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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionenschar f a durch f a [mm] (x)=e^x[/mm] [mm] \cdot [/mm] [mm] (a-e^x) [/mm]
; [mm] x \in \empty [/mm]R [mm] a \in \empty [/mm]R
Aufgabe: Bestimmen Sie für die Funktionenschar f a die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, die Koordinaten der Extrempunkte und die Koordinaten der Wendepunkte! |
Hey!
Kann mir bitte jemand helfen. Ich komme schon bei den Schnittpunkten mit den Achsen nicht weit. Bisher habe ich nur den Schnittpunkt mit der y-Achse raus bekommen. Der ist S y (0/a-1).
Kann mir jetzt einer Schritt für Schritt erklären, wie ich mit der e-Funktion richtig weiter rechnen muss?
Danke im Vorraus.
Liebe Grüße Nicole
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Do 13.04.2006 | | Autor: | Disap |
Hi.
Kann sich jemand mal meine Überlegung unten angucken?
> Also ich bin jetzt schon mal ein Stückchen weiter gekommen.
> Hab dann da trotzdem noch ein Problem. Hier aber erstmal
> das, was ich bisher geschafft habe:
>
> Schnittpunkt mit der x-Achse
> f(x)=0
> [mm]0=e^x(a-e^x)[/mm]
> [mm]e^x[/mm] [mm]\not= [/mm]0
> [mm]0=a-e^x[/mm]
> [mm]e^x=a[/mm]
> x=lna
> S x =(lna/0)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ableitungen:
> [mm]f'(x)[/mm][mm] =e^x(a-2e^x)[/mm]
> [mm]f''(x)[/mm][mm] =e^x(a-4e^x)[/mm]
> [mm]f'''(x)[/mm][mm] =e^x(a-8e^x)[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Extrema:
> [mm]f'(x) [/mm]=0
> [mm]0=e^x(a-2e^x)[/mm]
> [mm]e^x[/mm] [mm]\not= [/mm]0
> [mm]0=a-2e^x[/mm]
>
> [mm]/+2e^x[/mm]
> [mm]e^x=[/mm] [mm]\frac{1}{2}[/mm] a
> x=ln[mm] \frac{a}{2}[/mm]
> So und jetzt kommt mein erstes Problem:
> [mm]f''(ln \frac{a}{2})[/mm][mm] =e^x(a-4e^x)[/mm]
> wie berechne ich jetzt,
> ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist und wie berechne ich
> dann diesen Punkt?
Alles richtig gemacht! Glückwunsch.
Na, setzen wir doch mal das ln [mm] \frac{a}{2} [/mm] in die zweite Ableitung ein.
[mm] e^{ln \frac{a}{2}}(a-4e^{ln \frac{a}{2}})
[/mm]
In der Aufgabe war die Eingrenzung $ a [mm] \in \empty [/mm] $R . Hier ist es allerdings so, dass es erst einmal für a=0 und a<0 keine Extremstellen gibt, da es den ln(0) (im reelen Bereich zumindest) nicht gibt.
Nun ist es so, dass wir diesen ln(...) Ausdruck im Exponenten von der Eulerschen Zahl haben. Was bedeutet das? Egal ob du [mm] e^{-100} [/mm] hast, oder [mm] e^{20}. [/mm] Der Ausdruck vor der Klammer bleibt immer größer null.
Nun bleibt das Problem bzg. dem Term in der Klammer, die Überlegung: wird das ganze kleiner oder größer null? Es ist immer ein Hochpunkt vorhanden, nur bin ich mir leider nicht sicher, ob man das so zeigen darf bzw. kann
Ich löse die Ungleichung
[mm] $a-4e^{ln \frac{a}{2}} [/mm] < 0 / [mm] +4e^{ln \frac{a}{2}}$
[/mm]
$a < [mm] 4e^{ln \frac{a}{2}} [/mm] / [mm] e^{ln \frac{a}{2}} [/mm] = 0.5a $
$a<4*0.5a$
$a < 2a$
Die Ungleichung ist also erfüllt für sämtliche a. Daher gibt es nur Hochpunkte, der Term in der Klammer bleibt immer kleiner null, also negativ.
>
> Das gleiche Problem habe ich bei der Wendepunktberchnung
> Da habe ich jetzt schon raus, dass x=ln[mm] \frac{a}{4}[/mm]
>
> ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
>
> LG Nicole
Ich hoffe mal, dass das stimmt.
MfG!
Disap
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 Do 13.04.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> b) Für welchen Wert von a hat die Wendetangente den Anstieg
> m=0,5?
> c)Zeigen Sie, dass die Extrempunkte der Funktionsschar
> f a die Ortskurve [mm]p(x)=e^{2x}[/mm] haben!
> HILFE!!!!
>
> Da hab ich jetzt wirklich keine Ahnung mehr. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Bei Aufgabe b) wollte ich jetzt den Anstieg mit der erste
> Ableitung und dem Wendepunkt ausrechnen.
Also für die Aufgabe b brauchst du den Punkt nicht! Dir reicht lediglich die Stelle [mm] x_w [/mm] = ln(0.25a)
> f'(x)=m
An der Wendestelle soll die Steigung 0.5 sein.
Na, das ist eigentlich simpel, man muss nur wissen, dass [mm] a^b [/mm] das selbe ist wie [mm] e^{ln(b)*x}
[/mm]
f'(x)=m
Daher gilt
[mm] f'(x_w) [/mm] = 0.5
$0.5 = [mm] e^{ln0.25a} [/mm] * [mm] (a-2e^{ln0.25a}^) [/mm] / mit [mm] e^{ln0.25a} [/mm] = 0.25a $
$0.5 = 0.25a * (a-2*0.25a) $
$0.5 = 0.25a * (a-0.5a) $
das musst du ausmultiplizieren und nach a auflösen.
> W(ln[mm] \frac{a}{4} [/mm]/ [mm]\frac{3}{16}[/mm] [mm]a^2)[/mm] So steht es zumindest
> auf dem Lösungsblatt 
> Tja und das war es dann auch schon, weil es dann einfach
> zu kompliziert für mich wird mit den ganzen Brüchen, ln
> ....
> Bei c) ist mein Problem, dass ich noch nie was von einer
> Ortskurve gehört habe. Mein Lehrer meinte wohl, dass das
> für uns nicht wichtig wäre. Schlau von ihm, dass er uns
> dann solche Aufgaben zur Prüfungsvorbeitung gibt
> Kann mir also jemand noch kurz eine Zusammenfassung zum
> Thema Ortskurve geben und Schritt für Schritt erklären, wie
> ich b) und c) löse?
Die Ortskurve ist eine weitere Funktion, die dir angibt, auf welcher Funktion deine Schar-Werte liegen. Wir haben für die Extremstellen eine Lösung mit der "Variablen" a heraus und nun ist die Mathematik so spannend, das man daraus sich erdenken kann, auf welcher Funktion all deine Extrempunkte liegen!
Bedauerlicherweise hast du nun nicht den Punkt für das Maximum angegeben, aber dieser lautet so ungefähr
[mm] H(\red{ln (0.5a)} [/mm] | irgendein Ausdruck in Abhängikeit von a)
Das rote ist eine X-Koordinate x= ln (0.5a)
Die musst du nach a umstellen und für die Y-Koordinate deines Punktes einsetzen, du wirst eine Funktion erhalten, auf der all deine Extrempunkte/Hochpunkte liegen. Versuchs mal
> Danke im Vorraus
> Nicole
Viele Grüße,
Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 Do 13.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nicole!
Nehmen wir das Beispiel [mm] $x_E [/mm] \ = \ [mm] \ln\left(\bruch{a}{2}\right)$ [/mm] .
Dann gilt doch auch auf jeden Fall (sofern [mm] $x_E$ [/mm] existiert, also für $a \ > \ 0$) auch:
[mm] $e^{x_E} [/mm] \ = \ [mm] e^{\ln\left(\bruch{a}{2}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a}{2}$
[/mm]
Und das kannst Du doch nun auch in die 2. Ableitung einsetzen:
[mm] $f_a''(x_E) [/mm] \ = \ [mm] \blue{e^{x_E}}*\left(a-4*\blue{e^{x_E}}\right) [/mm] \ = \ [mm] \blue{\bruch{a}{2}}*\left(a-4*\blue{\bruch{a}{2}}\right) [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] -\bruch{a^2}{2} [/mm] \ < \ 0$ (für $a \ [mm] \not= [/mm] \ 0$) [mm] $\Rightarrow$ $\text{Maximum}$
[/mm]
Analog funktioniert das dann bei der Wendestelle.
Gruß
Loddar
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Produktregel
