Kurven Integral - Polynom < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Mi 05.02.2014 | | Autor: | gpw |
| Aufgabe | | Sei p ein Polynom vom Grad m [mm] \ge [/mm] 1 und R > 0. Zeige [mm] \integral_{|z| = R}^{}{\overline{p(z)}dz} [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] i [mm] R^2\overline{p'(0)} [/mm] |
Hallo zusammen,
mir fehlt bei obiger Aufgabe ein Ansatz bzw. eine Idee sie zu lösen.
Könnte mir jemand helfen?
Gruß gpw
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Hallo,
du kannst folgenden Ansatz wählen:
Parametrisiere die Kurve, also [mm] \gamma(t)=z_0+Re^{it}, t\in(0,2\pi).
[/mm]
Wähle [mm] p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_0=\sum_{k=0}^na_kz^k.
[/mm]
Nun werte das Integral
[mm] \int_\gamma\overline{\sum_{k=0}^na_kz^k}dz
[/mm]
aus.
Dies kannst du für jede Ordnung einzeln tun.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Mi 05.02.2014 | | Autor: | gpw |
> Hallo,
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> du kannst folgenden Ansatz wählen:
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> Parametrisiere die Kurve, also [mm]\gamma(t)=z_0+Re^{it}, t\in(0,2\pi).[/mm]
>
> Wähle
> [mm]p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_0=\sum_{k=0}^na_kz^k.[/mm]
>
> Nun werte das Integral
>
> [mm]\int_\gamma\overline{\sum_{k=0}^na_kz^k}dz[/mm]
>
> aus.
> Dies kannst du für jede Ordnung einzeln tun.
Hi Richie,
danke für die schnelle Antwort.
Leider stehe ich immer noch auf dem Schlauch.
Wenn ich das Integral gliedweise aufschreibe bekomme ich:
[mm]\int_\gamma\overline{\sum_{k=0}^na_kz^k}dz = \integral_\gamma\overline{a_0} * 1 dz + \integral_\gamma\overline{a_1} * \overline{z} dz + \integral_\gamma\overline{a_2} * \overline{z}^2 dz + ... + \integral_\gamma\overline{a_m} * \overline{z}^m dz[/mm]
Wenn ich nun gliedweise das Integral berechne, hab ich sowas hier stehen:
[mm]\int_\gamma\overline{\sum_{k=0}^na_kz^k}dz = \integral_0^{2\pi} a_0 * Rie^{it} dt + \integral_0^{2\pi} a_1 * \overline{z_0 + Re^{it}} * Rie^{it} dt + ... [/mm]
Nur wie komm ich hier weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Mi 05.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. [mm] z_0 [/mm] ist doch wohl hier 0
2. warun integrierst du nicht einfach?
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 Mi 05.02.2014 | | Autor: | gpw |
Ah, jetzt bin ich drauf gekommen. Vielen Dank!> Hallo
> 1. [mm]z_0[/mm] ist doch wohl hier 0
> 2. warun integrierst du nicht einfach?
> Gruß leduart
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