Kurvendiskussion/Monotonie < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe eine Frage zu einer Kurvendiskussion.
Und zwar habe ich die Funktion [mm] f(x)=\bruch{|x-1|}{x^2}, [/mm] wobei
[mm] \bruch{-x+1}{x^2} [/mm] für x<1
und [mm] \bruch{x-1}{x^2} [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 1
Ich bestimme nun die erste Ableitung:
[mm] \bruch{x-2}{x^3} [/mm] für x<1 und [mm] \bruch{-x-2}{x^3} [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 1
Nun der Definitionsbereich. Der macht mir immernoch Probleme.
Für die erste Funktion/Ableitung darf x ja nicht =0 werden. Ich hätte nun gesagt x [mm] \not= [/mm] 0, aber ich muss wohl noch die Bedingung von f beachten: x<1. Wie bringe ich das nun in eine formal richtige Form? Wahrscheinlich mit [mm] \cup, [/mm] aber ich verstehe diese Schreibweise einfach nicht. Kann mir da jemand helfen?
Für die 2. Funktion, also die andere ABleitung, wäre das ja das gleiche Spiel, aber mit einer ganz anderen Ausgangsbeschränkung, nämlich x [mm] \ge [/mm] 1.
Dann soll ich nämlich NST bestimmen. Das geht ja, x muss =2 sein. Wahrscheinlich muss ich das auch noch in den Definitionsbereich bringen?
Denn nun soll ich sagen, wie die Monotonie aussieht. Vermutlich hilft es mkir, mir den Definitionsbereich anzusehen, aber wie würde ich hier vorgehen. Kann mir das jemand an dem Beispiel verdeutlichen?
Meine 2. ABleitung ist dann
[mm] \bruch{2(-x+3)}{x^4} [/mm] sowie [mm] \bruch{2(x-3)}{x^4}
[/mm]
Hier auch wieder mein problem mit dem Definitionsbereich. x darf nicht 0 sein, aber welche Bedingungen mus ich noch beachten? Von f oder f'? Und wie lautet dann die formal richtige Schreibweise.
DENN: Ich soll ja noch sagen, ob die Funktion konvex, konkav ist. Die Nullstelle der 2. ABleitungen ist ja x=3 (aber was bringt mir das?).
x=1 und x=3 sollen nämlich Wendepunkte sein. Wie zeige ich das? Vermutlich an den Definitionsbereichen.
Ich wäre euch sehr sehr dankbar, wenn ich mir das an dem Beispiel erklären könntet, das bereitet mir nämlich schon seit Ewigkeiten Probleme :(
Danke, danke, danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Fr 30.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
> ich habe eine Frage zu einer Kurvendiskussion.
>
> Und zwar habe ich die Funktion [mm]f(x)=\bruch{|x-1|}{x^2},[/mm]
> wobei
>
> [mm]\bruch{-x+1}{x^2}[/mm] für x<1
>
> und [mm]\bruch{x-1}{x^2}[/mm] für x [mm]\ge[/mm] 1
>
> Ich bestimme nun die erste Ableitung:
>
> [mm]\bruch{x-2}{x^3}[/mm] für x<1 und [mm]\bruch{-x-2}{x^3}[/mm] für x [mm]\ge[/mm] 1
>
> Nun der Definitionsbereich. Der macht mir immernoch
> Probleme.
>
> Für die erste Funktion/Ableitung darf x ja nicht =0 werden.
Das stimmt so nicht. Der Nenner darf nicht Null werden, also schliesse mal das x aus, für das gilt: x=0.
> Ich hätte nun gesagt x [mm]\not=[/mm] 0, aber ich muss wohl noch die
> Bedingung von f beachten: x<1.
Das hat für den Def-Bereich keine Auswirkungen. Das ist "nur" der Randpunkt, ab dem du eine andere Definition der Stückweise Definierten Funktion betrachtest.
Wie bringe ich das nun in
> eine formal richtige Form? Wahrscheinlich mit [mm]\cup,[/mm] aber
> ich verstehe diese Schreibweise einfach nicht. Kann mir da
> jemand helfen?
>
> Für die 2. Funktion, also die andere ABleitung, wäre das ja
> das gleiche Spiel, aber mit einer ganz anderen
> Ausgangsbeschränkung, nämlich x [mm]\ge[/mm] 1.
Das ganze ist eine Funktion
[mm] f(x)=\bruch{|x+1|}{x²}=\begin{cases}\bruch{x+1}{x²},&\mbox{für}x\le1 \\ \bruch{-(x+1)}{x²}=, & \mbox{für } x<1\end{cases}
[/mm]
Das ganze ist eine Anwendung der Betragsfunktion
>
> Dann soll ich nämlich NST bestimmen. Das geht ja, x muss =2
> sein. Wahrscheinlich muss ich das auch noch in den
> Definitionsbereich bringen?
Naja, hier soll f(x)=0. Und das geht wo?
>
> Denn nun soll ich sagen, wie die Monotonie aussieht.
> Vermutlich hilft es mkir, mir den Definitionsbereich
> anzusehen, aber wie würde ich hier vorgehen. Kann mir das
> jemand an dem Beispiel verdeutlichen?
Der Def Bereich ist hier [mm] \IR/\{0\} [/mm]
>
> Meine 2. ABleitung ist dann
>
> [mm]\bruch{2(-x+3)}{x^4}[/mm] sowie [mm]\bruch{2(x-3)}{x^4}[/mm]
>
> Hier auch wieder mein problem mit dem Definitionsbereich. x
> darf nicht 0 sein, aber welche Bedingungen mus ich noch
> beachten? Von f oder f'? Und wie lautet dann die formal
> richtige Schreibweise.
Auch hier darf der Nenner nicht Null werden. Und das hast du im Def-Bereich von f schon ausgeschlossen.
>
> DENN: Ich soll ja noch sagen, ob die Funktion konvex,
> konkav ist. Die Nullstelle der 2. ABleitungen ist ja x=3
> (aber was bringt mir das?).
>
> x=1 und x=3 sollen nämlich Wendepunkte sein. Wie zeige ich
> das? Vermutlich an den Definitionsbereichen.
Nein. Für eine Wendestelle [mm] x_{w} [/mm] gilt:
[mm] f''(x_{w})=0 [/mm] und [mm] f'''(x_{w})\ne0.
[/mm]
Dann ist [mm] W(x_{w}/f(x_{w})) [/mm] ein Wendepunkt.
>
> Ich wäre euch sehr sehr dankbar, wenn ich mir das an dem
> Beispiel erklären könntet, das bereitet mir nämlich schon
> seit Ewigkeiten Probleme :(
> Danke, danke, danke!
Naja, wenn du mehrere Definitionslücken a,, b und c hast, schliesst du die Vereinigung von [mm] \{x=a\} [/mm] , [mm] \{x=b\} [/mm] und [mm] \{x=c\} [/mm] aus dem Def-bereich aus.
Also [mm] D=\IR/\{\{x=a\}\cup\{x=b\}\cup\{x=c\}\} [/mm] oder etwas kürzer:
[mm] D=\IR/\{a,b,c\}
[/mm]
Marius
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Ich frage deshalb, weil:
Zur ersten Ableitung wurde gesagt:
Die einzige NST der ersten ABleitung ist x=2,
f'(x)>0 für x [mm] \in (-\infty,0)\cup(1,2)
[/mm]
f'(x)<0 für x [mm] \in (0,1)\cup(2,\infty)
[/mm]
=> f ist in [mm] (-\infty,0) [/mm] und (1,2) wachsend
in den Intervallen (0,1) und [mm] (2,\infty) [/mm] fallend
=> lok. Minimum in x=1 und lok. Maximum in x=2
Bei der 2. Ableitung dann
Die einzige NST ist x=3
f''(x)>0 in x [mm] \in (-\infty,9)\cup(0,1)\cup(3,\infty)
[/mm]
f''(x)<0 in (1,3)
Damit ist die Funktion in [mm] (-\infty,9),(0,1),3,\infty) [/mm] konvex und in (1,3) konkav
=> Wendepunkte liegen in x=1 und x=3
Ich verstehe einfach diese Intervallbildung nicht und wie man diese ganzen Sachen daraus schlussfolgert. Das erspart ja sehr viel Arbeit, aber ich verstehe es einfach nicht.Diese formale Schreibweise macht mir richtig Probleme.
Und: Wieso ist x=1 erst ein lok. Minimum und dann ein Wendepunkt geworden?
Bitte helft mir :(
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Hallo Englein89,
> Ich frage deshalb, weil:
>
> Zur ersten Ableitung wurde gesagt:
>
> Die einzige NST der ersten ABleitung ist x=2,
> f'(x)>0 für x [mm]\in (-\infty,0)\cup(1,2)[/mm]
> f'(x)<0 für x [mm]\in (0,1)\cup(2,\infty)[/mm]
>
> => f ist in [mm](-\infty,0)[/mm] und (1,2) wachsend
> in den Intervallen (0,1) und [mm](2,\infty)[/mm] fallend
> => lok. Minimum in x=1 und lok. Maximum in x=2
>
> Bei der 2. Ableitung dann
>
> Die einzige NST ist x=3
> f''(x)>0 in x [mm]\in (-\infty,9)\cup(0,1)\cup(3,\infty)[/mm]
Das heißt hier doch:
f''(x)>0 in [mm]x \in (-\infty,\blue{0})\cup(0,1)\cup(3,\infty)[/mm]
>
> f''(x)<0 in (1,3)
> Damit ist die Funktion in [mm](-\infty,9),(0,1),3,\infty)[/mm]
> konvex und in (1,3) konkav
> => Wendepunkte liegen in x=1 und x=3
>
> Ich verstehe einfach diese Intervallbildung nicht und wie
> man diese ganzen Sachen daraus schlussfolgert. Das erspart
> ja sehr viel Arbeit, aber ich verstehe es einfach
> nicht.Diese formale Schreibweise macht mir richtig
> Probleme.
Offenbar handelt es sich um diese Bezeichnungsweisen:
[mm]\left(a,b\right):=\left\{x \in \IR \left| \right a
[mm]\left[a,b\right]:=\left\{x \in \IR \left| \right a\le x \le b\right\}[/mm] abgeschlossenes Intervall
[mm]\left(a,b\right]:=\left\{x \in \IR \left| \right a
[mm]\left[a,b\right):=\left\{x \in \IR \left| \right a \le x
Demnach deuten die eckigen Klammern geschlossene Intervalle,
und die runden Klammern offene Intervalle an.
>
> Und: Wieso ist x=1 erst ein lok. Minimum und dann ein
> Wendepunkt geworden?
x=1 ist ein lokales Minimum, da ein Vorzeichenwechsel von f' ( "-" nach "+" ) stattfindet. An der Stelle x=1 befindet sich aber auch ein Wendepunkt ( Vorzeichenwechsel von f'').
>
> Bitte helft mir :(
Gruß
MathePower
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> Das heißt hier doch:
>
> f''(x)>0 in [mm]x \in (-\infty,\blue{0})\cup(0,1)\cup(3,\infty)[/mm]
Wie würde ich so eine EInschränkung denn lesen? Ich komme eben mit dieser formalen Schreibweise nicht klar und wie ich damit dann ohne weitere Rechnungen plötzlich wichtige Punkte ablesen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 So 01.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Du hast diese Auflistung weiter oben selber ins Spiel gebracht als Auflistung mehrere Intervalle.
Mathepower hat hier lediglich das Vereinigungszeichen [mm] $\cap$ [/mm] dazwischen geschrieben, so dass sich an der Intention nichts geändert hat.
[mm] $\cap$ [/mm] sagt lediglich aus, dass die Vereinigung (anschaulich: "Summe") der verschiedenen Intervalle / Mengen gemeint ist.
Gruß
Loddar
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Ich kann mich mit der Schreibweise irgendwie nicht anfreunden. Es macht einfach nicht klick.
Ich hab mir noch ein anderes Beispiel:
[mm] e^{x^2-x-2}
[/mm]
Hier wird gesagt: p(x)=0 für x=-1 und x=2
p>0 wenn x in (-unendlich,-1)U(2,unendlich)
und p<0 für x in (-1,2)
Wie kommt man darauf?
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> Ich kann mich mit der Schreibweise irgendwie nicht
> anfreunden. Es macht einfach nicht klick.
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> Ich hab mir noch ein anderes Beispiel:
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> [mm]e^{x^2-x-2}[/mm]
>
> Hier wird gesagt: p(x)=0 für x=-1 und x=2
> p>0 wenn x in (-unendlich,-1)U(2,unendlich)
> und p<0 für x in (-1,2)
>
> Wie kommt man darauf?
>
>
Hallo,
es geht Dir also nicht um die Funktion [mm] e^{x^2-x-2}, [/mm] sondern um
[mm] p(x):=x^2-x-2.
[/mm]
Mithilfe v. pq-Formel , quadratischer Ergänzung oder Draufgucken stellst Du fest, daß die Nullstellen bei x=-1 und bei x=2 liegen.
Weil es ein Polynom ist, kannst Du nun schreiben
p(x)=(x-(-1))(x-2)=(x+1)(x-2)
Wann ist dieses Produkt >0?
1. Wenn beide Faktoren >0 sind, wenn also x>-1 und x> 2. Insgesamt also x>2, dh. [mm] x\in (2,\infty).
[/mm]
2. Wenn beide Faktoren <0 sind, wenn also x<-1 und x< 2. Insgesamt also x<-1, dh. [mm] x\in (-\infty,1).
[/mm]
Aus 1. und 2. erhält man zusammen: p(x)>0 für [mm] x\in (-\infty,1)\cup (2,\infty).
[/mm]
Tja, und da, wo das Produkt nicht [mm] \ge [/mm] 0 ist, ist es eben <0.
Du solltest Dir das aber auch mal anhand des Produktes p(x)=(x+1)(x-2) überlegen.
Gruß v. Angela
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> Weil es ein Polynom ist, kannst Du nun schreiben
>
> p(x)=(x-(-1))(x-2)=(x+1)(x-2)
>
>
> Wann ist dieses Produkt >0?
>
> 1. Wenn beide Faktoren >0 sind, wenn also x>-1 und x> 2.
> Insgesamt also x>2, dh. [mm]x\in (2,\infty).[/mm]
>
> 2. Wenn beide Faktoren <0 sind, wenn also x<-1 und x< 2.
> Insgesamt also x<-1, dh. [mm]x\in (-\infty,1).[/mm]
>
> Aus 1. und 2. erhält man zusammen: p(x)>0 für [mm]x\in (-\infty,1)\cup (2,\infty).[/mm]
>
Ich verstehe nicht ganz, worauf diese Polynomumformung basiert. Das habe ich so noch nie gesehen.
Außerdem: Du hast ja nachher alle Informationen in eine Schreibweise mit [mm] \cup [/mm] zusammengefasst. ABer ich hab dabei immer das Gefühl, dass dabeii Informationen ausgespart werden. Wenn du sagst
x<-1 und x< 2. Insgesamt also x<-1, dh. [mm]x\in (-\infty,1).[/mm] - wo ist denn jetzt die 2 geblieben?
Ich verstehe diese "Vereinigung" nicht. Heißt es bei RUnden Klammern, diese Werte sind NICHT mehr drin? Aber was ist dann die Vereinigung von Werten, die NICHT mehr drin sind. Das ist für mich irgendwie totaler Schwachsinn im Moment. :/
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> > Weil es ein Polynom ist, kannst Du nun schreiben
> >
> > p(x)=(x-(-1))(x-2)=(x+1)(x-2)
> >
> >
> > Wann ist dieses Produkt >0?
> >
> > 1. Wenn beide Faktoren >0 sind, wenn also x>-1 und x> 2.
> > Insgesamt also x>2, dh. [mm]x\in (2,\infty).[/mm]
> >
> > 2. Wenn beide Faktoren <0 sind, wenn also x<-1 und x< 2.
> > Insgesamt also x<-1, dh. [mm]x\in (-\infty,1).[/mm]
> >
> > Aus 1. und 2. erhält man zusammen: p(x)>0 für [mm]x\in (-\infty,1)\cup (2,\infty).[/mm]
>
> >
>
> Ich verstehe nicht ganz, worauf diese Polynomumformung
> basiert. Das habe ich so noch nie gesehen.
Hallo,
das sollte eigentlich aus der Mittelstufe, spätestens aber aus der Oberstufe, bekannt sein.
Ansonsten merk es Dir.
Wenn Du z.B. ein Polynom vom Grad 3 hast mit den Nullstellen [mm] x_1=4, x_2=4, x_3=5, [/mm] dann kannst Du das Polynom schreiben als [mm] p(x)=(x-4)^2*(x-5).
[/mm]
>
> Außerdem: Du hast ja nachher alle Informationen in eine
> Schreibweise mit [mm]\cup[/mm] zusammengefasst. ABer ich hab dabei
> immer das Gefühl, dass dabeii Informationen ausgespart
> werden. Wenn du sagst
>
> x<-1 und x< 2. Insgesamt also x<-1, dh. [mm]x\in (-\infty,1).[/mm] -
> wo ist denn jetzt die 2 geblieben?
Zeichne Dir doch mal einen Zahlenstrahl. Nun malst Du grün die x an mit x<-1 und rot die mit x< 2. Welches sind nun die x, auf die beides zutrifft?
>
> Ich verstehe diese "Vereinigung" nicht.
Vereinigung: zwei Mengen werden zusammengekippt.
> Heißt es bei RUnden
> Klammern, diese Werte sind NICHT mehr drin?
Du redest von Intervallen, z.B. von (7, 38) ? Da sind alle reellen Zahlen zwischen 7 und 39 drin, jedoch nicht die 7 und die 39.
Gruß v. Angela
> Aber was ist
> dann die Vereinigung von Werten, die NICHT mehr drin sind.
> Das ist für mich irgendwie totaler Schwachsinn im Moment.
> :/
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