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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:18 Do 18.06.2009 | | Autor: | flo0 |
| Aufgabe | Ermittle eine Gleichung der Kugel, die durch die Punkte A und B geht und ihren Mittelpunkt auf der Geraden g hat!
A = [mm] \vektor{-4 \\ 3 \\ 4} [/mm] B = [mm] \vektor{4 \\ 5 \\ -2}
[/mm]
g= [mm] \vektor{8 \\ 2 \\ -9} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 4}
[/mm]
Hinweis: Der Mittelpunkt der Kugel liegt in der Ebene, die durch den MIttelpunkt der STrecke [A, B] geht und zu dieser Strecke normal ist.
Lösungen:
[mm] (x-2)^2 [/mm] + [mm] (y-2)^2 [/mm] + [mm] (z-3)^2 [/mm] = 38 |
Ich hab überhaupt keine ahnung wie ich anfangen soll =(
kann mir da wer bitte helfen?
lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ermittle eine Gleichung der Kugel, die durch die Punkte A
> und B geht und ihren Mittelpunkt auf der Geraden g hat!
>
> A = [mm]\vektor{-4 \\ 3 \\ 4}[/mm] B = [mm]\vektor{4 \\ 5 \\ -2}[/mm]
>
> g= [mm]\vektor{8 \\ 2 \\ -9}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{-2 \\ 0 \\ 4}[/mm]
>
> Hinweis: Der Mittelpunkt der Kugel liegt in der Ebene, die
> durch den MIttelpunkt der STrecke [A, B] geht und zu dieser
> Strecke normal ist.
>
> Lösungen:
>
> [mm](x-2)^2[/mm] + [mm](y-2)^2[/mm] + [mm](z-3)^2[/mm] = 38
> Ich hab überhaupt keine ahnung wie ich anfangen soll =(
>
> kann mir da wer bitte helfen?
Hallo,
ja: Du Dir selbst, wenn Du die Hinweise gründlich liest.
> Hinweis: Der Mittelpunkt der Kugel liegt in der Ebene, die
> durch den MIttelpunkt der STrecke [A, B] geht und zu dieser
> Strecke normal ist.
Übersetzt: Mittelpunkt von [AB] bestimmen.
Ebene aufstellen, die durch diesen Punkt geht und [mm] \overreichtarrow{AB} [/mm] als Normalenvektor hat.
In dieser Ebene liegt der Kugelmittelpunkt.
Und gleichzeitig soll er noch auf der vorgegebenen Geraden liegen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:45 Do 18.06.2009 | | Autor: | flo0 |
wenn ich jetzt den Vektor AB habe
AB = [mm] \vektor{8 \\ 2 \\ -6} [/mm] muss ich dann davon einen normal vektor bilden oder ist das bereits der normalvektor für die ebene?
wenn ja sieht die ebene so aus?
A+B / 2 = [mm] \vektor{0 \\ 8 \\ -2} [/mm] / 2 = [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ -1}
[/mm]
ich setz dann ein
8*0+2*4 - 6*-1 = 14
8x+2y-6z= 14
oder muss ich erst einen normalvektor bilden vom Richtungsvektor ab?
wenn dies der fall wäre müsste [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 2} [/mm] ein normalvektor vom richtungsvektor AB sein weil es 0 ergibt im skalaren produkt....?!
lg
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> wenn ich jetzt den Vektor AB habe
>
> AB = [mm]\vektor{8 \\ 2 \\ -6}[/mm] muss ich dann davon einen normal
> vektor bilden oder ist das bereits der normalvektor für die
> ebene?
Hallo,
das ist der Normalenvektor der gesuchten Ebene. Die Ebene geht in der Mitte zwischen A und B durch, und zwar so, daß sie senkrecht zur verbindung der Punkt ist.
Mit den Bastelmaterial Schaschlikspieß [mm] (\overrightarrow{AB}), [/mm] zwei frabigen Perlen (A und B) und einem Blatt Papier (Ebene) kann man sich das ganz gut klarmachen.
>
> wenn ja sieht die ebene so aus?
>
> A+B / 2 = [mm]\vektor{0 \\ 8 \\ -2}[/mm] / 2 = [mm]\vektor{0 \\ 4 \\ -1}[/mm]
>
> ich setz dann ein
>
> 8*0+2*4 - 6*-1 = 14
>
> 8x+2y-6z= 14
Ja.
>
> oder muss ich erst einen normalvektor bilden vom
> Richtungsvektor ab?
Nein.
Das wäre auch gar nicht so leicht: es gäbe unendlich viele Vektoren zur Auswahl...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Do 18.06.2009 | | Autor: | flo0 |
jetzt wo ich die Ebene aufgestellt habe:
8x+2y-6z=14
muss ich ja nur mehr die gerade G mit der Ebene schneiden oder?
[mm] \vektor{8 \\ 2 \\ -9} [/mm] + t * [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 4}
[/mm]
x = 8-2t
y = 2
z = -9+4t
einsetzen in die ebene
8*(8-2t) +2*(2) -6*(-9+4t) =14
64 -16t + 4 + 54 -24t = 14
122 -40t = 14
108 = 40t
t = 2.7
kann schon nicht stimmen wenn ich oben auf die Lösungen schau, wo für den Mittelpunkt [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 3} [/mm] rauskommen soll... =/
wo hab ich da den fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Do 18.06.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Flo0,
wenn ich es richtig sehe, hast Du Dich bei der Berechnung des Mittelpunktes der Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] vertan. Die dritte Koordinate muss 1, nicht -1 sein. Das hat auch Auswirkungen auf die Ebenengleichung
Gruß
Sigrid
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> wenn ich es richtig sehe, hast Du Dich bei der Berechnung
> des Mittelpunktes der Strecke [mm]\overline{AB}[/mm] vertan. Die
> dritte Koordinate muss 1, nicht -1 sein.
Hallo,
nein, er arbeitet mit den Punkten
> A = $ [mm] \vektor{-4 \\ 3 \\ 4} [/mm] $ B = $ [mm] \vektor{4 \\ 5 \\ -2} [/mm] $.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:48 Do 18.06.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Angela,
>
> > wenn ich es richtig sehe, hast Du Dich bei der Berechnung
> > des Mittelpunktes der Strecke [mm]\overline{AB}[/mm] vertan. Die
> > dritte Koordinate muss 1, nicht -1 sein.
>
> Hallo,
>
> nein, er arbeitet mit den Punkten
>
> > A = [mm]\vektor{-4 \\ 3 \\ 4}[/mm] B = [mm]\vektor{4 \\ 5 \\ -2} [/mm].
Eben. Und wenn ich richtig rechne, ist $ (4+(-2)):2 = 1 $
Gruß
Sigrid
>
> Gruß v. Angela
>
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> > wenn ich es richtig sehe, hast Du Dich bei der Berechnung
> > des Mittelpunktes der Strecke [mm]\overline{AB}[/mm] vertan. Die
> > dritte Koordinate muss 1, nicht -1 sein.
>
> Hallo,
>
> nein, er arbeitet mit den Punkten
>
> > A = [mm]\vektor{-4 \\ 3 \\ 4}[/mm] B = [mm]\vektor{4 \\ 5 \\ -2} [/mm].
>
> Gruß v. Angela
Na eben. Dritte Koordinate:
das arithmetische Mittel aus 4 und -2 ist ...... ? 
Gruß Al
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> das arithmetische Mittel aus 4 und -2 ist ...... ?
>
Ich sag's Dir später vielleicht. Ich rechne noch...
Ich muß ja in [mm] x_\mathrm{harm}=\frac{x_\mathrm{geom}^2}{x_\mathrm{arithm}} [/mm] nach [mm] x_\mathrm{arithm} [/mm] auflösen, und mein Taschenrechner macht im Moment Fisimatenten, weil er die Wurzel aus -8 ziehen soll für [mm] x_\mathrm{geom}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> > das arithmetische Mittel aus 4 und -2 ist ...... ?
> >
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> Ich sag's Dir später vielleicht. Ich rechne noch...
>
> Ich muß ja in
> [mm]x_\mathrm{harm}=\frac{x_\mathrm{geom}^2}{x_\mathrm{arithm}}[/mm]
> nach [mm]x_\mathrm{arithm}[/mm] auflösen, und mein Taschenrechner
> macht im Moment Fisimatenten, weil er die Wurzel aus -8
> ziehen soll für [mm]x_\mathrm{geom}.[/mm]
>
> Gruß v. Angela
>
>
alles klar ... warum muss einem immer wieder die
Technik einen Strich durch die Rechnung machen ...
Al
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Do 18.06.2009 | | Autor: | weduwe |
> Ermittle eine Gleichung der Kugel, die durch die Punkte A
> und B geht und ihren Mittelpunkt auf der Geraden g hat!
>
> A = [mm]\vektor{-4 \\ 3 \\ 4}[/mm] B = [mm]\vektor{4 \\ 5 \\ -2}[/mm]
>
> g= [mm]\vektor{8 \\ 2 \\ -9}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{-2 \\ 0 \\ 4}[/mm]
>
> Hinweis: Der Mittelpunkt der Kugel liegt in der Ebene, die
> durch den MIttelpunkt der STrecke [A, B] geht und zu dieser
> Strecke normal ist.
>
> Lösungen:
>
> [mm](x-2)^2[/mm] + [mm](y-2)^2[/mm] + [mm](z-3)^2[/mm] = 38
> Ich hab überhaupt keine ahnung wie ich anfangen soll =(
>
> kann mir da wer bitte helfen?
>
> lg
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
diesen hinweis halte ich eher für hinderlich 
viel einfacher geht es doch so:
(ich habe den richtungsvektor von g durch 2 dividiert)
[mm] (\vektor{8\\2\\-9}+\lambda\cdot\vektor{-1\\0\\2}-\vektor{-4\\3\\4})^2=(\vektor{4\\-3\\-7}+\lambda\cdot\vektor{-1\\0\\2})^2\to\lambda=6
[/mm]
und damit [mm]M(2/2/3)[/mm]
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> > Ermittle eine Gleichung der Kugel, die durch die Punkte A
> > und B geht und ihren Mittelpunkt auf der Geraden g hat!
> >
> > A = [mm]\vektor{-4 \\ 3 \\ 4}[/mm] B = [mm]\vektor{4 \\ 5 \\ -2}[/mm]
> >
> > g= [mm]\vektor{8 \\ 2 \\ -9}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{-2 \\ 0 \\ 4}[/mm]
>
> >
> > Hinweis: Der Mittelpunkt der Kugel liegt in der Ebene, die
> > durch den MIttelpunkt der STrecke [A, B] geht und zu dieser
> > Strecke normal ist.
> diesen hinweis halte ich eher für hinderlich ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
>
> viel einfacher geht es doch so:
>
> (ich habe den richtungsvektor von g durch 2 dividiert)
>
> [mm](\vektor{8\\2\\-9}+\lambda\cdot\vektor{-1\\0\\2}-\vektor{-4\\3\\4})^2=(\vektor{4\\-3\\-7}+\lambda\cdot\vektor{-1\\0\\2})^2\to\lambda=6[/mm]
>
> und damit [mm]M(2/2/3)[/mm]
Und ich wage zu bezweifeln, ob dies für die praktische
Durchführung "viel einfacher" ist ...
Bei Geometrieaufgaben ziehe ich Lösungswege mit
geometrisch motivierten Lösungsschritten solchen
vor, wo die ganze Geometrie durch unmittelbares
Verpacken in eine (eher komplexe) Gleichung so-
fort eliminiert wird.
LG Al-Chwarizmi
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> und ich wage auf meinem standpunkt zu beharren.
> dieser ist ja auch ganz einfach geometrisch motiviert,
> |MA|= |MB| wie es sich für eine "kugelaufgabe" gehört.
>
> warum soll denn da eine "mittelebene" klarer sein, mit er
> ich dann die gerade schneiden muß ?
Ein Stück weit ist das sicher Geschmackssache.
Einfacher für die Rechnung ist aber eindeutig
der Weg, bei dem man sich nicht mit quadrati-
schen Termen herumschlagen muss. Ich habe
deinen Weg durchgerechnet - und dabei zuerst
einen Fehler gemacht, weil ich in der aus 14
Summanden bestehenden Gleichung einen
übersehen habe und deshalb zu einer echt
quadratischen Gleichung gekommen bin ...
Gruß Al-Ch.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Do 18.06.2009 | | Autor: | weduwe |
klar ist es geschmackssache.
aber wenn man genau hinschaut, ist es ja (auch) keine quadratische gleichung, denn die terme mit [mm] \lambda^2 [/mm] sind auf beiden seiten identisch und fallen damit weg.
tut mir leid, wenn du dich verrechnet hast,
ich hatte halt sofort - ohne quadratisches zeug
[mm]144+1+169-24\lambda-52\lambda=16+9+49-8\lambda-28\lambda[/mm]
240 = [mm] 40\lambda [/mm]
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