Kurvendiskussion; ln-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen den maximalen Definitionsbereich, die Nullstellen, Monotonie, lokale Extremstellen, Wendestellen und das Verhalten an den Definitionslücken und für x→±∞:
a) f(x) = [mm] ln|\bruch{x}{x^{2} + 1}| [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zunächst kann ich die Funktion wegen der Logarithmusgesetze ja umformen, oder geht das mit dem Betrag nicht?:
[mm] ln|\bruch{x}{x^{2} + 1}| [/mm] = ln|x| - [mm] ln|x^{2} [/mm] + 1|
Als Ableitungen habe ich
f'(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{2x}{x^{2} + 1}
[/mm]
f''(x) = [mm] -\bruch{1}{x^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{2x^{2} - 2}{x^{4} + 2x^{2} + 1}
[/mm]
heraus.
Nun möchte ich die lokalen Extrema bestimmen, daher
notw. Bed.: f'(x) = 0 :
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{2x}{x^{2} + 1} [/mm] = 0 |- [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
...
x = [mm] \pm \wurzel{-\bruch{1}{3}}
[/mm]
Die Wurzel aus einer negativen Zahl hat ja in der reellen Menge keine Lösung, aber laut Skizze müsste f zwei Hochstellen bei x = {-1, 1} haben...
Sieht jemand den Fehler? :/
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Immer diese Flüchtigkeitsfehler... >.<
Danke! :)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Beim hinteren Term könntest Du die Betragsstriche gar weglassen, da [mm] $x^2+1 [/mm] \ > \ 0$ .
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Folgefehler wegen Vorzeichen in der 1. Ableitung.
