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| Aufgabe | Geg. f(x)= [mm] \bruch{x^2-2x+1}{x+1} [/mm]
Zeigen Sie das der Graph keine Wendepunkte (geändert: nicht -tangente!!) besitzt! Berechnen Sie die Stellen x, an denen die Funktion den Anstieg -3 hat! |
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") Hallo Zusammen!
[mm] D_f= \IR [/mm] /(-1)
Habe alle Werte berechnet: Nullstelle (1;0); Schnittpunkt y-Achse (0;1); Minimum bei (1;0); Maximum bei (-3;-8). Die Ableitungen auch
f'(x)= [mm] \bruch{x^2+2x-3}{(x+1)^2} [/mm] und f''(x)= [mm] \bruch{10x+8}{(x+1)^4}
[/mm]
Nun zu meinen Fragen: Der Zähler der zweiten Ableitung wird Null bei x= [mm] -\bruch{4}{5} [/mm] ; ist das der
Wendepunkt? Und wie beweise ich, dass die Funktion keine Wendepunkte (!!) besitzt?
Beim Anstieg m= -3, reicht es den Zähler der ersten Ableitung -3 zu setzen?
Also [mm] x^2+2x-3=-3 [/mm] <=> x(x-2)=0 => [mm] x_1= [/mm] 0 und [mm] x_2= [/mm] -2
Oder muss ich den Nenner mit einbeziehen? Brauch ich den Nenner überhaupt zur Kurvendiskussion, ausser zur Definitionsbereichsbestimmung und Polfindung?
Ist einfach zu lange her bei mir.....Danke schonmal für Eure Hilfe. LG Markus
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> Geg. f(x)= [mm]\bruch{x^2-2x+1}{x+1}[/mm]
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> Zeigen Sie das der Graph keine Wendetangente besitzt!
> Berechnen Sie die Stellen x, an denen die Funktion den
> Anstieg -3 hat!
> Hallo Zusammen!
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> [mm]D_f= \IR[/mm] /(-1)
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> Habe alle Werte berechnet: Nullstelle (1;0); Schnittpunkt
> y-Achse (0;1); Minimum bei (1;0); Maximum bei (-3;-8). Die
> Ableitungen auch
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> f'(x)= [mm]\bruch{x^2+2x-3}{(x+1)^2}[/mm] und f''(x)=
> [mm]\bruch{10x+8}{(x+1)^4}[/mm]
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> Nun zu meinen Fragen: Der Zähler der zweiten Ableitung
> wird Null bei x= [mm]-\bruch{4}{5}[/mm] ;
Hallo,
Du solltest Deine 2. Ableitung nochmal rechnen. Ich bekomme da nämlich etwas anderes - was auch besser zur Aufgabenstellung paßt.
Gruß v. Angela
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Habe noch 2x nachgerechnet und für f''(x)= [mm] \bruch{8x+8}{(x+1)^4} [/mm] raus.
Immer wieder der fehlerteufel.... stimmt das? also wäre x=-1 für 8x+8=0
Und wie geht das mit den Wendepunkten? Danke erstmal.
LG Markus
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> s.o.
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> Habe noch 2x nachgerechnet und für f''(x)=
> [mm]\bruch{8x+8}{(x+1)^4}[/mm] raus.
Hm - ich hatte [mm] \bruch{4x+4}{(x+1)^4} [/mm] ausgerechnet, aber das muß nicht unbedingt etwas zu bedeuten haben...
Jedenfalls ist sowohl in Deiner als auch in meiner Variante die einzige Nullstelle der zweiten Ableitung bei x=-1, dh. nur an dieser Stelle könnte es einen Wendepunkt geben.
x=-1 hat allerdings den Nachteil, daß die Funktion hier überhaupt nicht definiert ist...
Und wo's keinen Wendepunkt gibt, gibt's auch keine Wendetangente.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela!
Danke, stimmt für -1 is ja nicht definiert. Hab ich sonst richtig gerechnet für die Punkte wo der Anstieg -3 sein soll? Und reicht der Zähler um die Funktion zu diskutieren? Danke nochmal. LG Markus
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Hallo,
für die Stelle, wo die Steigung -3 ist, mußt Du die 1. Ableitung =-3 setzen,
also $ [mm] \bruch{x^2+2x-3}{(x+1)^2} [/mm] $ =-3 lösen.
Nicht nur den Zähler! Das mit dem Zähler gilt nur, wenn man Nullstellen sucht, weil ja ein Bruch nur =0 sein kann, wenn sein Zähler =0 ist.
Gruß v. Angela
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Ich hoffe, dass ich richtig gerechnet habe.
habe: $ [mm] \bruch{x^2+2x-3}{(x+1)^2} [/mm] $ =-3
Also im einzelnen: [mm] \bruch{x^2+2x-3}{(x+1)^2} [/mm] =-3 [mm] /*(x+1)^2
[/mm]
[mm] x^2+2x-3 [/mm] = [mm] -3(x+1)^2
[/mm]
[mm] x^2+2x-3 [/mm] = [mm] -3(x^2+2x+1)
[/mm]
[mm] x^2+2x-3 [/mm] = [mm] -3x^2-6x-3 [/mm] /-2x [mm] /-x^2
[/mm]
-3 = [mm] -4x^2-8x-3 [/mm] /+3
0 = [mm] -4x^2-8x [/mm]
[mm] x_1= [/mm] 0 ; [mm] x_2= [/mm] -2
Passt das? Danke. LG Markus
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
Gruß
