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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Di 11.03.2008 | | Autor: | RudiBe |
| Aufgabe | | Die Gleichung der Parabel 3. Ordnung, die den Punkt H (-1;1) als Maximalpunkt und W (1;-1) als Wendepunkt hat, ist zu berechnen. |
Nach den bisherigen Vorgehensweisen komme ich hier nicht weiter.
Wenn ich diese zwei Punkte in die Standardfunktion
[mm] y=a_{3}x^3+a_{2}x²+a_{1}x+a_{0} [/mm] einsetze bekomme ich
[mm] 1=-a_{3}+a_{2}-a_{1}+a_{0} [/mm] und
[mm] -1=a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}, [/mm] das sagt mir nichts.
Die Ableitungen der Standardfunktion sind
[mm] y'=3a_{3}x²+2a_{2}x+a_{1}
[/mm]
[mm] y''=6a_{3}x+2a_{2}
[/mm]
[mm] y'''=6a_{3}
[/mm]
Für den Wendepunkt wird die zweite Ableitung 0 gesetzt
[mm] y''=6a_{3}*1+2a_{2}=0 [/mm] und dann?
Für den Maximalwert wird die erste Ableitung 0 gesetzt
[mm] y'=3a_{3}*(-1)²+2a_{2}*(-1)+a_{1}=0
[/mm]
[mm] y'=3a_{3}-2a_{2}+a_{1}=0 [/mm] und dann?
Da für den Wendepunkt die 3. Ableitung nicht 0 sein darf hilft mir das auch nicht weiter.
Wie komme ich auf den ersten Wert eines a? Dann dürfte es leichter gehen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
und ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Bei dieser aufgabe handelt es sich um eine sogennante Steckbriefaufgabe. Das ist sozusagen eine umgekehrte Kurvendisskussion.
Wir suchen also eine Funktion dritten Grades. Also:
[mm] f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
Da wir nun vier unbekannte (a,b,c,d) haben brauchen wir 4 Informationen der Kurve.
Wir haben einen Hochpunkt in (-1|1) und einen Wendepunkt in (1|-1).
Also brauchen wir die erste Ableitung und für den Wendepunkt brauchen wir die 2.Ableitung.
Demnach haben brauchen wir:
[mm] f'(x)=3ax^{2}+2bx+c
[/mm]
f''(x)=6ax+2b
In die Information übersetzt heisst das:
f(-1)=1 [mm] \Rightarrow [/mm] -a+b-c+d=1
f'(-1)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 3a-2b+c=0
f(1)=-1 [mm] \Rightarrow [/mm] a+b+c+d=-1
f''(1)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 6a+2b=-0
-a+b+d=1
3a-2b+c=0
a+b+c+d=-1
6a+2b=0
und dieses LGS musst lösen!
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Di 11.03.2008 | | Autor: | RudiBe |
Danke für die Info, die 4 Gleichungen hatte ich schon. Mir war nur nicht klar, das man die 4 Gleichungen zusammen nehmen soll (auf die alte Weise).
Nun mein Problemchen;)
1. nehme ich an, du hattest dich in deinem Post leicht verschrieben.
> In die Information übersetzt heisst das:
> f(-1)=1 [mm]\Rightarrow[/mm] -a+b-c+d=1
> f'(-1)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] 3a-2b+c=0
> f(1)=-1 [mm]\Rightarrow[/mm] a+b+c+d=-1
> f''(1)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] 6a+2b=-0 [mm] \Rightarrow [/mm] sollte ja 0 sein, wie unten.
>
> -a+b+d=1 [mm] \Rightarrow [/mm] fehlt das -c?
> 3a-2b+c=0
> a+b+c+d=-1
> 6a+2b=0
ich habe jedenfalls so gerechnet:
6a+2b=0
b=-3a
3a-2b+c=0
3a+6a+c=0
c=-9a
a+b+c+d=0
a-3a-9a+d=-1
d=10a
-a+b-c+d=1
-a-3a+9a+10a=1
[mm] a=\bruch{1}{15}
[/mm]
daraus folgt:
[mm] b=-\bruch{1}{5}
[/mm]
[mm] c=-\bruch{3}{5}
[/mm]
[mm] d=\bruch{2}{3}
[/mm]
doch das Ergebnis stimmt nicht ganz :(
bei x=-1 kommt 1 raus aber bei x=1 kommt -0,66667 raus
hab schon alles durchgeguckt, wo steckt mein Fehler?
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> Danke für die Info, die 4 Gleichungen hatte ich schon. Mir
> war nur nicht klar, das man die 4 Gleichungen zusammen
> nehmen soll (auf die alte Weise).
> Nun mein Problemchen;)
> 1. nehme ich an, du hattest dich in deinem Post leicht
> verschrieben.
>
> > In die Information übersetzt heisst das:
> > f(-1)=1 [mm]\Rightarrow[/mm] -a+b-c+d=1
> > f'(-1)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] 3a-2b+c=0
> > f(1)=-1 [mm]\Rightarrow[/mm] a+b+c+d=-1
> > f''(1)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] 6a+2b=-0 [mm]\Rightarrow[/mm] sollte ja 0
> sein, wie unten.
> >
> > -a+b+d=1 [mm]\Rightarrow[/mm] fehlt das -c?
> > 3a-2b+c=0
> > a+b+c+d=-1
> > 6a+2b=0
>
> ich habe jedenfalls so gerechnet:
> 6a+2b=0
> b=-3a
>
> 3a-2b+c=0
> 3a+6a+c=0
> c=-9a
>
> a+b+c+d=-1
> a-3a-9a+d=-1
> d=10a
Hallo,
nach meiner Rechnung ist
d=-1+11a
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Di 11.03.2008 | | Autor: | RudiBe |
ja klar ;) Danke
wie mit den Äpfeln und Birnen :D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Di 11.03.2008 | | Autor: | RudiBe |
die Korrektur dieses kleine Fehlers führt dazu, dass kein Ergebniss mehr stimmt.
"was nun?"
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Hallo!
Es ist zu lösen:
[mm] \pmat{ -1 & 1 & -1 & 1 | 1 \\ 3 & -2 & 1 & 0 | 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 |-1 \\ 6 & 2 & 0 & 0 | 0 } [/mm] Nun teilen wir die IV Zeile durch 2 [mm] \to \pmat{ -1 & 1 & -1 & 1 | 1 \\ 3 & -2 & 1 & 0 | 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 |-1 \\ 3 & 1 & 0 & 0 | 0 } [/mm] Nun [mm] 3\cdot [/mm] I + II, I+III, [mm] 3\cdot [/mm] I + IV
[mm] \to \pmat{ -1 & 1 & -1 & 1 | 1 \\ 0 & 1 & -2 & 3 | 3 \\ 0 & 2 & 0 & 2 |0 \\ 0 & 4 & -3 & 3 | 3 } \to \pmat{ -1 & 1 & -1 & 1 | 1 \\ 0 & 1 & -2 & 3 | 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 |0 \\ 0 & 4 & -3 & 3 | 3 } \to \pmat{ -1 & 1 & -1 & 1 | 1 \\ 0 & 1 & -2 & 3 | 3 \\ 0 & 0 & 2 & 3 |3 \\ 0 & 0 & 5 & -9 | -9 } \to \pmat{ -1 & 0 & 1 & -2 | -2 \\ 0 & 1 & -2 & 3 | 3 \\ 0 & 0 & 2 & -2 |-3 \\ 0 & 0 & 5 & -9 | -9 } \to \pmat{ -2 & 0 & 0 & -2 | -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 | 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 |-3 \\ 0 & 0 & 0 & -8 | -3 } \to \pmat{ -8 & 0 & 0 & 0 | -1 \\ 0 & 8 & 0 & 0 | -3 \\ 0 & 0 & 8 & 0 |-9 \\ 0 & 0 & 0 & -8 | -3 } \to \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 | \bruch{1}{8} \\ 0 & 1 & 0 & 0 | -\bruch{3}{8} \\ 0 & 0 & 1 & 0 |-\bruch{9}{8} \\ 0 & 0 & 0 & 1 | \bruch{3}{8} }
[/mm]
Damit hast du deine gesuchte Funktion. Ich hoffe du konntest den letzten umformungen folgen da habe ich nämlich nicht mehr aufgeführt welche Operationen ich angewendet habe.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Di 11.03.2008 | | Autor: | RudiBe |
also deinen Berechnungen konnte ich nicht bis zum Schluss folgen, aber das liegt daran, dass mir sowas noch nicht unter den Kugelschreiber gekommen ist. Der Anfang zumindest ist leicht nachvollziehbar und das Ziel der Aktion erkennbar für mich.
Ich hatte auch noch eine andere Lösungsvariante in der Schule, ist nur schon ne Weile her ;)
Danke jedenfalls ;)
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