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| Aufgabe | | Bestimme für den Graphen der Funktion [mm] f(x)=\bruch{x}{Ln(x)} [/mm] mit [mm] x\in\IR^{+} [/mm] \ [mm] \left\{1\right\} [/mm] die Extrempunkte sowie die Wendestelle und skizziere ihn. |
Hi,
ich muss also die Funktion ableiten. Am besten mit Quotienten und Kettenregel.
[mm] f'(x)=\bruch{1*Ln(x)-x*\bruch{1}{x}}{\left(Ln(x)\right)^2}=\bruch{Ln(x)-1}{(Ln(x))^2}
[/mm]
Die Abl. ist bei x=E null und somit ist bei x=E ein Minimum.
Für die Wendepunkte brauche ich nun die 2. Abl.
[mm] f''(x)=\bruch{\bruch{1}{x}*(Ln(x))^2-(Ln(x)-1)*2(Ln(x))}{(Ln(x))^4}
[/mm]
wenn ich für x 1 einsetze erhalte ich 0 --> bei x=1 ein Wendepunkt oder?
Stimmt das soweit? Kann ich vll. irgendwo noch zusammenfassen?
Nun zur Skizze. Bei x=1 hab ich ja eine vertikale Asymptote, bei x=e ein Minimum und bei x=1 den Wendepunkt. Reichen diese Infos aus, oder könnt ihr noch etwas anderes herauslesen bzgl. einer Skizze?
mfg, michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme für den Graphen der Funktion [mm]f(x)=\bruch{x}{Ln(x)}[/mm]
> mit [mm]x\in\IR^{+}[/mm] \ [mm]\left\{1\right\}[/mm] die Extrempunkte sowie
> die Wendestelle und skizziere ihn.
> Hi,
> ich muss also die Funktion ableiten. Am besten mit
> Quotienten und Kettenregel.
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1*Ln(x)-x*\bruch{1}{x}}{\left(Ln(x)\right)^2}=\bruch{Ln(x)-1}{(Ln(x))^2}[/mm]
>
> Die Abl. ist bei x=E null und somit ist bei x=E ein
> Minimum.
>
> Für die Wendepunkte brauche ich nun die 2. Abl.
>
> [mm]f''(x)=\bruch{\bruch{1}{x}*(Ln(x))^2-(Ln(x)-1)*2(Ln(x))}{(Ln(x))^4}[/mm]
>
> wenn ich für x 1 einsetze erhalte ich 0 --> bei x=1 ein
> Wendepunkt oder?
x = 1 gehört nicht zum Def. Bereich von f !!!
Deine 2. Ableitung ist falsch: die Ableitung von [mm] (ln(x))^2 [/mm] ist
[mm] 2ln(x)\bruch{1}{x}
[/mm]
FRED
>
> Stimmt das soweit? Kann ich vll. irgendwo noch
> zusammenfassen?
>
> Nun zur Skizze. Bei x=1 hab ich ja eine vertikale
> Asymptote, bei x=e ein Minimum und bei x=1 den Wendepunkt.
> Reichen diese Infos aus, oder könnt ihr noch etwas anderes
> herauslesen bzgl. einer Skizze?
>
> mfg, michael
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ooops...stimmt
demnach also kein WP?
mfg, Michael
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Doch, bei x= [mm] e^2
[/mm]
Rechne noch mal
FRED
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ok....
aber da werden jetzt Tausende von Fehlern drinnen sein.....
[mm] \bruch{1}{x}*(Ln(x))^{2}-\left((Ln(x)-1)*(2Ln(x)\bruch{1}{x})\right)=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x}*(Ln(x))^{2}-\left(2Ln(x)^2\bruch{1}{x}-2Ln(x)\bruch{1}{x}\right)=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x}*(Ln(x))^{2}-2Ln(x)^2\bruch{1}{x}+2Ln(x)\bruch{1}{x}=0
[/mm]
[mm] -Ln(x)^2\bruch{1}{x}+2Ln(x)\bruch{1}{x}=0
[/mm]
soo...ich hoffe das passt so....wie kann ich nu weiter rechnen?
mfg, Michael
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> ok....
> aber da werden jetzt Tausende von Fehlern drinnen
> sein.....
>
> [mm]\bruch{1}{x}*(Ln(x))^{2}-\left((Ln(x)-1)*(2Ln(x)\bruch{1}{x})\right)=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{x}*(Ln(x))^{2}-\left(2Ln(x)^2\bruch{1}{x}-2Ln(x)\bruch{1}{x}\right)=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{x}*(Ln(x))^{2}-2Ln(x)^2\bruch{1}{x}+2Ln(x)\bruch{1}{x}=0[/mm]
> [mm]-Ln(x)^2\bruch{1}{x}+2Ln(x)\bruch{1}{x}=0[/mm]
>
> soo...ich hoffe das passt so....wie kann ich nu weiter
> rechnen?
[mm] ln(x)*\bruch{1}{x} [/mm] ausklammern und schauen was =0 ist ;) (auch hier wieder dran denken, dass x=1 [mm] \not\in [/mm] D
>
> mfg, Michael
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jetzt hab ichs endlich
also, wenn ich das ausklammere, bekomm ich irgendwann Ln(x)=2
und [mm] Ln(E^2)=2 [/mm] oder?
ich hab noch eine Vermutung, ist dann [mm] Ln(E^Q)=Q?
[/mm]
also dass [mm] Ln(E^3)=3 [/mm] ist, da [mm] E^x [/mm] eine Umkehrfunktion zu Ln(x) ist?
Haben wir im Unterricht noch nicht besprochen, deshalb meine Frage.
mfg, michael
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> jetzt hab ichs endlich
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> also, wenn ich das ausklammere, bekomm ich irgendwann
> Ln(x)=2
>
> und [mm]Ln(E^2)=2[/mm] oder?
jap, wenn das mal nicht so ein offensichtliches ergebnis sein sollte, würde man auf beiden seiten exponentieren:
ln(x)=2 [mm] \gdw e^{ln(x)}=e^2\gdw x=e^2
[/mm]
>
> ich hab noch eine Vermutung, ist dann [mm]Ln(E^Q)=Q?[/mm]
> also dass [mm]Ln(E^3)=3[/mm] ist, da [mm]E^x[/mm] eine Umkehrfunktion zu
> Ln(x) ist?
ja, es gibt eine regel die besagt: [mm] ln(x^5)=5*ln(x). [/mm] bei
[mm] ln(e^3) [/mm] wärs dann entsprechend 3*ln(e) = 3*1
>
> Haben wir im Unterricht noch nicht besprochen, deshalb
> meine Frage.
>
> mfg, michael
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