Kurvendiskussion mit Parameter < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Do 18.10.2007 | | Autor: | pucki |
| Aufgabe | Zu jedem k [mm] \varepsilon [/mm] R ist eine Funktion [mm] f_{k} [/mm] gegeben durch [mm] f_{k}(x)=x(x+k)-k. [/mm] Ihr Graph sei [mm] G(f_{k}). [/mm]
b) Für welchen Wert von k beührt [mm] G(f_{k}) [/mm] die x-Achse?
c) Welche Funktionen haben zwei verschiedene Nullstellen?
d) Zeige, dass es einen Punkt gibt, durch den alle Kurven [mm] G(f_{k}) [/mm] gehen. Gib diesen Punkt an. |
Also für a) habe ich [mm] f_{k}=0 [/mm] gesetzt
x²+kx-k=0
[mm] x_{1}=-k- \wurzel{k²+k} [/mm] v [mm] x_{2}=-k+\wurzel{k²+k}
[/mm]
Aber jetzt weiß ich auch nicht weiter und bei c) und d) weiß ich überhaupt nicht, was ich machen soll.
Kann mir vielleicht jemand hierbei helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Do 18.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Zu jedem k [mm]\varepsilon[/mm] R ist eine Funktion [mm]f_{k}[/mm] gegeben
> durch [mm]f_{k}(x)=x(x+k)-k.[/mm] Ihr Graph sei [mm]G(f_{k}).[/mm]
>
> b) Für welchen Wert von k beührt [mm]G(f_{k})[/mm] die x-Achse?
> c) Welche Funktionen haben zwei verschiedene Nullstellen?
> d) Zeige, dass es einen Punkt gibt, durch den alle Kurven
> [mm]G(f_{k})[/mm] gehen. Gib diesen Punkt an.
> Also für a) habe ich [mm]f_{k}=0[/mm] gesetzt
>
> x²+kx-k=0
>
> [mm]x_{1}=-k- \wurzel{k²+k}[/mm] v
> [mm]x_{2}=-k+\wurzel{k²+k}[/mm]
Deine Werte für [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] passen nicht.
x²+kx-k=0 wird mit der p-q-Formel zu:
[mm] x_{1;2}=\bruch{k}{2}\pm\wurzel{\bruch{k²}{4}+k}
[/mm]
Also muss gelten [mm] x_{1}=x_{2}
[/mm]
Somit gilt:
[mm] \bruch{k}{2}-\wurzel{\bruch{k²}{4}+k}=\bruch{k}{2}+\wurzel{\bruch{k²}{4}+k}
[/mm]
Das geht aber nur, wenn die Wurzel selber =0 ist, also muss gelten:
[mm] \wurzel{\bruch{k²}{4}+k}=0
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{k²}{4}+k=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] k²+4k=0
[mm] \gdw [/mm] k(k+4)=0
[mm] \Rightarrow k_{1}=0, k_{2}=-4
[/mm]
>
> Aber jetzt weiß ich auch nicht weiter und bei c) und d)
> weiß ich überhaupt nicht, was ich machen soll.
>
Zu der Suche nach den Verschiedenen Nullstellen:
Die Funktion hat ja zwei Nullstellen, wenn die oben genannte Wurzel überhaupt "ziehbar" ist, also muss der Wurzelterm (Die Diskriminante genannt) grösser als Null sein.
Also muss gelten: [mm] D(k)=\bruch{k²}{4}+k>0
[/mm]
Wir wissen jetzt aus der ersten Aufgabe, dass diese "Funktion" die Nullstellen 0 und -4 hat. Bleibt noch die Frage, was "dazwischen" passiert.
Nehmen wir also k=2, dasergibt D(-2)=-1>0
Also ist für -4<k<0 D(k)<0, es existieren als keine Lösungen für f(x)=x²+kx-k=0
Wann Lösungen existieren kannst du jetzt ja mal überlegen.
Zur Aufgabe mit einem Punkt:
Hier soll gelten, [mm] x²+k_{1}x-k_{1}=x²+k_{2}x-k_{2}, [/mm] egal, was ich für [mm] k_{1} [/mm] und [mm] k_{2} [/mm] einsetze, da der Punkt ja von k unabhängig sein soll.
Also:
[mm] x²+k_{1}x-k_{1}=x²+k_{2}x-k_{2}
[/mm]
[mm] \gdw k_{1}x-k_{1}=k_{2}x-k_{2}
[/mm]
[mm] \gdw (k_{1}-k_{2})x=-k_{2}+k_{1}
[/mm]
[mm] \gdw x=\bruch{-k_{2}+k_{1}}{k_{1}-k_{2}}=\bruch{k_{1}-k_{2}}{k_{1}-k_{2}}=...
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Do 18.10.2007 | | Autor: | pucki |
Nehmen wir also k=2, dasergibt D(-2)=-1>0
wie kommst du darauf?
$ [mm] \gdw x=\bruch{-k_{2}+k_{1}}{k_{1}-k_{2}}=\bruch{k_{1}-k_{2}}{k_{1}-k_{2}}=... [/mm] $
und was soll ich danach machen?
sry, aber ich kann die aufgabe überhaupt nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Do 18.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo pucki!
> Nehmen wir also k=2, dasergibt D(-2)=-1>0
>
> wie kommst du darauf?
Hier verstehe ich nicht, was Du gerade machst ... bzw. wo Du gerade bist.
> [mm]\gdw x=\bruch{-k_{2}+k_{1}}{k_{1}-k_{2}}=\bruch{k_{1}-k_{2}}{k_{1}-k_{2}}=...[/mm]
>
> und was soll ich danach machen?
Sieh Dir den Bruch doch mal an, da kann man doch wunderbar kürzen ... was verbleibt?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Do 18.10.2007 | | Autor: | pucki |
achjaa stimmt .. man binich doof
bleibt x=1
danke schön =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Do 18.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo pucki!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und welcher y-Wert gehört zu diesem x-Wert? Schließlich ist ja hier nach einem Punkt gefragt, der stets aus zwei Koordinatenwerten besteht.
Gruß
Loddar
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