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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] x\mapsto2x^3-10x^2+6x+18
[/mm]
a) Berechnen Sie alle Ableitungen bis zur 3.
b) Finden sie alle Nullstellen von f,f',f'' und klassifizieren Sie sie danach, ob sie Maxima, Minima, Rechts-Links oder Links-Rechts wendestellen sind.
c) Graph skizzieren |
Hi
Ableitungen bilden ist kein Problem
b) Ich wüsste gern, ob es eine Möglichkeit gibt die Nullstellen anders als durch probieren zu finden? Wenn da nur [mm] x^2 [/mm] stände wäre das mit der pq Formel keion Problem. Aber was mache ich wenn ich [mm] x^3 [/mm] habe? Habe das verfahren vergessen.
Wenn vor [mm] x^2 [/mm] eine zahl steht kann ich die pq Formel ja erst anwenden wenn [mm] x^2 [/mm] allein steht. Ist durch die Zahl teilen der günstigste Weg um sie wegzubekommen, auch wenn das bei dem Rest krumme Zahlen ergibt?
lg
Metin
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Hallo Metin,
> Gegeben ist die Funktion [mm]x\mapsto2x^3-10x^2+6x+18[/mm]
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> a) Berechnen Sie alle Ableitungen bis zur 3.
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> b) Finden sie alle Nullstellen von f,f',f'' und
> klassifizieren Sie sie danach, ob sie Maxima, Minima,
> Rechts-Links oder Links-Rechts wendestellen sind.
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> c) Graph skizzieren
> Hi
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> Ableitungen bilden ist kein Problem
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> b) Ich wüsste gern, ob es eine Möglichkeit gibt die
> Nullstellen anders als durch probieren zu finden? Wenn da
> nur [mm]x^2[/mm] stände wäre das mit der pq Formel keion Problem.
> Aber was mache ich wenn ich [mm]x^3[/mm] habe? Habe das verfahren
> vergessen.
Für kubische Gleichungen gibt es auch eine Lösungsformel wie bei den quadratischen Gleichungen.
Die nennt sich Formel von Cardano und ist ungleich komplizierter als die Formeln für quadratische Gleichungen
Die Ratemethode ist wohl gerade bei Schul,- Arbeits- oder Klausuraufgaben die bessere Wahl, da gibt's meist "schöne" NSTen
Hilfreich für das Raten ist die folgende Tatsache:
Wenn es eine ganzzahlige Nullstelle [mm] $x_0$ [/mm] gibt, so ist diese (ganzzahliger) Teiler des Absolutgliedes (das ist dasjenige ohne x)
Das bedeutet hier für die Funktion f, dass, wenn f eine ganzzahlige Nullstelle hat, diese ein (ganzzahliger) Teiler von 18 ist.
18 hat die ganzzahligen Teiler [mm] $\pm 1,\pm [/mm] 2, [mm] \pm [/mm] 3, [mm] \pm [/mm] 6, [mm] \pm [/mm] 9, [mm] \pm [/mm] 18$
Die probiert man halt aus durch Einsetzen, angefangen mit den kleinen Zahlen und schwupps, -1 tut's schon.
Damit kannst du nun eine Polynomdivision machen $f(x):(x-(-1))=...$
Also $f(x):(x+1)=...$
Heraus kommt ein Polynom 2ten Grades, auf das du wieder die üblichen Lösungsformeln für quadratische Gleichungen loslassen kannst.
Wenn beim "Raten" allerdings keine "schöne" (ganzzahlige) NST herumkommt, dann musst du entweden ein Näherungsverfahren (etwa das Newtonverfahren) oder die o.e. Formel von Cardano verwenden ...
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> Wenn vor [mm]x^2[/mm] eine zahl steht kann ich die pq Formel ja erst
> anwenden wenn [mm]x^2[/mm] allein steht. Ist durch die Zahl teilen
> der günstigste Weg um sie wegzubekommen, auch wenn das bei
> dem Rest krumme Zahlen ergibt?
Das ist relativ, du kannst hier zB. ja mit Brüchen rechnen.
Alternativ kannst du die Gleichung [mm] $ax^2+bc+c=0$ [/mm] mit der Mitternachtsformel (auch: abc-Formel) verarzten
>
> lg
>
> Metin
LG
schachuzipus
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Danke für die Hilfe , das leuchtet ein.
Ich dachtte allerdings das Mitternatsformel und pq das selbe sind? So wie es aussieht kann man aber mit der Mitternachtsformel $ [mm] ax^2+bc+c=0 [/mm] $ lösen mit der pq aber nicht. Habe mir dazu versucht diesen Arktikel durchzulesen
http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#L.C3.B6sungsformeln
habe aber nicht alles verstanden.
Heißt das wenn ich eine Gleichung in der Form $ [mm] ax^2+bc+c=0 [/mm] $ habe kann ich mir das eliminieren von a spaaren und einfach stattdessen die Mitternachtsformel anwenden?
grüße
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Hallo nochmal,
> Danke für die Hilfe , das leuchtet ein.
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> Ich dachtte allerdings das Mitternatsformel und pq das
> selbe sind? So wie es aussieht kann man aber mit der
> Mitternachtsformel [mm]ax^2+bc+c=0[/mm] lösen mit der pq aber
> nicht. Habe mir dazu versucht diesen Arktikel durchzulesen
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#L.C3.B6sungsformeln
>
> habe aber nicht alles verstanden.
>
> Heißt das wenn ich eine Gleichung in der Form [mm]ax^2+bc+c=0[/mm]
> habe kann ich mir das eliminieren von a spaaren und einfach
> stattdessen die Mitternachtsformel anwenden?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ganz genau!
Mitternachtsformel für [mm] $ax^2+bx+c=0$ [/mm]
p/q-Formel für [mm] $x^2+px+q=0$
[/mm]
Wie lautet denn die Mitternachtsformel für [mm] $ax^2+bx+c=0$ [/mm] für den Fall, dass $a=1$ ist?
Wenn du das ein bisschen umformst, steht doch da genau die p/q-Formel (mit p=b, q=c)
LG
schachuzipus
>
>
>
> grüße
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