Kurvendiskussion / Steckbrief < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Mo 18.08.2008 | | Autor: | jhwas |
| Aufgabe | Zwei geradlinige Rohre sollen miteinander durch ein drittes Roht verbunden werden. Das 1. Rohr kann in einem ebenen Koordinatensystem durch die gerade g1: y=0 für x < 0; das 2. Rohr durch die Gerade g2: y = x-3 für x > 3 beschrieben werden.
Das Verbindungsstück kann durch eine ganzrationale Funktion 3. Grades beschrieben werden. Die Verbindung soll knickfrei sein.
Aufgabe 1: Zeichne die geradlinigen Rohre in ein Koordinatensystem ein!
Aufgabe 2: Leite eine geeignete Funktionsgleichung für das Verbindungsstück her!
Aufgabe 3: Berechne die Koordinaten des tiefsten Punktes dieses Verbindungsstückes und überprüfe, ob seine Krümmung einheitlich ist! |
Hallo zusammen,
wir haben diese Aufgabe in unserem GK Mathe der Klasse 12 bekommen. Sind gerade mit der normalen Kurvendiskussion durch und wollten jetzt zu "praktischen" Aufgaben über gehen. Ich habe keine Ahnung was eine Steckbriefaufgabe ist. Unser Lehrer meinte, wir sollten uns eigenständig darüber informieren - nun, das ist meine Art mich darüber zu informieren :)
Also Aufgabe 1 habe ich gemacht. Das Zeichnen war ja nicht so schwer. Bei Aufgabe 2 und 3 weiß ich jetzt nicht so ganz weiter. Es soll ja eine Funktion 3. Grades werden also sowas wie: f(x)= ax³+bx²+cx+d . Desweiteren soll ja ein Punkt P bei x=0 liegen. Wenn ich nun f(0) in die Funktion 3. Grades einsetzte kommt 0 heraus, also habe ich schonmal den Anfangspunkt des Verbindunsstückes P (0|0). Der Endpunkt sollte nach gleicher Rechnung bei Q (3|0) liegen.
Soweit komme ich nun und nicht weiter. Wie leite ich nun die Funktionsgleichung für das Verbindungsstück her?
Wenn mir jemand Aufgabe 2 erklärt und die Lösung mitpostet denke ich, dass ich Aufgabe 3 selbst lösen kann, da das dann ja nichts anderes ist als den Tiefpunkt zu berechnen, wie man es bei einer normalen Kurvendiskussion auch gemacht hat oder?
Schonmal recht herzlichen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:19 Mo 18.08.2008 | | Autor: | SLik1 |
Bei einer Steckbriefaufgabe musst du, wie ja schon geschehen aus dem Text möglichst viele Informationen über deine Kurve gewinnen, um diese dann exakt zu berechnen.
Zwei weitere Informationen - nämlich über die Steigung - befinden sich hier.
Es soll kein knick in der Leitung sein, daher muss die Funktion komplett differenzierbar sein.
--> an den Übergangsstellen zwischen den Rohren muss die selbe Steigung herrschen :)
Mit hilfe dieser Informationen kannst du die Lösung schnell finden!
Hoffe der Tipp reicht
Grüße viel Erfolg beim Rechnen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Mo 18.08.2008 | | Autor: | jhwas |
Danke für die Definition einer Steckbriefaufgabe. Denke, da ich es zum ersten Mal mache versteh ich die Zusammenhänge noch net so... Ich brauch etwas Routine /:
Ich verstehe nicht ganz wie es weiter gehen soll. Beide Schnittpunkte können doch schlecht die selbe Steigung haben oder? Was wäre konkret der nächste Rechenschritt den ich nach deiner obigen Überlegung machen müsste?
MFG
|
|
|
| |
|
Hallo jhwas und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Danke für die Definition einer Steckbriefaufgabe. Denke, da
> ich es zum ersten Mal mache versteh ich die Zusammenhänge
> noch net so... Ich brauch etwas Routine /:
>
> Ich verstehe nicht ganz wie es weiter gehen soll. Beide
> Schnittpunkte können doch schlecht die selbe Steigung haben
> oder?
Doch, doch, genau das ist der clou! An den beiden Nahtstellen müssen die linksseitigen und rechtsseitigen Ableitungen gleich sein, damit der "Gesamtgraph" nachher schön überall diffbar ist
> Was wäre konkret der nächste Rechenschritt den ich
> nach deiner obigen Überlegung machen müsste?
>
> MFG
Die Funktion $y=0$, deren Graph dein erstes (linkes) Rohr beschreibt, hat in jedem Punkt, in dem sie definiert ist, die Steigung 0.
Im ersten "Nahtpunkt" [mm] $N_1=(0,0)$ [/mm] hat sie nur linksseitig eine Steigung, ebenfalls 0
Damit an dieser ersten Nahtstelle kein Knick entsteht, muss die Funktion, deren Graph das Verbindungsrohr darstellt, also auch die Steigung 0 haben (zumindest rechtsseitig)
Genauso an der zweiten "Nahtstelle" [mm] $N_2=(3,0)$
[/mm]
Dort kennst du die (rechtsseitige) Steigung des Graphen der Funktion, die das rechte Rohr darstellt.
Frage: Wie groß ist diese Steigung?
Der Graph der Funktion für das Verbindungsrohr muss also auch in [mm] $N_2=(3,0)$ [/mm] dieselbe Steigung (zumindest linksseitig) haben.
Das liefert dir 2 Gleichungen, und zusammen mit den 2 Gleichungen, die dir deine ersten (und richtigen!) Überlegungen liefern, hast du insgesamt 4 Gleichungen, mit denen du die 4 Unbekannten $a, b, c, d$ berechnen können solltest ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
