ein paar Fragen.
>
> Für was steht hier das [mm]d\vec[/mm] s ?
Bogenlänge.
>
> Muss ich hier für [mm]x_{1-3}[/mm] jeweils die gegeben Werte mit t
> einsetzen und dann für t einmal [mm]4\pi[/mm] und einmal 0
> einsetzen und die Stammfunktion der Vektorfeld berechnen.
> Dann noch die Stammfunktionen mit [mm]4\pi[/mm] mit den
> Stammfunktion mit 0 subtrahieren und habe damit das
> Integral berechnet?
Quatsch !
v hat eine Stammfunktion F. Dann ist das Integral = $F(x(4 [mm] \pi))-F(x(0))$
[/mm]
FRED
>
> Danke für eure Hilfe im voraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Di 02.12.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich habe dann mich dann mal an der Aufgabe versucht.
Das Vektorfeld hat ja drei Stammfunktion.
Dies ist meine Stammfunktion des Vektorfeldes:
F = [mm] \begin{pmatrix} x_{1}^{2}e^{x_{3}} + 2x_{1}^{2}x_{2}^{3} + x_{3}^{2} \\ 2x_{1}^{2}x_{2}^{3} + x_{1}^{2}e^{x_{3}} + 6x_{3} \\ x_{1}^{2}e^{x_{3}} + x_{3}^{3} + 2x_{1}^{2}x_{2}^{3} \end{pmatrix}
[/mm]
Dann habe ich statt [mm] x_{1-3} [/mm] 2cos(t),2sin(t) & t verwendet und für t einmal [mm] 4\pi [/mm] und einmal 0 benutzt.
[mm] F(x(4\pi)) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 4e^{4\pi} + 64\pi^{3} \\ 4e^{4\pi} + 24\pi \\ 4e^{4\pi} + 64\pi^{3} \end{pmatrix}
[/mm]
F(x(0)) = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] F(x(4\pi)) [/mm] - F(x(0)) = [mm] \begin{pmatrix} 4e^{4\pi} + 64\pi^{3} - 4 \\ 4e^{4\pi} + 24\pi - 4 \\ 4e^{4\pi} + 64\pi^{3} - 4 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} e^{4\pi} + 16\pi^{3} - 1 \\ e^{4\pi} + 6\pi - 1 \\ e^{4\pi} + 16\pi^{3} - 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Ist das korrekt?
Danke für die Hilfe im voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Di 02.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> ich habe dann mich dann mal an der Aufgabe versucht.
>
> Das Vektorfeld hat ja drei Stammfunktion.
> Dies ist meine Stammfunktion des Vektorfeldes:
> F = [mm]\begin{pmatrix} x_{1}^{2}e^{x_{3}} + 2x_{1}^{2}x_{2}^{3} + x_{3}^{2} \\ 2x_{1}^{2}x_{2}^{3} + x_{1}^{2}e^{x_{3}} + 6x_{3} \\ x_{1}^{2}e^{x_{3}} + x_{3}^{3} + 2x_{1}^{2}x_{2}^{3} \end{pmatrix}[/mm]
Das ist doch Unsinn ! Eine Stammfunktion ist eine reelwertige Funktion !!!
FRED
>
> Dann habe ich statt [mm]x_{1-3}[/mm] 2cos(t),2sin(t) & t verwendet
> und für t einmal [mm]4\pi[/mm] und einmal 0 benutzt.
>
> [mm]F(x(4\pi))[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 4e^{4\pi} + 64\pi^{3} \\ 4e^{4\pi} + 24\pi \\ 4e^{4\pi} + 64\pi^{3} \end{pmatrix}[/mm]
>
> F(x(0)) = [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]F(x(4\pi))[/mm] - F(x(0)) = [mm]\begin{pmatrix} 4e^{4\pi} + 64\pi^{3} - 4 \\ 4e^{4\pi} + 24\pi - 4 \\ 4e^{4\pi} + 64\pi^{3} - 4 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} e^{4\pi} + 16\pi^{3} - 1 \\ e^{4\pi} + 6\pi - 1 \\ e^{4\pi} + 16\pi^{3} - 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ist das korrekt?
>
> Danke für die Hilfe im voraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Di 02.12.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
in einer vorherigen Aufgabe musst ich alle Stammfunktion von v berechnen und das sind diejenigen ich in das "Stammfunktionsvektorfled" eigetragen habe.
Sind die Stammfunktionen denn schon falsch ?
Wenn sie richtig sind, muss ich dann einfach eine der drei nehmen oder wie komme ich an die zu verwendende Stammfunktion?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Di 02.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> in einer vorherigen Aufgabe musst ich alle Stammfunktion
> von v berechnen und das sind diejenigen ich in das
> "Stammfunktionsvektorfled" eigetragen habe.
>
> Sind die Stammfunktionen denn schon falsch ?
>
> Wenn sie richtig sind, muss ich dann einfach eine der drei
> nehmen oder wie komme ich an die zu verwendende
> Stammfunktion?
Das habe ich Dir doch schon hier gesagt:
https://matheraum.de/read?i=1043280
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Di 02.12.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
also kann ich mir eine der drei Stammfunktionen von v auswählen, da sich die Stammfunktionen einer Funktion nur durch eine additive Konstante unterscheiden ?
Ich hoffe ich habe ihre Hinweise nun richtig verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Di 02.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> also kann ich mir eine der drei Stammfunktionen von v
> auswählen, da sich die Stammfunktionen einer Funktion nur
> durch eine additive Konstante unterscheiden ?
>
> Ich hoffe ich habe ihre Hinweise nun richtig verstanden.
Ich glaube nicht .....
Du hattest
F = $ [mm] \begin{pmatrix} x_{1}^{2}e^{x_{3}} + 2x_{1}^{2}x_{2}^{3} + x_{3}^{2} \\ 2x_{1}^{2}x_{2}^{3} + x_{1}^{2}e^{x_{3}} + 6x_{3} \\ x_{1}^{2}e^{x_{3}} + x_{3}^{3} + 2x_{1}^{2}x_{2}^{3} \end{pmatrix} [/mm] $
1. Eine Stammfunktion ist eine reellwertige Funktion.
2. Von den 3 Einträgen in Deinem obigen F ist nur
(*) [mm] x_{1}^{2}e^{x_{3}} [/mm] + [mm] x_{3}^{3} [/mm] + [mm] 2x_{1}^{2}x_{2}^{3} [/mm]
eine Stammfunktion von v.
Wenn Du meine Ratschläge in dem früheren Thread umgesetzt hättest, dann hättest Du Dich nicht verrechnet und mit Deinen beiden anderen Wegen eine Stammfunktion von v zu ermitteln, hättest Du jedesmal (*) bekommen.
3. Es ist also
[mm] F(x_1,x_2,x_3)=x_{1}^{2}e^{x_{3}} [/mm] + [mm] x_{3}^{3} [/mm] + [mm] 2x_{1}^{2}x_{2}^{3} [/mm]
eine Stammfuktion von v.
Ist G eine weitere Stammfunktion von v, so gibt es ein c [mm] \in \IR [/mm] mit:
G=F+c
(c ist unabhängig von den Variablen [mm] x_1,x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] !!!)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Di 02.12.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
danke für die Anmerkung.
Ich habe bei der "ersten" Stammfunktion leider [mm] x_{3}^{2} [/mm] statt [mm] x_{3}^{3} [/mm] geschrieben. Das hatte ich bei meinen Rechnung auf dem Blatt richtig, sorry.
Bei der zweiten Stammfunktion habe ich meinen Fehler gerade eben gesehen.
Ich habe nach dem differenzieren nach [mm] x_{3} [/mm] das integrieren falsch gemacht.
Aus [mm] 3x_{3}^{2} [/mm] muss [mm] x_{3}^{3} [/mm] werden.
Jetzt habe ich alle Stammfunktionen richtig und jetzt werde ich das Integral berechnen.
Danke für den Hinweis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Di 02.12.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
nun verwende ich die Stammfunktion [mm] F(x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] = [mm] x_{1}^{2}e^{x_{3}} [/mm] + [mm] 2x_{1}^{2}x_{2}^{3} [/mm] + [mm] x_{3}^{3}
[/mm]
[mm] F(x(4\pi)) [/mm] = [mm] (2cos(4\pi))^{2}e^{4\pi} [/mm] + [mm] 2(2cos(4\pi))^{2} (2sin(4\pi))^{3} [/mm] + [mm] (4\pi)^{3} [/mm] = [mm] 4e^{4\pi} [/mm] + [mm] 64\pi^{3}
[/mm]
F(x(0)) = [mm] (2cos(0))^{2}e^{0} [/mm] + [mm] 2(2cos(0))^{2} (2sin(0))^{3} [/mm] + [mm] 0^{3} [/mm] = 4
[mm] F(x(4\pi)) [/mm] - F(x(0)) = [mm] 4e^{4\pi} [/mm] + [mm] 64\pi^{3} [/mm] - 4 = [mm] e^{4\pi} [/mm] + [mm] 16\pi^{3} [/mm] - 1
Ist das korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Di 02.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> nun verwende ich die Stammfunktion [mm]F(x_{1},x_{2},x_{3})[/mm] =
> [mm]x_{1}^{2}e^{x_{3}}[/mm] + [mm]2x_{1}^{2}x_{2}^{3}[/mm] + [mm]x_{3}^{3}[/mm]
>
> [mm]F(x(4\pi))[/mm] = [mm](2cos(4\pi))^{2}e^{4\pi}[/mm] + [mm]2(2cos(4\pi))^{2} (2sin(4\pi))^{3}[/mm]
> + [mm](4\pi)^{3}[/mm] = [mm]4e^{4\pi}[/mm] + [mm]64\pi^{3}[/mm]
>
> F(x(0)) = [mm](2cos(0))^{2}e^{0}[/mm] + [mm]2(2cos(0))^{2} (2sin(0))^{3}[/mm]
> + [mm]0^{3}[/mm] = 4
>
> [mm]F(x(4\pi))[/mm] - F(x(0)) = [mm]4e^{4\pi}[/mm] + [mm]64\pi^{3}[/mm] - 4 = [mm]e^{4\pi}[/mm]
> + [mm]16\pi^{3}[/mm] - 1
>
> Ist das korrekt?
Ja
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 Di 02.12.2014 | | Autor: | Bindl |
Danke für die Hilfe !!!
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