Kugel approximieren < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Di 19.08.2008 | | Autor: | q-bert |
| Aufgabe | keine Aufgabe!!!
(ich hoffe ich bin im Forenbaum richtig abgebogen) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Problem: Ich will einen Versuch auswerten, der mit einem optischen 3D Messsystem aufgenommen wurde. Jetzt will aus ca. 1500 Punkten (jeweils x,y,z-Koordinaten), die ein Ausschnitt aus einer Kugeloberfläche sind (natürlich nicht genau, es sind ja Messwerte) eine "Best.Fitt"-Kugel bestimmen, damit ich den RADIUS der Kugel bekomme. Den Radius benötige ich damit ich weiter Rechnen kann...
Die Werte sind auch eher glockenförmig, aber ich brauch den Radius! D.h. in der Mitte ist der "Radius" eher kleiner und im Randbereich eher größer...
Meine Frage: Gibt es eine "Formel", mit der ich das Problem lösen kann?
nach dem Motto [mm] \summe_{i=1}^{n} f(x_{i}, y_{i}, z_{i}) [/mm] = radius
Bitte steinigt mich nicht, ich will das auch noch mit einem Excel-VB-Makro verwusten...
Eigene Vorarbeit: Man kann davon ausgehen, dass der höchste z-Wert die Mitte der x-y-Ebene bildet. Deswegen habe ich die Messwerte so korrigiert, dass der höchste z-Wert im Koordinatenursprung der x-y-Ebene liegt. Dann will ich die z-Werte so "verschieben", dass ich aus jedem Messpunkt den Abstand zum Koordinatenursprung berechne und aus diesen Abständen einen Mittelwert bilde.
Diese z-Verschiebung kann ich leider nicht bestmöglich machen. Habe bis her gesagt: Verschiebe z-Werte so, dass ein äußerer Ring (Abstand gemittlet) genauso weit vom Koorodinatenurprung weg ist, wie ein innerer Ring der Messwerte (Abstand auch gemittelt).
Das Funktioniert auch, aber es ergibt sich jeweils ein anderer Kugelradius, je nach dem welchen Bereich ich für den "inneren" und "äußeren" Ring wähle.
Ich hoffe ich konnte das gut genug beschreiben...
Gruß und Danke im Voraus!
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Hallo q-bert !
Habe ich die Aufgabe richtig verstanden, wenn ich sie mit
folgenden Worten umschreibe:
Gegeben sind n Punkte [mm] P_i(x_i/y_i/ z_i) \in \IR^3.
[/mm]
Gesucht ist eine Kugel (Radius r, Mittelpunkt M(u,v,w)),
welche die Schar der n Punkte "bestmöglich" approximiert
in dem Sinne, dass die radialen Abweichungen der Punkte
[mm] P_i [/mm] von der Kugelfläche im Sinne der Gaußschen "kleinsten
Quadrate" minimiert werden sollen.
Dann hätte man ein klar gestelltes Problem mit 4 Unbekannten:
den 3 Koordinaten u,v,w des Kugelmittelpunktes und dem
Kugelradius r.
Vorgehen zur Lösung:
1.) [mm] P_i [/mm] hat vom Kugelmittelpunkt den Abstand [mm] r_i=\wurzel{(x_i-u)^2+(y_i-v)^2+(z_i-w)^2}
[/mm]
2.) [mm] P_i [/mm] hat von der Kugeloberfläche den Abstand [mm] d_i=|r_i-r|
[/mm]
3.) Jetzt betrachtet man die Summe
[mm] S(u,v,w,r)=\summe_{i=1}^n{d_i^2}
[/mm]
4.) Um die 4 gesuchten Grössen u,v,w und r zu ermitteln,
setzt man alle 4 partiellen Ableitungen der Funktion S(u,v,w,r)
gleich Null:
[m]\ \bruch{\partial S}{\partial u}=0 \quad \wedge \quad \bruch{\partial S}{\partial v}=0 \quad \wedge \quad \bruch{\partial S}{\partial w}=0 \quad \wedge \quad \bruch{\partial S}{\partial r}=0 [/m]
Wie schwierig bzw. aufwendig die Auflösung des Gleichungssystems
sein wird, habe ich mir noch nicht im Einzelnen überlegt.
Möglicherweise müsste man aber mit einer Art schrittweiser
Approximation arbeiten.
LG al-Chw.
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:31 Mi 20.08.2008 | | Autor: | q-bert |
also habe mal losgelegt:
demnach wäre bei mir
[mm] \bruch{\partial S}{ \partial u} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} 2u-2x_{i}+ \bruch {2u-2x_{i}} {\wurzel{(x_{i}-u)^{2}+(y_{i}-v)^{2}+(z_{i}-w)^{2}}}r=0
[/mm]
die 2 kürzen
[mm] \bruch{\partial S}{ \partial u} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} u-x_{i}+ \bruch {u-x_{i}} {\wurzel{(x_{i}-u)^{2}+(y_{i}-v)^{2}+(z_{i}-w)^{2}}}r=0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial S}{ \partial v} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} v-y_{i}+ \bruch {v-y_{i}} {\wurzel{(x_{i}-u)^{2}+(y_{i}-v)^{2}+(z_{i}-w)^{2}}}r=0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial S}{ \partial w} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} w-z_{i}+ \bruch {w-z_{i}} {\wurzel{(x_{i}-u)^{2}+(y_{i}-v)^{2}+(z_{i}-w)^{2}}}r=0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial S}{ \partial r} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \wurzel{(x_{i}-u)^{2}+(y_{i}-v)^{2}+(z_{i}-w)^{2}}-r=0
[/mm]
und wie mach ich jetzt weiter???
die Summen nerven mich!!!
wie kann man meine Umbekannten "ausklammern" aus der Summe?
oder bin ich total auf dem Holzweg?
Gruß
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Ja, genau so weit bin ich auch gekommen.
Da die Gleichungen nicht linear sind, kommen viele
der üblichen Lösungsverfahren vorneweg nicht in Frage,
und es scheint doch ein härterer Brocken zu sein, als
ich zuerst erwartet hatte.
Einen Weg für eine geschlossene Lösung sehe ich nicht,
und in numerischen Methoden für derartige Systeme kenne
ich mich auch nicht besonders aus ...
Vielleicht weiss jemand anders weiter ?
LG
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Könnte man das Problem nicht in 2 einfachere Teilprobleme zerlegen: 1) Den Mittelpunkt der passenden Kugel suchen und 2) den richtigen Radius bestimmen?
Zu 1): Da würde ich einfach den Mittelwert über alle Messpunkte nehmen. Das dürfte ein Max.-Likelihood-Schätzer sein, wenn ich mich nicht irre.
Zu 2): Jetzt kann man so vorgehen, wie in dem zuvor beschriebenen Ansatz, mit dem Vorteil, dass man nur noch eine Variable - nämlich r - hat und die unschönen Wurzeln nicht mehr zum Tragen kommen.
Edit:
1) funktioniert natürlich nur, wenn es sich um eine ganze Kugel handelt. Wenn ich mir das Bild am Ende betrachte, ist der Fall hier komplizierter. Hat man wenigstens eine Idee, mit welchem Kugelsegment man es zu tun hat? Eine Halbkugel ließe sich ja vielleicht noch verarzten...
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> Könnte man das Problem nicht in 2 einfachere Teilprobleme
> zerlegen: 1) Den Mittelpunkt der passenden Kugel suchen und
> 2) den richtigen Radius bestimmen?
>
> Zu 1): Da würde ich einfach den Mittelwert über alle
> Messpunkte nehmen. Das dürfte ein Max.-Likelihood-Schätzer
> sein, wenn ich mich nicht irre.
>
> Zu 2): Jetzt kann man so vorgehen, wie in dem zuvor
> beschriebenen Ansatz, mit dem Vorteil, dass man nur noch
> eine Variable - nämlich r - hat und die unschönen Wurzeln
> nicht mehr zum Tragen kommen.
hallo generation...x !
Möglicherweise hast du die Aufgabenstellung nicht wirklich
mitbekommen. Bei den Messpunkten handelt es sich nur
um Punkte aus einer relativ kleinen Region der Kugelober-
fläche.
Deine Idee mit der Mittelbildung würde nur dann Sinn machen,
wenn die Messpunkte gleichmässig (oder wenigstens fast
gleichmässig) über die ganze Kugeloberfläche verteilt wären.
Al-Chwarizmi
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Ja, ich hab das Bild zu spät gesehen. Hab meinen Beitrag dann noch bearbeitet.
Den Mittelwert sollte man aber immer noch verwenden können, um den Wert des Mittelpunkts in der x-y-Ebene zu bestimmen, oder? Dann wäre man schon auf 2 Variablen statt 4. Und bei 1500 Messpunkten wäre der Wert vermutlich genau genug (auch wenn ich das jetzt nicht durchgerechnet habe).
Eventuell könnte man auch einen Schätzer für den Winkel des Kreissegments finden, aber das müsste ich mir nochmal überlegen. Aber nicht mehr heute Nacht...
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beachte auch meine Beiträge
"neuer Ansatz" und "praktische Erwägungen" !
LG
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> die Summen nerven mich!!!
> wie kann man meine Unbekannten "ausklammern" aus der Summe?
hallo q-bert !
Ich habe mir die Sache nochmal angeschaut und kann
dir einen anderen Vorschlag machen, bei dem das Aus-
klammern möglich ist, weil man auf ein lineares Gleichungs-
system kommt !
Wie du schon angedeutet hast, kann man davon ausgehen,
dass der "Bulge" nicht unbedingt exakt kugelförmig ist.
So habe ich mir gesagt, dann genügt vielleicht auch eine
polynomiale Approximation der Kurve. Betrachtet man
z.B. den Halbkreis [mm] x^2+y^2=1\qquad (y\ge [/mm] 0) bzw.
[mm] y=\wurzel{1-x^2}
[/mm]
dann approximiert z.B. das Taylorpolynom 4.Ordnung
[mm] T_4(x)=1-\bruch{x^2}{2}-\bruch{x^4}{8}
[/mm]
den Halbkreis in dem Bereich, der (der Grafik entsprechend,
die du angegeben hast) für die Bulges wohl wesentlich ist,
schon sehr gut. Für sehr flache Bulges wäre auch eine
Approximation 2.Ordnung (Parabel) denkbar, für sehr
ausgeprägte Buckel könnte man ev. [mm] T_6, T_8 [/mm] nehmen
(Glieder ungerader Ordnung braucht man wegen der
Symmetrie nicht !).
Meine Idee wäre nun, eine Funktion (z.B.) 4.Ordnung
zu suchen, welche die Daten bestmöglich (wieder nach
Gauss) approximiert.
Ansatz: [mm] z=a+b*r^2+c*r^4 [/mm] mit [mm] r=\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
Zu den Daten [mm] (x_i,y_i,z_i) [/mm] wird zuerst [mm] r_i=\wurzel{x_i^2+y_i^2} [/mm] berechnet.
Die zu minimierende Quadratsumme wäre nun:
[mm] Q=\summe_{i=1}^{n}{(\Delta{z}_i)^2}=\summe_{i=1}^{n}{(a+b*r_i^2+c*r_i^4-z_i)^2}
[/mm]
Setzt man nun die partiellen Ableitungen von Q (nach den
drei Variablen a,b und c) gleich null, so entsteht ein lineares
Gleichungssystem für diese Unbekannten.
Der Krümmungsradius R (im obersten Punkt des Bulge) ist
dann ganz einfach zu berechnen:
[m]\ R= \bruch{\big{1}}{\big{2*|b|}}[/m]
Löst vielleicht dieser Ansatz dein Problem ?
LG  al-Chwarizmi
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Ich habe deinen ersten Text nochmals gelesen.
Die Sache mit den "Ringen" verstehe ich nicht ganz.
Es scheint aber, dass du deine Daten so vorbereitet
hast (oder vorbereiten willst), dass du annehmen
kannst, der Kugelmittelpunkt liege (wenigstens
ungefähr) auf der z-Achse. Dies würde bedeuten,
dass du u=v=0 annimmst. Von den 4 Unbekannten
u,v,w,r (in meiner ersten Antwort) kämen wir dann
auf zwei herunter (nur noch w und r).
Falls du auch noch einen Weg findest, für die
z-Koordinaten jener Punkte, die sehr nahe bei
der z-Achse liegen, einen praktikablen Näherungs-
wert [mm] z_0 [/mm] zu ermitteln, dann könnte man auf ein
Problem mit der einzigen Variablen r kommen,
denn es wäre dann [mm] w=z_0-r.
[/mm]
(Ich stelle mir vor, dass deine Datenpunkte eine
Art Hügel beschreiben, der ungefähr die Form
einer Kugelhaube hat und dass du am Schluss
eine Funktion der Form [mm] z=w+\wurzel{r^2-x^2-y^2}
[/mm]
haben möchtest)
In deinem Text irritieren mich noch die Sätze:
> Die Werte sind auch eher glockenförmig, aber ich brauch
> den Radius! D.h. in der Mitte ist der "Radius" eher kleiner
> und im Randbereich eher größer...
Soll es nun eine Kugel sein oder kann es auch eine
andere Fläche sein ? Dann gäbe es keinen bestimmten
"Radius", aber vielleicht eine Formel, die besser zu
deinem Datenmaterial passt.
Wenn die Messdaten aus der Vermessung
eines Ausschnitts eines tatsächlich kugelförmigen
Objekts stammen, dann ist die Kugelfläche natürlich
das richtige Modell.
Vielleicht erzählst du uns ja noch einiges darüber,
aus welchem realen Zusammenhang du die Aufgabe
genommen hast.
LG
N.B. : ich bin ziemlich sicher, dass die Frage unter dem Thema
"Topologie" nicht ganz richtig angesiedelt ist. Besser (aber
vielleicht auch nicht optimal) wäre wohl:
"Hochschule > Numerik > Interpolation und Approximation"
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:58 Mi 20.08.2008 | | Autor: | q-bert |
Erstmal vielen Dank für Deine schnelle Antwort!
Das mit den Ringen kann ich so erklären:
also ich bin den weg gegangen, wie Du ihn als 2tes beschrieben hast.
habe meine Punkte so verschoben, dass der Mittelpunkt von meinem Kreis direkt auf der z-Achse liegt u=v=0.
Dann habe ich genau das gemacht, was Du meintest mit auf eine Variable reduzieren. Dazu brauch ich beliebige 2 Punkte i,j aus der Menge und mit der Gleichung:
[mm] \wurzel{x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+(z_{i}+\Delta z)^{2}}=\wurzel{x_{j}^{2}+y_{j}^{2}+(z_{j}+\Delta z)^{2}}
[/mm]
Das kann man nach [mm] \Delta [/mm] z auflösen und schon hat man den Wert um wieviel man alle Werte in z-Richtung verschieben muss, damit gilt u=v=w=0
Danach rechne ich alle [mm] r_{i}=\wurzel{x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2}} [/mm] und bilde den Mittelwert.
Weil 2 einzelne Punkte i,j durch die Messwerte zu große Schwankungen haben, habe ich jeweils mehrere Punkte (Ringförmige Bereiche um die z-Achse) zu einem Abstand zur z-Achse und zugehörige Z-Werte gemittelt. Das gleiche hatte ich mit einem weiteren (ringförmigen Bereich um die z-Achse gemacht) und so hatte ich dann:
Mittelwert: [mm] \wurzel{x^{2}+y^{2}}_{Ringbereich1}
[/mm]
Mittelwert: [mm] z-Werte_{Ringbereich1}
[/mm]
Mittelwert: [mm] \wurzel{x^{2}+y^{2}}_{Ringbereich2}
[/mm]
Mittelwert: [mm] z-Werte_{Ringbereich2}
[/mm]
damit habe ich meine 2 "Punkte" und kann [mm] \Delta [/mm] z bestimmen...
Mein Problem ist, dass je nach dem welchen Bereich ich für die "Ringe" nehme auf unterschiedliche KugelRadien komme (es ist eben keine Ideale Kugel)
Aber wie du es schon in Deiner ersten Antwort beschreiben hast, werde ich das mit der Methode der kleinsten Quadrate machen! Wahrscheinlich brauche ich dazu aber auch Deine Hilfe!
> In deinem Text irritieren mich noch die Sätze:
>
>> Die Werte sind auch eher glockenförmig, aber ich brauch
>> den Radius! D.h. in der Mitte ist der "Radius" eher kleiner
>> und im Randbereich eher größer...
> ...
> Vielleicht erzählst du uns ja noch einiges darüber,
> aus welchem realen Zusammenhang du die Aufgabe
> genommen hast.
Ich bin Dipl.-Ing. und habe mit der Auswertung von diesem Versuch (Bulge-Test) zu tun.
[Dateianhang nicht öffentlich]
dieser Versuch wird mit dem optischen Dehnugngsmesssystem ARAMIS (GOM) aufgenommen. Für die Auswertung werden Punkte im einen Radius von z.B. 15mm um den Probenpol verwendet.
Nun benötige ich die Krümmung der Probe und den Druck damit ich nach der Membrantheorie die Fliessspannung im Blechwerkstoff berechnen kann.
Jetzt versuche ich erstmal selber in meinem Optimierungsproblem (Deine erste Antwort) eine Lösung zu finden und wenn ich fragen habe, dann melde ich mich noch mal.
Gruß und nochmal Danke für die schnelle Antwort
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Wenn ich die Anlage des Experiments richtig verstanden
habe, ist die Rotationssymmetrie (und damit das Zentrum
mit u=v=0) durch die Versuchsbedingungen vorgegeben.
Das heisst, es sollte von Anfang an überflüssig sein, das
Zentrum aus den allenfalls fehlerbehafteten Daten der
Messungen zu rekonstruieren. Es müsste durch die absolute
Positionierung der Messgeräte (oder z.B. durch eine spezielle
Markierung des Bulge-Zentrums) eigentlich von vornherein
feststehen.
Das Zentrum einfach dahin zu legen, wo der absolut grösste
Messwert [mm] z_i [/mm] auftritt, ist wohl keine sehr gute Idee, da die
[mm] z_i [/mm] (wenn ich das richtig verstanden habe) auch Messfehlern
unterliegen und die Kugel in der Umgebung des höchsten
Punktes praktisch flach ist. Der grösste [mm] z_i [/mm] - Wert könnte
also wegen zufälligen Schwankungen deutlich entfernt vom
wahren Zentrum auftreten.
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