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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion fa durch fa(x)=[mm] \bruch{x}{a} [/mm] [mm] \cdot e^{-ax} [/mm] ; a,x [mm] \in [/mm] R ; a > 0.
Ermitteln Sie für die Funktionenschar fa die Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte!
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Hallo!
Bin hier gerad total verwirrt.
Also ich hab das jetzt mal versucht zu lösen. Nur leider stimmen meine Lösungen nicht mit denen meines Lehrers überein. Wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, wo mein Fehler liegt.
Nullstelle:
0=[mm] \bruch{x}{a} [/mm] [mm] \cdot e^{-ax}
[/mm]
[mm] 0\not=e^{-ax}
[/mm]
0=[mm] \bruch{x}{a} [/mm]
x=0
Ableitungen (mit Produktregel):
[mm] f'(x)=e^{-ax}([/mm] [mm] \bruch{1}{a} [/mm]-x)
[mm] f''(x)=e^{-ax}(-2+ax)
[/mm]
[mm] f'''(x)=e^{-ax}(3a-a^2x)
[/mm]
Extrempunkte:
f'(x)=0
[mm] 0=e^{-ax}([/mm] [mm] \bruch{1}{a} [/mm]-x)
[mm] e^{-ax}\not=0
[/mm]
0=[mm] \bruch{1}{a} [/mm]-x
x=[mm] \bruch{1}{a} [/mm]
[mm] f''(\bruch{1}{a})=e^{-a\bruch{1}{a}}(-2+a\bruch{1}{a})
[/mm]
[mm] f''(\bruch{1}{a})=e^{-1}(-2+1)
[/mm]
[mm] f''(\bruch{1}{a})=-e^{-1} \to [/mm] Hochpunkt
[mm] f(\bruch{1}{a})=\bruch{\bruch{1}{a}}{a} \cdot e^{-a\bruch{1}{a}}
[/mm]
[mm] f(\bruch{1}{a})=a^{-1} \cdot a^{-1} \cdot e^{-1}
[/mm]
[mm] f(\bruch{1}{a})=a^{-2}\cdot e^{-1}
[/mm]
[mm] H(\bruch{1}{a}|a^{-2}\cdot e^{-1})
[/mm]
Laut meinem Lehrer muss hier [mm] H(\bruch{1}{a}|\bruch{1}{a^2e}) [/mm] raus kommen. (Oder ist das das
Selbe? Wenn ja, wie forme ich das dann um, dass ich auch auf dieses
Ergebnis komme?)
Wendepunkt:
f''(x)=0
[mm] 0=e^{-ax}(-2+ax)
[/mm]
[mm] 0\not=e^{-ax}
[/mm]
0=(-2+ax)
2=ax
[mm] x=\bruch{2}{a}
[/mm]
[mm] f'''(\bruch{2}{a})=e^{-a\bruch{2}{a}}(3a-a^2\bruch{2}{a})
[/mm]
[mm] f'''(\bruch{2}{a})=ae^{-2}\not=0
[/mm]
[mm] f(\bruch{2}{a})=[/mm] [mm] \bruch{\bruch{2}{a}}{a} [/mm] [mm] \cdot e^{-a\bruch{2}{a}}
[/mm]
[mm] f(\bruch{2}{a})=\bruch{2}{a}a^{-1}e^{-2}
[/mm]
[mm] f(\bruch{2}{a})=2a^{-2}e^{-2}
[/mm]
[mm] W(\bruch{2}{a}|2a^{-2}e^{-2})
[/mm]
Laut meinem Lehrer W [mm] (\bruch{2}{a}|\bruch{2}{a^2e})
[/mm]
Wäre lieb, wenn mir jemand aus der Verwirrung helfen könnte.
Danke im Vorraus!
LG Nicole
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Hallo Nicole!
Ich kann in Deiner Rechnung keinen Fehler entdecken. Und Du hast auch dieselben Ergebnisse wie Dein Lehrer ...
> [mm]H(\bruch{1}{a}|a^{-2}\cdot e^{-1})[/mm]
> Laut meinem Lehrer muss hier [mm]H(\bruch{1}{a}|\bruch{1}{a^2e})[/mm] raus kommen.
Das sind die  Potenzgesetze, die hier angewandt wurden.
Es gilt ja: [mm] $b^{-m} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{b^m}$
[/mm]
Damit wird also: [mm] $a^{-2}*e^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a^2}*\bruch{1}{e^1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a^2*e}$
[/mm]
> [mm]W(\bruch{2}{a}|2a^{-2}e^{-2})[/mm]
> Laut meinem Lehrer W [mm](\bruch{2}{a}|\bruch{2}{a^2e})[/mm]
Das muss bei Deinem Lehrer aber heißen: $W \ [mm] \left( \ \bruch{2}{a} \ \left| \ \bruch{2}{a^2*e^{\red{2}}} \ \right)$ !
Und die Umformung Deines Ergebnisses erfolgt dann wie oben!
Gruß vom
Roadrunner
[/mm]
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Ah ja! ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Danke!![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Hatte da einen geistigen Aussetzter. Und Potenzgesetzte sind eh nicht so mein lieblings Gebiet.
(Der Wendepunkt ist richtig. Hab ihn nur falsch abgeschrieben. Muss also [mm]W \ \left( \ \bruch{2}{a} \ \left| \ \bruch{2}{a^2*e^{\red{2}}} \ \right)[/mm]
Vielen Lieben Dank!
Nicole
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