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| Aufgabe | | Diskutieren sie die Funktion y = [mm] \bruch{x^{4}}{x^{2}-1} [/mm] |
Hi
Ich verzweifle ein bisschen an dieser Funktion.
Also, ich habe folgendes für die Ableitungen raus:
[mm] y^{'} [/mm] = [mm] \bruch{2x^{5} - 4x^{3}}{(x^{2}-1)^{2}}
[/mm]
[mm] y^{''}= \bruch{2x^{6} - 6x^{4} + 12x^{2}}{(x^{2}-1)^{3}}
[/mm]
[mm] y^{'''} [/mm] = [mm] \bruch{-24x^{3} - 24x}{(x^{2}-1)^{4}}
[/mm]
So, nun setze ich die 1. Ableitung = 0.
Da bekomme ich raus: [mm] x_{1,2,3} [/mm] = 0, [mm] x_{4} [/mm] = 1,41, [mm] x_{5} [/mm] = -1,41
das setze ich in die 2. Ableitung ein um zu überprüfen ob das Tiefpunkte oder Hochpunkte sind.
Da bekomme ich raus:
f '' (0) = 0
f '' (1,41) = 16
f '' (-1,41) = 16
Das heisst das ich jetzt an der Stelle x = 1,41 und x = -1,41 einen Tiefpunkt habe und an der Stelle x = 0 ein Sattelpunkt liegen könnte.
Um das zu überprüfen und um zu prüfen ob der Graph Wendepunkte hat setze ich f '' (x) = 0.
[mm] 2x^{6} [/mm] - [mm] 6x^{4} [/mm] + [mm] 12x^{2} [/mm] = 0
[mm] x^{2} [/mm] * [mm] (2x^{4} [/mm] - [mm] 6x^{2} [/mm] + 12) = 0
dann ist [mm] x_{1} [/mm] = 0 und [mm] x_{2} [/mm] = 0 und [mm] (2x^{4} [/mm] - [mm] 6x^{2} [/mm] + 12) = 0
ich teile die gleichung durch 2 und substituiere [mm] x^{2} [/mm] = z
[mm] z^{2} [/mm] - 3z + 6 = 0
das will ich jetzt mit pq-Formel lösen. Aber das geht nicht. Da ich unter der Wurzel etwas negatives rausbekommen würde.
Dann breche ich doch hier ab, oder?
Dann kommt für f '' (x) = 0 nur [mm] x_{1} [/mm] = 0 und [mm] x_{2} [/mm] = 0 raus oder???
So, und jetzt setze ich 0 in f ''' (x) ein.
Da kommt ja jetzt wieder 0 raus. Heisst das ich habe dort einen Sattelpunkt oder was ist das?
Ich dachte die Bedingung für einen Sattelpunkt wäre:
f ' (x) = 0 , f '' (x) = 0 , f ''' (x) <> 0
Sorry wenn das zu aufwendig ist, aber ich habe morgen meinen letzten Versuch in Analysis. Ich muss das morgen einfach bestehen.....
Danke
Gruß
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> Diskutieren sie die Funktion y = [mm]\bruch{x^{4}}{x^{2}-1}[/mm]
> Hi
>
> Ich verzweifle ein bisschen an dieser Funktion.
> Also, ich habe folgendes für die Ableitungen raus:
>
>
> [mm]y^{'}[/mm] = [mm]\bruch{2x^{5} - 4x^{3}}{(x^{2}-1)^{2}}[/mm]
Hallo,
die Ableitung stimmt.
>
>
> [mm]y^{''}= \bruch{2x^{6} - 6x^{4} + 12x^{2}}{(x^{2}-1)^{3}}[/mm]
Diese auch.
>
>
> [mm]y^{'''}[/mm] = [mm]\bruch{-24x^{3} - 24x}{(x^{2}-1)^{4}}[/mm]
Auch die.
>
>
> So, nun setze ich die 1. Ableitung = 0.
um mögliche Stellen für Extremwerte zu ermitteln.
> Da bekomme ich raus: [mm]x_{1,2,3}[/mm] = 0, [mm]x_{4}[/mm] = 1,41, [mm]x_{5}[/mm] =
> -1,41
[mm] x_{1,2}=\pm\wurzel{2} x_3=0.
[/mm]
> das setze ich in die 2. Ableitung ein um zu überprüfen ob
> das Tiefpunkte oder Hochpunkte sind.
Genau.
>
> Da bekomme ich raus:
>
> f '' (0) = 0
> f '' (1,41) = 16
> f '' (-1,41) = 16
Ja.
>
> Das heisst das ich jetzt an der Stelle x = 1,41 und x =
> -1,41 einen Tiefpunkt habe
richtig.
> und an der Stelle x = 0 ein
> Sattelpunkt liegen könnte.
Nein. Es könnte ein Extremwert oder ein Sattelpunkt vorliegen.
f'(x)=0 und [mm] f''(x)\not= [/mm] 0 gibt Dir die Gewißheit, einen Extremwert vorliegen zu haben.
An Stellen mit f'(x)=0 und f''(x)= 0 können Extrema oder Sattelpunkte liegen.
> Um das zu überprüfen und um zu prüfen ob der Graph
> Wendepunkte hat setze ich f '' (x) = 0.
Richtig.
>
> [mm]2x^{6}[/mm] - [mm]6x^{4}[/mm] + [mm]12x^{2}[/mm] = 0
>
> [mm]x^{2}[/mm] * [mm](2x^{4}[/mm] - [mm]6x^{2}[/mm] + 12) = 0
>
> dann ist [mm]x_{1}[/mm] = 0 und [mm]x_{2}[/mm] = 0 und [mm](2x^{4}[/mm] - [mm]6x^{2}[/mm] + 12) =0
Nullstellen kann es geben für x=0 oder [mm] 2x^{4} [/mm] - [mm] 6x^{2} [/mm] + 12=0
>
> ich teile die gleichung durch 2 und substituiere [mm]x^{2}[/mm] = z
>
> [mm]z^{2}[/mm] - 3z + 6 = 0
>
> das will ich jetzt mit pq-Formel lösen. Aber das geht
> nicht. Da ich unter der Wurzel etwas negatives rausbekommen
> würde.
> Dann breche ich doch hier ab, oder?
Ja.
> Dann kommt für f '' (x) = 0 nur [mm]x_{1}[/mm] = 0 und [mm]x_{2}[/mm] = 0
> raus oder???
Es ist [mm] x_3=0 [/mm] die einzige Stelle, an welcher f''(x)=0 ist.
Nur an dieser Stelle könnte der Graph einen Wendepunkt haben.
>
> So, und jetzt setze ich 0 in f ''' (x) ein.
> Da kommt ja jetzt wieder 0 raus. Heisst das ich habe dort
> einen Sattelpunkt oder was ist das?
Du bist nun so schlau wie zuvor: an der Stelle [mm] x_3=0 [/mm] könnte ein Wendeüunkt vorliegen oder ein Extremwert.
> Ich dachte die Bedingung für einen Sattelpunkt wäre:
>
> f ' (x) = 0 , f '' (x) = 0 , f ''' (x) <> 0
Wenn Du diese Situation vorliegen hast, weißt Du sicher, daß Du einen Sattelpunkt in den Händen hältst.
Du mußt die Stelle [mm] x_3=0 [/mm] nun anders untersuchen.
Eine Möglichkeit: Du überlegst Dir, wie die Funktionswerte für ein beliebig kleines [mm] \delta [/mm] rechts und links von 0 lauten, berechnest also [mm] f(\delta) [/mm] und [mm] f(-\delta).
[/mm]
Du siehst, sie sind gleich, und zwar kleiner als 0.
Also hast Du bei [mm] x_3=0 [/mm] ein Maximum.
Andere Möglichkeit:
Du überlegst Dir, daß die Funktion symmetrisch zur y-Achse ist. Also kann sie im Punkt (0/0) keinen Wendepunkt haben. Also muß da ein Extremwert vorliegen. Wegen f(0)=0 und [mm] f(\delta)< [/mm] 0 handelt es sich um ein Maximum.
Andere Moglichkeit:
Du berechnest [mm] f^n(0), [/mm] also die n-ten Ableitungen.
Ist bei einer geraden Ableitung [mm] f^n(0) [/mm] erstmalig [mm] \not=0, [/mm] ist's ein Extremwert,
ist das bei einer ungeraden der Fall, so hat man einen Sattelpunkt. Könnt' allerdings sein, daß das bei dieser Funktion nicht klappt.
Gruß v. Angela
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Hi
Vielen dank für deine ausführliche antwort. Hat mir weitergeholfen und mich beruhigt.
Du schriebst:
Wenn Du diese Situation vorliegen hast, weißt Du sicher, daß Du einen Sattelpunkt in den Händen hältst.
Du mußt die Stelle $ [mm] x_3=0 [/mm] $ nun anders untersuchen.
Eine Möglichkeit: Du überlegst Dir, wie die Funktionswerte für ein beliebig kleines $ [mm] \delta [/mm] $ rechts und links von 0 lauten, berechnest also $ [mm] f(\delta) [/mm] $ und $ [mm] f(-\delta). [/mm] $
Du siehst, sie sind gleich, und zwar kleiner als 0.
Also hast Du bei $ [mm] x_3=0 [/mm] $ ein Maximum.
Wenn ich das mache und da gleich 0 rauskommt würde mich das doch auch bestätigen das es sich an der Stelle x=0 um einen Sattelpunkt handelt, oder?
Sattelpunkt ist doch ein Wendepunkt mit Waagerechter Tangente.
Ist das richtig so?
Danke
Gruß
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>> Eine Möglichkeit: Du überlegst Dir, wie die Funktionswerte
>> für ein beliebig kleines [mm]\delta[/mm] rechts und links von 0
>> lauten, berechnest also [mm]f(\delta)[/mm] und [mm]f(-\delta).[/mm]
>> Du siehst, sie sind gleich, und zwar kleiner als 0.
>> Also hast Du bei [mm]x_3=0[/mm] ein Maximum.
>
> Wenn ich das mache und da gleich 0 rauskommt
Wenn Du in einer Umgebung von 0 Null als Funktionswerte hättest, wäre die Funktion dort für ein (möglicherweise sehr kleines) Stück eine Gerade. Damit ist bei Deiner Funktion nicht zu rechnen.
Wenn Du die "weitere Untersuchung" durchführst wie ich es geschildert habe, könntest Du auf einen Wendepunkt schließen, wenn für beliebig kleines [mm] \delta f(-\delta)<0 [/mm] und [mm] f(\delta)>0 [/mm] wäre. Oder umgekehrt.
Mach' Dir mal klar, was "Extremwert" bedeutet: rechts und links sind in einer Umbegung dieses Wertes alle anderen Funktionswerte größer (Minimum) oder kleiner (Maximum) als der Funktionswert an dieser Stelle.
Beim Sattelpunkt ist das nicht der Fall!
Gruß v. Angela
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Also, ich habe das jetzt so verstanden:
wir wollen die Stelle x = 0 untersuchen.
Ich setze nun in f (x) 0,1 und -0,1 ein.
Wenn da jetzt rauskommen:
- die gleichen Werte, habe ich ein Extremum
- unterschiedliche Werte habe ich einen Wendepunkt
- wenn 0 rauskommt habe ich einen Sattelpunkt
Ist das so richtig?
Und noch eine weitere Frage. Wenn ich bei einer Funktionen rausfinde das sie ein Sattelpunkt hat, kann dann noch irgendwo anders ein Wendepunkt vorhanden sein? Ja, oder?
Danke
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> Also, ich habe das jetzt so verstanden:
>
> wir wollen die Stelle x = 0 untersuchen.
Wir setzen voraus, daß an der Stelle 0 die 1.Ableitung =0 ist. Nur für diese Stellen interessieren wir uns im Moment.
>
> Ich setze nun in f (x) 0,1 und -0,1 ein.
Ganz im Geheimen wird man das vielleicht tun.
Aber es reicht nicht. Es geht um eine Umgebung von der Stelle x=0, und man muß Stellen untersuchen, die beliebig dicht an dieser Stelle dran liegen. Daher habe ich ein beliebig kleines [mm] \delta [/mm] > 0 gewählt.
>
> Wenn da jetzt rauskommen:
>
> - die gleichen Werte,
und verschieden vom Funktionswert f(0)
> habe ich ein Extremum
Ja. Du siehst es an einer Skizze.
Die ganze Ableiterei dient dazu, diesen Sachverhalt zu klären.
> - unterschiedliche Werte habe ich einen Wendepunkt.
Dieser ist ein Sattelpunkt, weil wir ja gerade Stellen mit waagerechter Tangente, also mit f'(0)=0 untersuchen.
> Und noch eine weitere Frage. Wenn ich bei einer Funktionen
> rausfinde das sie ein Sattelpunkt hat, kann dann noch
> irgendwo anders ein Wendepunkt vorhanden sein? Ja, oder?
Ein Sattelpunkt ist ein ganz spezieller Wendepunkt, ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
Es kann bei irgendwelchen Funktionen prizipiell solche und solche geben.
Gruß v. Angela
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mhh, irgendwie habe ich das Gefühl wir schreiben aneinander vorbei.
Die Frage bezieht sich NICHT auf die Funktion [mm] \bruch{x^{4}}{x^{2}-1}
[/mm]
Wenn wir eine x-beliebige funktion nehmen, man diese untersucht und man rausfindet man hat einen Sattelpunkt an irgend einer Stelle auf diesem Graphen. Kann man dann kategorisch ausschließen das noch an irgend einer weiteren Stelle auf diesem Graphen ein Wendepunkt vorhanden ist oder kann noch ein Wendepunkt an einer x-beliebigen weiteren stelle (ausser an der wo wir einen Sattelpunkt gefunden haben) liegen?
Jetzt wieder zurück zur urprünglichen Funktion [mm] \bruch{x^{4}}{x^{2}-1}
[/mm]
Ich setze in die Funktion [mm] \bruch{x^{4}}{x^{2}-1} [/mm] für x = 0,1 und x = -0,1 ein dann kommt für beide x-Werte raus y = -0,00010101.
Daraus kann ich schließen das es sich um ein Extremwert handelt.
Bei der o.g. Fkt ist es dann ein Extremwert.
Oder verstehe ich das Falsch und wir überprüfen die Steigung der Funktion im Punkt x = 0. Dann müssten wir doch für die Überprüfung die 1. Ableitung wählen oder?
Jetzt mal rein Hypothetisch:
Wenn ich das gleiche wie oben mache, also für x = 0,1 und x = -0,1 einsetze und ich dann für beide x- Werte y = 0 rausbekomme, dann müsste es sich doch um ein Sattelpunkt handeln.
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> mhh, irgendwie habe ich das Gefühl wir schreiben aneinander
> vorbei.
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> Die Frage bezieht sich NICHT auf die Funktion
> [mm]\bruch{x^{4}}{x^{2}-1}[/mm]
>
> Wenn wir eine x-beliebige funktion nehmen, man diese
> untersucht und man rausfindet man hat einen Sattelpunkt an
> irgend einer Stelle auf diesem Graphen. Kann man dann
> kategorisch ausschließen das noch an irgend einer weiteren
> Stelle auf diesem Graphen ein Wendepunkt vorhanden ist oder
> kann noch ein Wendepunkt an einer x-beliebigen weiteren
> stelle (ausser an der wo wir einen Sattelpunkt gefunden
> haben) liegen?
Hab' ich doch geschrieben:
prinzipiell ist das möglich. Unter allen Wendepunkten sind die Sattelpunkte diejenigen, welche zusätzlich noch eine waagerechte Tangente haben, bei denen also die erste Ableitung auch =0 ist und nicht nur die zweite.
> Jetzt wieder zurück zur urprünglichen Funktion
> [mm]\bruch{x^{4}}{x^{2}-1}[/mm]
>
> Ich setze in die Funktion [mm]\bruch{x^{4}}{x^{2}-1}[/mm] für x =
> 0,1 und x = -0,1 ein dann kommt für beide x-Werte raus y =
> -0,00010101.
> Daraus kann ich schließen das es sich um ein Extremwert
> handelt.
Nein. Du kannst das nicht einfach anhand irgendwelcher Werte schließen.
Wenn Du' so machst, müßtest Du auch die Stellen [mm] \pm [/mm] 0.001, [mm] \pm [/mm] 0,0001, [mm] \pm [/mm] 0,00001 und noch viele, viele mehr prüfen.
Deshalb macht man das allgemein. Man sagt [mm] \delta [/mm] darf beliebig klein sein und guckt sich dann die Funktionswerte an.
Mir fällt noch etwas anderes ein, was Du tun kannst.
Wenn an der Stelle ein Extremwert vorliegt, ist ja rechts davon die Steigung positiv und links negativ (oder umgekehrt).
Du kannst nun auch die erste Ableitung anschauen:$ [mm] y^{'} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{2x^{5} - 4x^{3}}{(x^{2}-1)^{2}} [/mm] $,
und nachschauen, wie es mit der Steigung links und rechts von Null bestellt ist.
> Oder verstehe ich das Falsch und wir überprüfen die
> Steigung der Funktion im Punkt x = 0. Dann müssten wir doch
> für die Überprüfung die 1. Ableitung wählen oder?
s.o.
So kann man es auch machen.
>
> Jetzt mal rein Hypothetisch:
> Wenn ich das gleiche wie oben mache, also für x = 0,1 und
> x = -0,1 einsetze und ich dann für beide x- Werte y = 0
> rausbekomme, dann müsste es sich doch um ein Sattelpunkt
> handeln.
Nein.
Zum einen darfst Du nicht einfach irgndwelche beliebigen werte einsetzen, die Funktion konnte zwischen 0 und 0.1 ja ganz chaotisch verlaufen (was Du allerdings bei Betrachtung der ersten Ableitung ausschließen kannst.)
Wenn Du an der Stelle 0 den Funktionswert 0 hast, also f(0)=0 und auch [mm] f(\pm [/mm] 0.1)=0 ist, so ist, da Du eine stetige Funktion hast, zwischen 0 und diesen Punkten ein Extremwert, oder die Funktion ist konstant auf diesem Teilstück.
Den Sattelpunkt könntest Du nachweisen, wenn Du zeigen würdest, daß die Funktionswerte rechts von 0 größer als f(0) sind und links von 0 kleiner als f(0) (oder umgekehrt) - f'(0)=0 vorausgesetzt.
Nimm die Fkt. [mm] g(x)=x^5+1.
[/mm]
Sie hat für x=0 einen Sattelpunkt.
es ist g'(0)=0.
Rechts von 0 sind die Funktionswerte größer als g(0)=1, links kleiner.
Oder schau auf die Ableitung: [mm] g'(x)=5x^4. [/mm] Sie ist rechts und links positiv, zusammen mit g'(0) hast Du: Wendepunkt.
Gruß v. Angela
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Hallo HolyPastafari!
Wenn man sich (aufgrund der ausschließlich geraden Exponenten von $x_$) darüber klar ist, dass der Graph dieser Funktion achsensymmetrisch ist zur y-Achse, erkennt man auch schnell, dass es sich bei $x \ = \ 0$ um eine Extremstelle (und nicht um eine Sattelstelle) handeln muss.
Gruß vom
Roadrunner
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> Wenn man sich (aufgrund der ausschließlich geraden
> Exponenten von [mm]x_[/mm]) darüber klar ist, dass der Graph dieser
> Funktion achsensymmetrisch ist zur y-Achse, erkennt man
> auch schnell, dass es sich bei [mm]x \ = \ 0[/mm] um eine
> Extremstelle (und nicht um eine Sattelstelle) handeln
> muss.
... wie ich bereits schrieb...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Do 16.08.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Angela!
![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") Da hätte ich mir Deine Antwort wohl doch aufmerksam bis zum Ende durchlesen sollen.
Gruß vom
Roadrunner
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