Kurvendiskussion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Kurvendiskussion für f(x)= [mm] \bruch{x^{2}+1}{e^{|x-2|}} [/mm] |
Als erstes hab ich hier mal ne Fallunterscheidung gemacht da ja ein Betrag im Spiel ist:
f(x)= [mm] \vektor{\bruch{x^{2}+1}{e^{2-x}} ;x\ge2 \\ \bruch{x^{2}+1}{e^{x-2}} ;x<2 }
[/mm]
Hab die Funktion grade zwei mal abgeleitet und krieg jetzt erstmal für die Ableitungen:
für [mm] x\ge2
[/mm]
f´(x) = [mm] (-x^{2}+2x-1)(e^{2-x})
[/mm]
f´´(x) = [mm] (x^{2}-4x+3)(e^{2-x})
[/mm]
für x<2
f´(x) = [mm] (x^{2}+2x+1)(e^{x-2})
[/mm]
f´´(x) = [mm] (x^{2}+4x+3)(e^{x-2})
[/mm]
Wenn ich dann für [mm] x\ge2 [/mm] die Extremwerte ausrechne, sprich f'(x)=0 setze, bekomme ich für x1=1.
Wenn ich nun feststellen will ob es sich hier um ein lokales Minimum oder Maximum handelt muss ich diesen x-Wert in die zweite Ableitung einsetzen und schauen ob das Ergebnis größer bzw. kleiner ist.
Wenn ich das mache sieht das nun so aus:
f´´ [mm] (1)=(1-4+3)*e^{2-1}) [/mm] = 0
Was könnte hier falsch sein?
oder kann es auch sein dass ich hier nicht größer oder kleiner 0 rauskriege sondern genau 0.
Lg
|
|
| |
|
Genau umgekehrt die beiden Terme.
Aber warum??
Wenn bei f(x)= [mm] \bruch{x^{2}+1}{e^{|x-2|}}
[/mm]
das x kleiner als 2 wird dann wird (x-2) doch negativ (wenn die Betragsstriche wegsind), also geb ich für diesen Fall ein Minus vor das (x-2).
also [mm] e^{-(x-2)} [/mm] und das ist ja dann gleich [mm] e^{2-x}.
[/mm]
Wenn x>2 ist steht irgendetwas positives in der Klammer
also steht wenn ich den Betrag weglasse [mm] e^{x-2}
[/mm]
Oder?
>
> Gruß
> Loddar
Lg
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo rawberrie!
So rum ist es auch richtig.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Achso sorry seh jetzt erst wie du das gemeint hast.
War mein Fehler ich hab im ersten Post, die x<2 bzw x>2 beim Abschreiben vom Block vertauscht bei der Fallunterscheidung.
Deswegen hat mich das jetzt gewundert.
Danke auf jeden Fall für deine Antwort,
es kann also durchaus sein dass das ich beim Einsetzen = 0 herausbekomme?
Kann ich dass dann einfach damit begründen dass das ein Sattelpunkt ist oder muss ich darauf dann irgendwie gesondert eingehen?
Ja das mit der Differenzierbarkeit hab ich auch in einem extra Punkt gelöst , den ich soweit eigentlich verstanden habe und habe dort auch gesehen dass die Funktion in (2) nicht differenzierbar ist.
Heißt das jetzt dass ich auch bei der Fallunterscheidung wirklich nur größer und kleiner 2 schreiben darf , und nicht größergleich 2?
Danke,
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Mi 02.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
f''(x1)=0 heisst Wendepunkt wenn [mm] f'''(x1)\ne0
[/mm]
also hast du wenn f' und f'' =0 einen möglichen Sattelpunkt, aber eigentlich muss man dann noch f''' ungleich 0 haben. Oder mam zeigt, dass f' links und rechts von x1 dasselbe Vorzeichen hat, dann hat man auch sicher einen Sattelpunkt.
Differenzieren darfst du nur für x<2 und x>2 nicht bei x =2, da zeigst du dass der linke und rechte GW der Ableitung verschieden ist.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 So 06.03.2011 | | Autor: | rawberrie |
Danke!
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Genau umgekehrt die beiden Terme.
