Kurvendiskussion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Mo 09.04.2012 | | Autor: | mike1988 |
Hallo!
Wir behandeln gerade Funktionen in 2 Variablen und deren Extremalstellen! Es stellt sich für mich nun die Frage, wo genaue der Unterschied zwischen relativen Extremas, lokalen Extremas, Randextremas und absolute Extremas liegt! Es geht mir hierbei um den
Rechenvorgang! Ist dieser unterschiedlich, welche Extrema ich berechnen soll, oder rechne ich prinzipiell gleich und unterscheide dann zum Schluss, wenn ich die Extremwerte berechnet habe, ob es sich um relative, lokale, oder absolute handelt??
Zum Thema Randextrema: Angenommen die Funktion lautet: [mm] f_{x,y}=x^2+2x+y^2-2y, [/mm] wobei gilt; 0 [mm] \le [/mm] x,y [mm] \le [/mm] 3
Dann hätte cih ja im Prinzip 4 "Bereiche" (=Gerdaden), wo Extremalstellen liegen könnten! Wie kann ich diese nun berechnen??
Vielen Dank für eure Tipps bzw. Erklärungen!
Lg
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Hallo,
> Hallo!
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> Wir behandeln gerade Funktionen in 2 Variablen und deren
> Extremalstellen! Es stellt sich für mich nun die Frage, wo
> genaue der Unterschied zwischen relativen Extremas, lokalen
> Extremas, Randextremas und absolute Extremas liegt! Es geht
> mir hierbei um den
> Rechenvorgang! Ist dieser unterschiedlich, welche Extrema
> ich berechnen soll, oder rechne ich prinzipiell gleich und
> unterscheide dann zum Schluss, wenn ich die Extremwerte
> berechnet habe, ob es sich um relative, lokale, oder
> absolute handelt??
Die Begrifflichkeiten sind die gleichen wie bei reellwertigen Funktionen einer Veränderlichen. Aber natürlich liegen die Dinge dennoch komplizierter, denn die Definitionsmenge ist keine eindimensionale Menge mehr. Besteht der Rand bei einem abgeschlossenen Intervall in [mm] \IR [/mm] aus zwei Punkten, so hast du im [mm] \IR^2 [/mm] im Falle eines Randes etwas linienförmiges, im [mm] \IR^3 [/mm] Flächen, etc.
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> Zum Thema Randextrema: Angenommen die Funktion lautet:
> [mm]f_{x,y}=x^2+2x+y^2-2y,[/mm] wobei gilt; 0 [mm]\le[/mm] x,y [mm]\le[/mm] 3
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> Dann hätte cih ja im Prinzip 4 "Bereiche" (=Gerdaden), wo
> Extremalstellen liegen könnten! Wie kann ich diese nun
> berechnen??
Fangen wir hier einmal an. Es sind nicht vier Bereiche, sondern einer, und zwar alle Paare (x,y), für die beide Ungleichungen gelten. Da beide Ungleichungen mit der kleiner oder gleich-Relation versehen sind, sind die beiden in der xy-Ebene liegenden Halbgeraden
x=0 ; [mm] y\le{3}
[/mm]
[mm] y\le{3} [/mm] ; [mm] x\ge{0}
[/mm]
Ränder des Definitionsbereiches.
Man kann die Extrema auf diesen Rändern finden, wenn man jeweils den konstanten Wert in die Funktionsgleichung einsetzt. Dann erhält man in diesem Fall eine Funktion, die noch von einer Variablen abhängt, da kannst du vorgehen wie gewohnt.
Setze also x=0, berechne alle Extrema für die [mm] y\le{3} [/mm] gilt und verfahre für den anderen Rand genauso.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Mo 09.04.2012 | | Autor: | mike1988 |
Hallo Diophant!
Habe nun versucht, das Beispiel zu lösen:
a) relative Extrema liegen im Punkt [mm] P_{1}(-1,1) [/mm] als Minimum vor!
b) Ermittlung der Randextrema:
Habe den ersten Fall mit x = 0 und 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 3 berechnet! Daraus erhalte ich ein Minimum im Punkt [mm] P_{2}(-1,1)
[/mm]
Habe den zweiten Fall mit y = 0 und 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 3 berechnet! Daraus erhalte keine Extremstelle im angegebenen Bereich.
Nun bin ich der Meinung, dass ich auch die anderen beiden Ränder noch betrachten muss, also:
Habe den dritten Fall mit x = 3 und 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 3 berechnet! Daraus erhalte keine Extremstelle im angegebenen Bereich.
Habe den vierten Fall mit y=3 und 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3 berechnet! Daraus erhalte ich ein Minimum im Punkt [mm] P_{3}(-1,2)
[/mm]
Ist dies so korrekt, oder habe ich einen Fehler??
DANKE
Grüße
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Hallo mike1988,
> Hallo Diophant!
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> Habe nun versucht, das Beispiel zu lösen:
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> a) relative Extrema liegen im Punkt [mm]P_{1}(-1,1)[/mm] als Minimum
> vor!
>
> b) Ermittlung der Randextrema:
>
> Habe den ersten Fall mit x = 0 und 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 3 berechnet!
> Daraus erhalte ich ein Minimum im Punkt [mm]P_{2}(-1,1)[/mm]
>
> Habe den zweiten Fall mit y = 0 und 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 3
> berechnet! Daraus erhalte keine Extremstelle im angegebenen
> Bereich.
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> Nun bin ich der Meinung, dass ich auch die anderen beiden
> Ränder noch betrachten muss, also:
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> Habe den dritten Fall mit x = 3 und 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 3
> berechnet! Daraus erhalte keine Extremstelle im angegebenen
> Bereich.
>
> Habe den vierten Fall mit y=3 und 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 3 berechnet!
> Daraus erhalte ich ein Minimum im Punkt [mm]P_{3}(-1,2)[/mm]
>
> Ist dies so korrekt, oder habe ich einen Fehler??
>
Die berechneten Extrema gehören nicht zum betrachteten Bereich.
> DANKE
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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