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| Aufgabe | | Wie viele Möglichkeite gibt es, k ununterscheidbare Kugeln auf n unterscheidbare Kästchen zu verteilen, wenn jedes Kästchen beliebig viele Kugeln (einschließlich 0) aufnehmen kann? |
Hallo,
Ich habe mir das so vorgestellt:
Ich färbe die n Kästchen in unterschiedliche Farben. Ich ziehe aus einer Urne wo die Kugeln genau die Farben besizen wie die Kästchen immer die geforderte Anzahl k Kugeln auf einmal heraus. Wobei in der Urne unendlich viele Kugeln von der jeweilige Farbe liegen.
Somit habe ich eine Kombination mit Wiederholung:
[mm] \bruch{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} [/mm] = Anzahl der Möglichkeiten die k Kugeln auf die n Kästchen aufzuteilen.
Aber dadurch das sich die Kugeln in der Farbe UND Größe unterscheiden sind das meiner Meinung nach zu wenig Möglichkeiten.
Wie komme ich auf alle Möglichkeiten?
Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Di 24.02.2009 | | Autor: | glie |
> Wie viele Möglichkeite gibt es, k ununterscheidbare Kugeln
> auf n unterscheidbare Kästchen zu verteilen, wenn jedes
> Kästchen beliebig viele Kugeln (einschließlich 0) aufnehmen
> kann?
> Hallo,
>
> Ich habe mir das so vorgestellt:
> Ich färbe die n Kästchen in unterschiedliche Farben. Ich
> ziehe aus einer Urne wo die Kugeln genau die Farben besizen
> wie die Kästchen immer die geforderte Anzahl k Kugeln auf
> einmal heraus. Wobei in der Urne unendlich viele Kugeln von
> der jeweilige Farbe liegen.
>
> Somit habe ich eine Kombination mit Wiederholung:
> [mm]\bruch{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}[/mm] = Anzahl der Möglichkeiten die
> k Kugeln auf die n Kästchen aufzuteilen.
>
> Aber dadurch das sich die Kugeln in der Farbe UND Größe
> unterscheiden sind das meiner Meinung nach zu wenig
> Möglichkeiten.
>
> Wie komme ich auf alle Möglichkeiten?
>
> Danke im Voraus!
Hallo,
lass es mich an einem einfachen Zahlenbeispiel zeigen, dann kommst du auch leicht auf die allgemeine Lösung.
Nehmen wir 5 Kugeln und 3 Schubladen.
Um eine mögliche Aufteilung darzustellen, benötigen wir 7 Symbole.
Wir nehmen 5 x für die 5 Kugeln und zwei Trennstriche um die 3 Fächer darzustellen.
Eine mögliche Aufteilung sieht also folgendermassen aus:
x|xx|xx
Das bedeutet in der ersten Schublade eine Kugel, in der zweiten und dritten Schublade jeweils 2 Kugeln.
Jetzt müssen wir nur noch überlegen wie viele Möglichkeiten es gibt, diese 7 Symbole anzuordnen, das wären
[mm] \vektor{7 \\ 2}*\vektor{5 \\ 5}
[/mm]
Prinzip verstanden?
Gruß Glie
>
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Hallo,
danke für die schnelle Antwort! Kann es sein, das in deinen Lösungsansatz nur gleiche x berücksichtigt worden sind? In dem Bespiel gibt es verschieden große Kugeln also auch unerschiedliche x.
x|xx|xx
a|bc|de und b|cd|ae ---> sind zwei unterschiedliche Möglichkeiten.
a|bc|de und a|cb|de ---> ist eine Möglichkeit.
Oder bin ich auf den Holzweg?
Danke.
mfg
sunmoonlight
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Di 24.02.2009 | | Autor: | glie |
> Hallo,
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> danke für die schnelle Antwort! Kann es sein, das in deinen
> Lösungsansatz nur gleiche x berücksichtigt worden sind? In
> dem Bespiel gibt es verschieden große Kugeln also auch
> unerschiedliche x.
>
> x|xx|xx
>
> a|bc|de und b|cd|ae ---> sind zwei unterschiedliche
> Möglichkeiten.
> a|bc|de und a|cb|de ---> ist eine Möglichkeit.
>
> Oder bin ich auf den Holzweg?
Also in deiner ursprünglichen Aufgabe hast du k UNunterscheidbare Kugeln geschrieben.
Aber wenn diese k Kugeln auch noch unterscheidbar sind, dann berücksichtigen wir halt noch die Permutationen. Dann erhalten wir für mein Beispiel
[mm] \vektor{7 \\ 2}*\vektor{5 \\ 5}*5!
[/mm]
Gruß Glie
> Danke.
>
> mfg
> sunmoonlight
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