Kurvendiskussion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Do 08.01.2009 | | Autor: | RX_Queen |
| Aufgabe | Erstellen Sie eine komplette Kurvendiskussion zu der Funktion:
f(x) = [mm] \bruch{x}{e^{x}} [/mm] |
hallo erstmal =)
also zu einer kurvendiskussion gehören ja: Nullstellen, Definitionslücken, Extrempunkte, Wendestellen
ich hoffe ich hab nichts vergessen.
soo nun fängts schon gleich bei den Nullstellen an.
dafür muss man ja f(x)=0 machen und wenn der nenner (? also ich mein oberhalb des bruchstrichs^^) null ist, kommt null raus, richtig?
demnach könnte man gleich schreiben x=0, oder?
na auf jedenfall würde ich sonst gerne wissen ob es noch mehr Nullstellen gibt.
und an sich hab ich da so meine probleme wegen des [mm] e^{x} [/mm] das ist abgeleitet doch auch [mm] e^{x} [/mm] meine ich... also müsste die erste ableitung wie folgt aussehen:
[mm] f'(x)=\bruch{e^{x} - x*e^{x}}{e^{2x}}
[/mm]
was ich ebenfalls nicht so ganz weiß wie ich das machen muss ist, wann und wie [mm] e^{x} [/mm] null wird..also ich mein wegen der definitionslücken...
erstmal bis hierhin, liebe grüße thechen
|
|
| |
|
Hallo RX_Queen.
> Erstellen Sie eine komplette Kurvendiskussion zu der
> Funktion:
> f(x) = [mm]\bruch{x}{e^{x}}[/mm]
> hallo erstmal =)
>
> also zu einer kurvendiskussion gehören ja: Nullstellen,
> Definitionslücken, Extrempunkte, Wendestellen
> ich hoffe ich hab nichts vergessen.
> soo nun fängts schon gleich bei den Nullstellen an.
> dafür muss man ja f(x)=0 machen und wenn der nenner (?
> also ich mein oberhalb des bruchstrichs^^) null ist, kommt
> null raus, richtig?
> demnach könnte man gleich schreiben x=0, oder?
> na auf jedenfall würde ich sonst gerne wissen ob es noch
> mehr Nullstellen gibt.
Wann kann denn ein Bruch 0 werden? Der Nenner ist ja immer ungleich null (ansonsten müsste man alle Punkte ausschließen, bei denen der Nenner 0 wird). Das heißt du kannst die Gleichung
0 = [mm] \bruch{x}{e^x}
[/mm]
mit [mm] e^x [/mm] multiplizieren, ohne dass irgendeine Lösung verloren geht. Am Ende steht dann x=0. Dies ist dementsprechend auch die einzige Nullstelle.
> und an sich hab ich da so meine probleme wegen des [mm]e^{x}[/mm]
> das ist abgeleitet doch auch [mm]e^{x}[/mm] meine ich... also müsste
> die erste ableitung wie folgt aussehen:
> [mm]f'(x)=\bruch{e^{x} - x*e^{x}}{e^{2x}}[/mm]
>
Die Ableitung ist korrekt, aber du kannst die Gleichung noch vereinfachen, in dem du [mm] e^x [/mm] ausklammerst und kürzt. Dann hast schaut f'(x) schon fast wie f(x) aus. Die Extremstellen (bzw. die Extremstelle - es gibt nur eine) kannst du also nach dem gleichen Prinzip wie die Nullstellen berrechnen.
> was ich ebenfalls nicht so ganz weiß wie ich das machen
> muss ist, wann und wie [mm]e^{x}[/mm] null wird..also ich mein wegen
> der definitionslücken...
Die Funktion hat gar keine Definitionslücken, da [mm] e^x [/mm] nie 0 wird.
>
> erstmal bis hierhin, liebe grüße thechen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Do 08.01.2009 | | Autor: | RX_Queen |
mh das mit dem ausklammern und kürzen der ersten ableitung hab ich leider nicht verstanden. wie müsste das dann aussehen?
|
|
|
| |
|
Gemeint ist folgendes:
$ [mm] f'(x)=\bruch{e^{x} - x\cdot{}e^{x}}{e^{2x}} [/mm] = [mm] \bruch{e^{x}(1 - x)}{(e^{x})²}=\bruch{1-x}{e^x}$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Do 08.01.2009 | | Autor: | RX_Queen |
vielen danke schon mal =)
habe jetzt f'(x)=0 gesetzt und für x=1 herausbekommen.
muss ich nun x=1 in f(x) einsetzten um y herauszubekommen, oder in f'(x)?
ist die zweite ableitung folgerndermaßen richtig?:
[mm] f''(x)=\bruch{2e^{x}-x*e^{x}}{e^{2x}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
x=1 ist als Extremstelle richtig. Da ja nach einem Punkt (2-dimensional) und nicht nach einer Stelle (1-dimensional) gesucht ist, musst du errechnen, welchen Wert denn die Funktion an der Stelle x=1 annimmt. Also musst du f(1) errechnen und so hast du den Punkt (1,f(1)) als mögliche Extremstelle.
Du musst aber noch prüfen, ob es sich tatsächlich um eine Extremstelle handelt, in dem du x=1 in die zweite Ableitung einsetzt. Genau gleich funktioniert es ja mit den Wendestellen, nur dass du die Nullstellen (bzw. Nullstelle - es gibt nur eine) der zweiten Ableitung errechnest und diese dann in die dritte Ableitung einsetzt.
Edit: Die zweite Ableitung ist nicht ganz korrekt (Vorzeichenfehler), siehe unten. (Entschuldigung für den Fehler)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Do 08.01.2009 | | Autor: | RX_Queen |
ist die zweite ableitung gekürzt so:
[mm] f''(x)=e^{x}-x
[/mm]
? das kommt mir nämlich sehr kurz vor ^^
so hab ichs gemacht:
[mm] f''(x)=\bruch{2e^{x}-x*e^{x}}{e^{2x}}
[/mm]
[mm] =\bruch{3e^{x}*(x-1)}{(e^{x})^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2e^{x}*(1-x)}{e^{x}}
[/mm]
[mm] =e^{x}*(1-x)
[/mm]
[mm] =e^{x}-x
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Do 08.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
> ist die zweite ableitung gekürzt so:
> [mm]f''(x)=e^{x}-x[/mm]
> ? das kommt mir nämlich sehr kurz vor ^^
> so hab ichs gemacht:
> [mm]f''(x)=\bruch{2e^{x}-x*e^{x}}{e^{2x}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{3e^{x}*(x-1)}{(e^{x})^{2}}[/mm]
> [mm]=\bruch{2e^{x}*(1-x)}{e^{x}}[/mm]
> [mm]=e^{x}*(1-x)[/mm]
> [mm]=e^{x}-x[/mm]
Hallo
Das passt so leider nicht.
[mm] f'(x)=\bruch{1-x}{e^{x}}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{-1*e^{x}-(1-x)*e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-e^{x}-(1-x)e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{e^{x}(-1-(1-x))}{\left(e^{x}\right)^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{e^{x}(-1-1+x)}{\left(e^{x}\right)^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-1-1+x}{e^{x}}
[/mm]
[mm] =\bruch{x-2}{e^{x}}
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Do 08.01.2009 | | Autor: | RX_Queen |
aber wieso:
[mm] \bruch{e^{x}(-1-(1-x))}{\left(e^{x}\right)^{2}} [/mm]
anstatt
[mm] \bruch{e^{x}((1-x)-1)}{(e^{x})²} [/mm] ?
also bei deinem versteh ich schon die erste minus eins aber ich verstehe nicht wieso dann minus die klammer
(-1 - (1-x))
und klar, wenn man das so wie dus hast ausklammerst dass sich dadurch die vorzeichen ändern, nur warum überhaupt verstehe ich nicht so ganz ;)
|
|
|
| |
|
Hallo!
Die Quotientenregel lautet
[mm] $\left(\bruch{f}{g}\right)' [/mm] = [mm] \bruch{f'*g\red{-}f*g'}{g^{2}}$
[/mm]
Bei dir ist
$f(x) = 1-x [mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) = -1$
$g(x) = [mm] e^{x} \Rightarrow [/mm] g'(x) = [mm] e^{x}$
[/mm]
Und somit
[mm] $\left(\bruch{1-x}{e^{x}}\right)' [/mm] = [mm] \bruch{-1*e^{x}\red{-}(1-x)*e^{x}}{e^{2x}}$
[/mm]
Grüße, Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Do 08.01.2009 | | Autor: | RX_Queen |
Vielen Dank an alle!
lg Thechen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Do 08.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dieses Ausklammern funktioniert übrigens bei (fast) jeder e-Funktion, die du mit Produkt- oder Quotientenregel ableiten musst.
Marius
|
|
|
|
