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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 Mi 14.01.2009 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | ich muss die Funktionsschar untersuchen: f(x)=x*ln(x²/t); x ungleich 0; t>0
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Dazu brauch ich erst einmal die Ableitungen: Könnte mir jemand sagen ob meine ansätze richtig sind ?
1te Ableitung 1* ln (x²/t) + x* (t/x²)
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Nee, noch nicht.
> ich muss die Funktionsschar untersuchen: f(x)=x*ln(x²/t); x
> ungleich 0; t>0
>
> Dazu brauch ich erst einmal die Ableitungen: Könnte mir
> jemand sagen ob meine ansätze richtig sind ?
> 1te Ableitung 1* ln (x²/t) + x* (t/x²)
Du hast also die Produktregel angewandt. Im zweiten Summanden fehlt aber noch die Anwendung der Kettenregel und damit die innere Ableitung der Funktion [mm] \ln{(\bruch{x^2}{t})}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mi 14.01.2009 | | Autor: | julmarie |
Aber was ist denn die Ableitung von ln(x²/t) ? Ich dachte das wäre einfach t/x²..
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Hallo julmarie,
> Aber was ist denn die Ableitung von ln(x²/t) ? Ich dachte
> das wäre einfach t/x²..
Oh nein, das ist doch eine verkettete Funktion, da musst du die Kettenregel hernehmen:
Äußere Funktion: [mm] $\ln(bla)$
[/mm]
Innere Funktion: [mm] $\frac{x^2}{t}$
[/mm]
Also nach Kettenregel [mm] $\left[\ln\left(\frac{x^2}{t}\right)\right]'=\underbrace{\frac{1}{\frac{x^2}{t}}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot{}\underbrace{\frac{2x}{t}}_{\text{innere Ableitung}}$
[/mm]
$=.....$
Oder du benutzt zuerst einige Rechenregeln für den Logarithmus, um das Ableiten (wesentlich) zu vereinfachen:
[mm] $\ln\left(\frac{x^2}{t}\right)=\ln\left(x^2\right)-\ln(t)=2\cdot{}\ln(x)-\ln(t)$
[/mm]
Und das lässt sich nun doch puppi-einfach nach x ableiten
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Mi 14.01.2009 | | Autor: | julmarie |
Ach ja klar.. naja so spät noch denken ist ja auch sehr schwer :)
da 1/ (x²/t) * 2x/t = 2tx/tx² sind kann ic doch jetzt einfach schreiben:
1* ln (x²/t) + x* 2tx/tx² oder?
uni die 2te Ableitung wäre dann: ln(x²/t)*2t/2tx + 2tx/tx² *x* 2tx/tx² oder?
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Rechtzeitiges Kürzen erspart lange Rechnungen. Man muss nur sicherstellen, dass das Gekürzte nicht 0 werden kann. Oder eine Fallunterscheidung machen.
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Hallo,
schachuzipus hat dir doch eine wunderebare Vereinfachung (Umformung) gegeben:
Es war [mm] 2\cdot\\ln(x)-ln(t). [/mm] ln(t) ist eine Zahl und somit fällt sie beim ableiten weg. Damit ist noch [mm] \\2\cdot\\ln(x) [/mm] abzuleiten und das ist ganz einfach denn du weisst doch die Ableitung von [mm] \\ln(x).
[/mm]
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Mi 14.01.2009 | | Autor: | julmarie |
1* ln (x²/t) + x* 2tx/tx² oder?
uni die 2te Ableitung wäre dann: ln(x²/t)*2t/2tx + 2tx/tx² *x* 2tx/tx²
Also wäre dann die erste ABleitung : ln(x²/t)+ 2
und die 2te : ln(x²/t)* + 4/x
oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Do 15.01.2009 | | Autor: | julmarie |
Hää aber das versteh ich nicht:
die Ableitung von ln (x²/t) ist doch t/x²*2x/t
also schreibe ich für die 2te ABleitung u*v`+u`*v
u= ln (x²/t) und u`= t/x²* 2x/t = 2/x v= 2 und v`= 0
und das wäre ja: ln (x²/t) + 2* 2/x und das wäre dann doch meine angegebene 2te Ableitung : ln (x²/t) + 4/x
ISt das denn nun richtig oder falsch?
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> Hää aber das versteh ich nicht:
> die Ableitung von ln (x²/t) ist doch t/x²*2x/t
Hallo,
Du möchtest Dich also gerade mit der Funktion g(x)=ln (x²/t) beschäftigen?
Ja, es ist [mm] g'(x)=t/x²*2x/t=\bruch{2}{x}
[/mm]
>
> also schreibe ich für die 2te ABleitung
Wovon? Von g?
> u*v'+u'*v
>
> u= ln (x²/t) und u'= t/x²* 2x/t = 2/x v= 2 und v'= 0
???
Willst Du jetzt die Funktion h(x)=2* ln (x²/t) ableiten, oder was? Dafür brauchst Du nicht unbedingt die Produktregel, die 2 ist ja ein konstanter Faktor.
Die Ableitung davon wäre h'(x)=2* ln [mm] (x²/t)=\bruch{4}{x}.
[/mm]
> und das wäre ja: ln (x²/t) + 2* 2/x und das wäre dann doch
Nein: wenn u= ln (x²/t) und v'=0 sind, wie Du selbst oben schriebst, dann ist uv'=0 und nicht =ln (x²/t)
> meine angegebene 2te Ableitung : ln (x²/t) + 4/x
>
> ISt das denn nun richtig oder falsch?
Falls es die Ableitung von h(x)=2* ln (x²/t) sein soll, ist's falsch.
So, ich hab' mal geguckt, worum's hier eigentlich geht...
Die eigentliche Frage scheinen ja die Ableitungen von f(x)=x*ln(x²/t); [mm] x\not=0; [/mm] t>0 zu sein.
Es ist Dir ja schon mitgeteilt worden, wie Du diese Funktion behaglicher schreiben kannst unter Verwendung der  Logarithmusgesetze:
f(x)=x*( 2ln(x)-ln(t)).
Erste Ableitung mit Produktregel:
f'(x)= x*( 2ln(x)-ln(t))'+ x'( [mm] 2ln(x)-ln(t))=x*(\bruch{2}{x}) [/mm] + 2ln(x)-ln(t)=2+2ln(x)-ln(t)
Nächste Ableitung:
[mm] f''(x)=\bruch{2}{x}
[/mm]
Oder so:
f(x)=x*ln(x²/t)
Ableitung mit Produkt- und Kettenregel:
f'(x)=x*(ln(x²/t))' [mm] +x'*ln(x²/t)=x*\bruch{t}{x^2}*\bruch{2x}{t} [/mm] + ln(x²/t)=2+ln(x²/t)
Nun die zweite Ableitung:
[mm] f''(x)=\bruch{t}{x^2}*\bruch{2x}{t}=\bruch{2}{x}.
[/mm]
Du tätest gut daran, immer zu notieren, was Du gerade tust, bzw. zu tun gedenkst.
Mit [mm] x*\bruch{t}{x^2}*\bruch{2x}{t} [/mm] + ln(x²/t) kann kein mensch was anfangen.
Schreibst Du aber [mm] f'(x)=x*\bruch{t}{x^2}*\bruch{2x}{t} [/mm] + ln(x²/t), so sieht man sofort worum es geht und kann sich Gedanken darüber machen, ob es richtig ist oder falsch.
So behältst Du selbst auch den Überblick und verstrickst Dich nicht in völlig unnötigem Wirrwarr.
Gruß v. Angela
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