Kugeln auf Urnen < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 So 06.05.2012 | | Autor: | Rated-R |
| Aufgabe | | In einer Urne befinden sich 26 Kugeln, jede von ihnen trägt eine Nummer, 1-26. Nun sollen alle Kugeln auf 4 Urnen mit je 4 Kugeln und 2 Urnen mit je 5 Kugeln aufgeteilt werden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit das drei bestimmte Kugeln in einer der Urnen landen. |
Hi,
ich habs probiert mit der hypergeometrischen Verteilung, allerdings seh ich da keine Chance die Urnengröße mit einzubeziehen.
Meiner Idee nach gibt es 6^26/(4!*2!) Möglichkeiten Gesamt. Aber wie bekomme ich günstigen Möglichkeiten?
Vielen Dank!
Gruß Tom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 So 06.05.2012 | | Autor: | luis52 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Meiner Idee nach gibt es $6^26/(4!*2!)$ Möglichkeiten
> Gesamt.
Kann ich nicht nachvollziehen. Werden $n_$ Dinge auf $k_$ Kaesten
mit Fassungsvermoegen $n_1,\dots,n_k$ verteilt, so gibt es
$\binom{n}{n_1,\dots,n_k}=\frac{n!}{{n_1!\cdots n_k!}$ Moeglichkeiten.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 So 06.05.2012 | | Autor: | Rated-R |
Vielen Dank für deine Antwort!
Also dann [mm] \vektor{26 \\ 4^4*5^2}? [/mm] Ich kenne die Formel leider nicht.
Sind die günstigen Möglichkeiten dann einfach (3 aus [mm] 4)^4*(3 [/mm] aus [mm] 5)^2*4!*2!)?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Mo 07.05.2012 | | Autor: | luis52 |
> Vielen Dank für deine Antwort!
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> Also dann [mm]\vektor{26 \\ 4^4*5^2}?[/mm] Ich kenne die Formel
> leider nicht.
Es ist [mm] $n!=1\cdot2\cdots\cdot [/mm] n$, so dass
[mm] $\binom{26}{4,4,4,4,5,5}=\frac{26!}{4!4!4!4!5!5!}=84413433964860000$
[/mm]
>
> Sind die günstigen Möglichkeiten dann einfach (3 aus
> [mm]4)^4*(3[/mm] aus [mm]5)^2*4!*2!)?[/mm]
Du muesstest deine Ueberlegungen mal deutlicher mitteilen.
Ich vermute aber, dass das falsch ist.
vg Luis
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> In einer Urne befinden sich 26 Kugeln, jede von ihnen
> trägt eine Nummer, 1-26. Nun sollen alle Kugeln auf 4
> Urnen mit je 4 Kugeln und 2 Urnen mit je 5 Kugeln
> aufgeteilt werden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit das
> drei bestimmte Kugeln in einer der Urnen landen.
> Hi,
>
> ich habs probiert mit der hypergeometrischen Verteilung,
> allerdings seh ich da keine Chance die Urnengröße mit
> einzubeziehen.
>
> Meiner Idee nach gibt es 6^26/(4!*2!) Möglichkeiten
> Gesamt. Aber wie bekomme ich günstigen Möglichkeiten?
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß Tom
Hallo Tom,
nach meiner Meinung ist die Aufgabe nicht klar genug
gestellt.
Zwar darf man wohl etwa annehmen, dass man die
Angabe "drei bestimmte Kugeln" ohne weiteres konkreti-
sieren könnte zu "die Kugeln Nr. 1 bis 3".
Aber was soll gemeint sein mit "in einer der Urnen" ?
Welche Urne ist dabei gemeint ?
Oder wäre die Aufgabe so zu präzisieren:
"Mit welcher W'keit landen die Kugeln Nr. 1 bis 3 in
ein und derselben (aber im Übrigen beliebigen) Urne ?
Eigentlich sollte man auch zu der Methode etwas sagen,
nach welcher die Kugeln überhaupt auf die Urnen ver-
teilt werden sollen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:01 Mo 07.05.2012 | | Autor: | Rated-R |
Hi Al-Chw.,
vielen Dank für deine Antwort. Ich denke schon das drei bestimmte Kugeln ausgewählt werden sollen, also um es auf ein anders Beispiel zu übertragen, 26 Personen sollen in 6 Gruppen aufgeteilt werden, und drei Freunde fragen sich wie Groß die W'keit ist das sie in einer Gruppe landen. So zumindest versteh ich das. Zur Methode ist nichts angegeben, außer das es aus der Kombinatorik ist.
gruß tom
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:38 Mo 07.05.2012 | | Autor: | luis52 |
*Ich* rechne immer damit, dass die Kugeln 1,2,3 in einer Urne auftreten ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Mo 07.05.2012 | | Autor: | Rated-R |
Hi, danke für deine Antwort
Ich hab jetzt einfach mal was aufgesetzt.
Wahrscheinlichkeit = [mm] \bruch{guenstige Möglichkeiten}{alle Möglichkeiten}
[/mm]
Alle Möglichkeiten:
Ich hab mir ja mal überlegt das man für die erste Urne 26*25*24*23 Möglichkeiten hat also [mm] \vektor{26\\ 4}
[/mm]
für die folgenden [mm] \vektor{22 \\ 4} ,\vektor{18 \\ 4}, \vektor{14 \\ 4}, \vektor{10 \\ 5}, \vektor{5 \\ 5}
[/mm]
da komme auch auf ungefähr 8,4*10^16 Möglichkeiten
Die günstigen Möglichkeiten würde ich jetzt über die hypergeometrische Verteilung ausrechnen, für die jeweiligen Gruppen,, ich frag mich aber ob das alle sind
[mm] \bruch{\vektor{3\\ 3}*\vektor{23 \\ 1}}{\vektor{26\\ 4}} [/mm] + [mm] \bruch{\vektor{3\\ 3}*\vektor{19 \\ 1}}{\vektor{22\\ 4}}usw.
[/mm]
Für Tipps wäre ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Mo 07.05.2012 | | Autor: | luis52 |
> Hi, danke für deine Antwort
>
> Ich hab jetzt einfach mal was aufgesetzt.
Was'n das?
>
> Wahrscheinlichkeit = [mm]\bruch{guenstige Möglichkeiten}{alle Möglichkeiten}[/mm]
>
> Alle Möglichkeiten:
>
> Ich hab mir ja mal überlegt das man für die erste Urne
> 26*25*24*23 Möglichkeiten hat also [mm]\vektor{26\\ 4}[/mm]
>
> für die folgenden [mm]\vektor{22 \\ 4} ,\vektor{18 \\ 4}, \vektor{14 \\ 4}, \vektor{10 \\ 5}, \vektor{5 \\ 5}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Keine Kommas:
[mm]\vektor{22 \\ 4} \vektor{18 \\ 4} \vektor{14 \\ 4} \vektor{10 \\ 5} \vektor{5 \\ 5}[/mm]
>
> da komme auch auf ungefähr 8,4*10^16 Möglichkeiten
Prima.
>
> Die günstigen Möglichkeiten würde ich jetzt über die
> hypergeometrische Verteilung ausrechnen,
Da bist du vollkommen auf dem Holzweg.
Fang mal am Anfang an: Wieviele Moeglichkeiten gibt es, wo
die Kugeln 1,2,3 im *ersten* Kasten liegen?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mo 07.05.2012 | | Autor: | Rated-R |
hi,
es hängt von der Größe des Kastens ab, wenn die größe =4 ist dann würd ich sagen 4!*23 da die Reihenfolge keine Rolle spielt, und bei der größe 5, 5!*23*22
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Di 08.05.2012 | | Autor: | luis52 |
> hi,
>
> es hängt von der Größe des Kastens ab,
Stimmt.
> wenn die größe
> =4 ist dann würd ich sagen 4!*23 da die Reihenfolge keine
> Rolle spielt, und bei der größe 5, 5!*23*22
Auch hier verstehe ich deine Argumentation nicht.
Wenn die Kugeln 1,2,3 im ersten Kasten mit einem Fassungsvermoegen von 4 Kugeln liegen, so bleibt dort noch ein Platz und 5 weitere Kaesten fuer 4,4,4,5,5 Kugeln. Die restlichen Kugeln koennen somit auf [mm] \binom{23}{1,4,4,4,5,5} [/mm] Weisen verteilt werden.
Es gibt 4 Kaesten mit einem Fassungsvermoegen von 4 und 2 Kaesten mit einem Fassungsvermogen von 5 Kugeln. Somit gibt es [mm] $4\binom{23}{1,4,4,4,5,5} +2\binom{23}{4,4,4,4,3,5} [/mm] =1168801393359600$ Faelle, wo die Kugeln 1,2,3 in einem Kasten liegen. Die gesuchte Wahrscheniichkeit ist $9/650=0.0138462$.
vg Luis
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> In einer Urne befinden sich 26 Kugeln, jede von ihnen
> trägt eine Nummer, 1-26. Nun sollen alle Kugeln auf 4
> Urnen mit je 4 Kugeln und 2 Urnen mit je 5 Kugeln
> aufgeteilt werden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit das
> drei bestimmte Kugeln in einer der Urnen landen.
> Hi,
>
> ich habs probiert mit der hypergeometrischen Verteilung,
> allerdings seh ich da keine Chance die Urnengröße mit
> einzubeziehen.
>
> Meiner Idee nach gibt es 6^26/(4!*2!) Möglichkeiten
> Gesamt. Aber wie bekomme ich günstigen Möglichkeiten?
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß Tom
Hallo Tom,
wenn man direkt mit Wahrscheinlichkeiten umgeht, geht
es ohne die Riesenzahlen wie bei der kombinatorischen
Lösung.
Die Kugel Nr. 1 kommt mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit
[mm] p_4 [/mm] in eine Vierer- und mit [mm] p_5 [/mm] in eine Fünferkiste zu liegen.
Ist der erste Fall eingetreten, so kommt die Kugel Nr. 2 mit
W'keit 3/25 in dieselbe Kiste und dann die Kugel Nr. 3 auch
noch mit W'keit 2/24. Analoge Überlegung für den anderen
Fall.
Dann kommt man insgesamt auf:
P(alle 3 in derselben Kiste) = [mm] p_4*3/25*2/24+p_5*4/25*3/24
[/mm]
Dies führt auf das Schlussergebnis 9/650 .
LG Al-Chw.
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