Kurve in \IR^{3} < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Kurve im [mm] \IR^{3}, [/mm] die im Ursprung beginnt, sei gegeben durch
f(t) := [mm] \pmat{ at(3-t^{2}) \\ 3at^{2} \\ at(3+t^{2}) }
[/mm]
für eine Konstante a [mm] \in \IR^{+}
[/mm]
a) Berechnen Sie die Ableitung [mm] \bruch{ds}{dt} [/mm] der Weglänge s nach dem Parameter t.
b) Berechnen sie die Länge des Teilstücks der Kurve, das vom Ursprung bis zum Punkt [mm] (2a,3a,4a)^{T} [/mm] verläuft.
c) Betsimmen sie den Krümmungsradius der Kurve in jedem Punkt (in Abhängigkeit des Wegparameters t) |
Zu a ) habe ich als ergebniss : [mm] \bruch{ds}{dt} \wurzel{18}a [/mm] + [mm] \wurzel{18} at^{2}
[/mm]
So ich weiss, dass ihr sowas nicht hören wollt, aber es ist wirklich wirklich wichtig. Ich saß den ganzen Tag an der Aufgabe, die Punkte sind ganz wichtig damit ich die Zulassung bekomme.
Ich habe echt keine Idee zu b und c. Habe mir so einige Definitionen angeschaut, aber komme einfach nicht weiter.
Helft mir bitte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Mi 06.07.2011 | | Autor: | abakus |
> Eine Kurve im [mm]\IR^{3},[/mm] die im Ursprung beginnt, sei gegeben
> durch
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> f(t) := [mm]\pmat{ at(3-t^{2}) \\ 3at^{2} \\ at(3+t^{2}) }[/mm]
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> für eine Konstante a [mm]\in \IR^{+}[/mm]
>
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> a) Berechnen Sie die Ableitung [mm]\bruch{ds}{dt}[/mm] der Weglänge
> s nach dem Parameter t.
>
> b) Berechnen sie die Länge des Teilstücks der Kurve, das
> vom Ursprung bis zum Punkt [mm](2a,3a,4a)^{T}[/mm] verläuft.
>
> c) Betsimmen sie den Krümmungsradius der Kurve in jedem
> Punkt (in Abhängigkeit des Wegparameters t)
> Zu a ) habe ich als ergebniss : [mm]\bruch{ds}{dt} \wurzel{18}a[/mm]
> + [mm]\wurzel{18} at^{2}[/mm]
>
> So ich weiss, dass ihr sowas nicht hören wollt, aber es
> ist wirklich wirklich wichtig. Ich saß den ganzen Tag an
> der Aufgabe, die Punkte sind ganz wichtig damit ich die
> Zulassung bekomme.
>
> Ich habe echt keine Idee zu b und c. Habe mir so einige
> Definitionen angeschaut, aber komme einfach nicht weiter.
>
Hallo,
zu b)
Der Punkt [mm](2a,3a,4a)^{T}[/mm] wird erreicht, wenn t den Wert 1 hat (und für t=0 bist du im Ursprung).
Suche also in deinen Mitschriften nach einer Formel für die Kurvenlänge.
Darin wird sicher irgendein Integral drin vorkommen; deine Integrationsgrenzen sind t=0 und t=1.
Gruß Abakus
> Helft mir bitte
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> Eine Kurve im [mm]\IR^{3},[/mm] die im Ursprung beginnt, sei gegeben
> durch
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> f(t) := [mm]\pmat{ at(3-t^{2}) \\ 3at^{2} \\ at(3+t^{2}) }[/mm]
>
> für eine Konstante a [mm]\in \IR^{+}[/mm]
>
>
> a) Berechnen Sie die Ableitung [mm]\bruch{ds}{dt}[/mm] der Weglänge
> s nach dem Parameter t.
>
> b) Berechnen sie die Länge des Teilstücks der Kurve, das
> vom Ursprung bis zum Punkt [mm](2a,3a,4a)^{T}[/mm] verläuft.
>
> c) Betsimmen sie den Krümmungsradius der Kurve in jedem
> Punkt (in Abhängigkeit des Wegparameters t)
> Zu a ) habe ich als ergebniss :
> [mm]\bruch{ds}{dt} \wurzel{18}a\ +\ \wurzel{18} at^{2}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Vermutlich richtig gemeint, aber das Gleichheitszeichen
vergessen. Zudem würde ich ausklammern:
[mm]\bruch{ds}{dt}\ =\ \wurzel{18}*a*(1+t^2)[/mm]
(und ev. noch die Wurzel zerlegen)
LG Al-Chw.
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Ja stimmt, da musste ein = Zeichen zwischen ....
Hmmm meinst du sowas : s(t) = [mm] \integral_{t}^{a}{f´(r) dr}
[/mm]
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> Ja stimmt, da musste ein = Zeichen zwischen ....
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> Hmmm meinst du sowas : s(t) = [mm]\integral_{t}^{a}{f´(r) dr}[/mm]
soll die Frage an mich gehen oder an abakus ?
Falls du die Bogenlänge meinst: s(t) = [mm]\integral_{0}^{t}\,ds[/mm]
und zu c):
eine geeignete Formel findest du z.B. ![[]](/images/popup.gif) da.
Das Ergebnis vereinfacht sich zu einem sehr handlichen Term !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Mi 06.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du ds/dt richtig hast musst du doch nur ds=ds/dt*dt integrieren um s zu finden.
Krümmungsradius r die Formel für die Krümmung k=1/r steht in deiner Mitschrift (oder in wiki) einfach einsetzen!
Gruss leduart
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