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Hi!
Ich habe eine kurze Frage zu einer Aufgabe, und möchte wissen ob es bisher OK ist was ich gemacht habe.
[mm] f(x) = ln (x^2+1) [/mm]
Erste Ableitung:
[mm] \bruch {2x}{x^2+1}[/mm]
Ich soll also folgendes untersuchen:
1. Definitionsbereich
2. Verhalten an den Definitionslücken
3. Nullstellen
4. lokale und globale Extrempunkte
5. asymptotisches Verhalten im Unendlichen
6. Krümmungsverhalten
7. Monotonieverhalten
8. Symmetrie und Periodizität
Hier mein Ansatz:
1. Definitionsbereich [mm] \IR, [/mm] da da keine Problemstellen auf den ersten Blick zu erkennen sind.
2. Keine Definitionslücken zu erkennen. (s.o.)
3. Nenner der ersten Ableitung immer positiv, keine Nullstellen.
4. Nicht bestimmbar, da keine Nullstellen.
5. Läuft gegen [mm] \infty
[/mm]
6. ???
7. 2x kann positive und negative Werte annehmen. Weder monoton wachsend, noch fallend.
8. [mm] f(-x) = f(x) [mm] \Rightarrow [/mm] Achsensymmetrisch zur Y-Achse. Nicht periodisch.
So.. irgendwie habe ich die Vermutung, das ich das komplett falsch mache. Weil ich irgendwie fast nichts bestimmen konnte... vielleicht habt ihr ja noch einen Hinweis.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Das meiste stimmt, einiges musst du halt "formal untermauern".
Definitionsbereich z.b. so
Ein Problem würde sich ergeben, wenn die Klammer negativ werden würde. Also könntest du ausrechnen, wann dies der Fall ist
0 < x² +1
x² < -1
-> geht nicht -> Definitionsbereich ist R
Nullstellen:
Die funktion wird dann 0, wenn man den ln von 1 berechnet!
Also muss der Wert der Klammer 1 ergeben.
x² + 1 = 1
x = 0
Also: bei 0 Nullstelle
Extremstellen:
die erste Ableitung ist x² / (x²+1) = 0
Ein Bruch wird dann 0, wenn der Zähler 0 wird
-> x² = 0
-> Extremstelle bei 0
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Zweite Ableitung:
2*x / (x² +1)²
Einsetzen in die zweite Ableitung gibt zunächst keine besseren Erkenntnisse, man berechnet also einfach die Steigung von z.b. -0,5 und 0,5 und stellt sodann fest, daß es sich um ein minimum handelt.
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edit: die 2. Ableitung ist natürlich Unsinn, wie bin ich darauf gekommen ;)
Grenzwert gegen unendlich: Stimmt schon, mir fällt aber auch gerade nicht ein, wie man das "formal nachweisen könnte"
Krümmungsverhalten:
2. Ableitung = 0
2x / (x²+1)²
siehe oben: Zähler = 0
-> Wendepunkt bei 0
links davon: f''(0-h) = negativ -> rechtsgekrümmt
rechts davon: linksgekrümmt
Monotonie: es gibt nur eine Extremstelle, die Funktion ist von -unendlich bis 0 monoton fallend (ergibt sich aus dem minimum und der Krümmung) und rechts davon monoton steigend
Die Funktion ist achsensymetrisch, da in der Klammer nur gerade exponenten vorhanden sind (reine zahlen gelten als gerade exponenten, da man sich ein [mm] x^0 [/mm] dazu denken kann und 0 eine gerade Zahl ist)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 So 28.11.2004 | | Autor: | Peter_Pein |
1.) Die erste Ableitung nach x ist, wie Dave schon schrieb: [mm] \bruch{2x}{1+x^{2}}. [/mm] Das ändert nichts daran, dass ein Extremwert bei [mm] x_{extrem}=0 [/mm] angenommen wird.
2.) Die zwote Abl. ist
[mm] \bruch{2}{1+x^2}-\bruch{4x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}=2 \bruch{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}
[/mm]
Also ist [mm] $f''(x_{extrem}) [/mm] = 2 > 0$, d.h. dort hat f ein Minimum.
Entsprechend liegen die Wendepunkte bei -1 (konkav->konvex) und 1 (umgekehrt (was auch sonst?  )).
Na ja, wenn man schon formal nachweisen möchte, dass f gerade (symmerisch zur y-Achse) ist, dann mit dem lapidaren Satz:
"Offenbar ist $f(x)=f(-x)$".
Alles Gute,
Peter
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Wollten euch beide nur mal !Danke! sagen, hat mir sehr geholfen!
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