Kubische Gleichung umformen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ich soll eine Gleichung umformen. t=h/6(3+4*h²/D²). Die Funktion soll nun von t und D abhängen und nicht von h und D. Kann mir jemand helfen? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bekomme das mit den kubischen Gleichungen nicht hin.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 So 22.05.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wo ist die gegebene Gleichung denn kubisch? Und nach welcherf Variable willst du diese auflösen?
Und Ein paar Klammern wären auch ganz hilfreich, meinst du
[mm] t=\frac{h}{6\left(3+4*\frac{h^{2}}{D^{2}}\right)}
[/mm]
Oder doch:
[mm] t=\frac{h}{6}\cdot\left(3+4\frac{h^{2}}{D^{2}}\right)
[/mm]
Das wäre:
[mm] t=\frac{h}{2}\cdot+\frac{2h^{3}}{3D^{2}}
[/mm]
Und das kannst du analytisch nicht nach h umformen.
Marius
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Sorry für die falsche Darstellung. Die letzte Gleichung, die Du dargestellt hast, ist die Form, ja richtig.
Hab ich da überhaupt keine Chance. Irgendwie muss das gehen, weil in der Aufgabe klar gestellt wurde, dass ich h als funktion von D und t berechnen soll.
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Hallo Boris_partys,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sorry für die falsche Darstellung. Die letzte Gleichung,
> die Du dargestellt hast, ist die Form, ja richtig.
> Hab ich da überhaupt keine Chance. Irgendwie muss das
> gehen, weil in der Aufgabe klar gestellt wurde, dass ich h
> als funktion von D und t berechnen soll.
Um auf die Lösungen der gegebenen Gleichung zu kommen,
ohne die vorhandenen Formeln zu benutzen, substituiere zunächst
so:
[mm]h=\xi+\bruch{b}{\xi}[/mm]
Dabei ist das b so zu wählen, daß nach der Substitution die Koeffizienten
vor [mm]\xi[/mm] bzw. [mm]\bruch{1}{\xi}[/mm] zu Null werden.
Dann erhältst Du eine Gleichung der Bauart:
[mm]\alpha*\xi^{6}+\beta*\xi^{3}+\gamma=0[/mm]
Substituiere wiederum: [mm]z=\xi^{3}[/mm]
So erhältst Du eine quadratische Gleichung in z.
Letztendlich ist man so auf die Lösungsformeln
einer kubischen Gleichung gekommen.
Gruss
MathePower
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Da komme ich jetzt leider gar nicht mehr mit. Warum auch immer. Aber habe ich nachher eine quadratische Gleichung als Lösung?
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Hallo Boris_partys,
> Da komme ich jetzt leider gar nicht mehr mit. Warum auch
> immer. Aber habe ich nachher eine quadratische Gleichung
> als Lösung?
Zunächst löst Du die quadratische Gleichung in z,
diese hat die Lösungen [mm]z_{1}, \ z_{2}[/mm]
Rücksubstitution liefert:
[mm]\xi_{1,2,3}=\wurzel[3]{z_{1}}[/mm]
[mm]\xi_{4,5,6}=\wurzel[3]{z_{2}}[/mm]
Dann ist [mm]h_{k}=\xi_{k}+\bruch{b}{\xi_{k}}, \ k=1,2,3,4,5,6[/mm]
Wobei hier doppelte Lösungen vorkommen.
Gruss
MathePower
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Leider werde ich daraus nicht schlau. Es tut mir echt leid. Kann es nicht sein, dass ich immer nur eine Lösung für h bekomme? Ich soll z.B. h als funktion von t in einem Graphen darstellen. Ist das möglich, bei mehreren Lösungen? Weil ich ja schon eine reduzierte Form der kubischen Gleichung habe könnte ich doch die cardanischen Formeln einsetzen? Nur hier ist Bedingung, dass wenn D>0 ich eine reele und zwei Imaginäre Lösungen habe. Mir scheint, ich kann wirklich nicht H(t, D)= . . . . auflösen!?
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> Leider werde ich daraus nicht schlau. Es tut mir echt leid.
> Kann es nicht sein, dass ich immer nur eine Lösung für h
> bekomme?
Hallo,
hast Du den von MathePower vorgeschlagenen Weg denn einfach mal ausprobiert?
Wenn ja: wie weit bist Du? Welche Ergebnisse? Welche Probleme?
Wenn nein: warum nicht? (Keine Angst vor Irrwegen! Man verliert etwas Zeit, gewinnt aber meist Erkenntnisse.)
Rein vom Durchlesen werd' ich bei sowas meist auch nicht schlau. Manches kapiert man dann beim Tun.
Gruß v. Angela
> Ich soll z.B. h als funktion von t in einem
> Graphen darstellen. Ist das möglich, bei mehreren
> Lösungen? Weil ich ja schon eine reduzierte Form der
> kubischen Gleichung habe könnte ich doch die cardanischen
> Formeln einsetzen? Nur hier ist Bedingung, dass wenn D>0
> ich eine reele und zwei Imaginäre Lösungen habe. Mir
> scheint, ich kann wirklich nicht H(t, D)= . . . .
> auflösen!?
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> Leider werde ich daraus nicht schlau. Es tut mir echt leid.
> Kann es nicht sein, dass ich immer nur eine Lösung für h
> bekomme? Ich soll z.B. h als funktion von t in einem
> Graphen darstellen. Ist das möglich, bei mehreren
> Lösungen? Weil ich ja schon eine reduzierte Form der
> kubischen Gleichung habe könnte ich doch die cardanischen
> Formeln einsetzen? Nur hier ist Bedingung, dass wenn D>0
> ich eine reele und zwei Imaginäre Lösungen habe. Mir
> scheint, ich kann wirklich nicht H(t, D)= . . . .
> auflösen!?
Hallo Boris,
für deine Aufgabe ist natürlich nur die reelle Lösung
interessant, und davon gibt es bei der Gleichung
$ [mm] t=\frac{h}{2}+\frac{2h^{3}}{3D^{2}} [/mm] $
auch nur genau eine, da t eine streng monotone
Funktion von h ist.
Ich habe die Auflösung durchgeführt und bin auf
folgendes Rezept gekommen, das ich hier doch noch
angeben will:
Setze $\ [mm] s:=3\,t\qquad F:=\left(\frac{D}{2}\right)^2\qquad M:=\sqrt[3]{F*\left(s+\sqrt{F+s^2}\ \right)}$
[/mm]
Dann ist $\ h\ =\ [mm] M-\frac{F}{M}$
[/mm]
oder, in eine einzige Formel zusammengepackt:
$\ h\ =\ [mm] \sqrt[3]{\frac{D^2}{4}*\left(3\,t+\sqrt{\frac{D^2}{4}+9\,t^2}\ \right)}\ [/mm] \ -\ [mm] \frac{\frac{D^2}{4}}{\sqrt[3]{\frac{D^2}{4}*\left(3\,t+\sqrt{\frac{D^2}{4}+9\,t^2}\ \right)}}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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> Wo ist die gegebene Gleichung denn kubisch? Und nach
> welcher Variable willst du diese auflösen?
Hallo Marius,
in h ist die Gleichung wirklich kubisch. Und es soll wohl
darum gehen, genau nach h aufzulösen.
LG Al-Chw.
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Ja, genau darum geht es. Nach h aufzulösen, damit ich anschließend einen Grafen zeichnen kann mit f(D,t)...
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> Ja, genau darum geht es. Nach h aufzulösen, damit ich
> anschließend einen Grafen zeichnen kann mit f(D,t)...
Man kann sich klar machen, dass (bei gegebenem Wert
von D mit [mm] D\not=0) [/mm] die Zuordnung [mm] h\mapsto{t} [/mm] streng monoton ist.
Daraus kann man schließen, dass die umgekehrte
Zuordnung eindeutig ist. Die Lösung sollte (mittels
cardanischen Formeln bzw. mit der von MathePower
angegebenen Substitution) jedenfalls machbar sein.
LG Al-Chw.
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Die Cardanische Formeln würden mir 3 Lösungen liefern. Eine davon ist reell und zwei Komplex. Da bei mir D>0 wäre. Kann das sein, dass meine Funktion dann einfach die Addition von 2 "Wurzeltermen" nach den Cardanischen Formeln wäre? z1=u*v ??
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> Die Cardanische Formeln würden mir 3 Lösungen liefern.
> Eine davon ist reell und zwei Komplex. Da bei mir D>0
> wäre. Kann das sein, dass meine Funktion dann einfach die
> Addition von 2 "Wurzeltermen" nach den Cardanischen Formeln
> wäre? z1=u*v ??
Hallo,
.
Wohl eher [mm] z_1=u+v.
[/mm]
Dann müßte man noch zurücksubstituieren.
Ich finde dieses "würde" und "könnte sein" immer etwas anstrengend.
Mach es doch einfach mal und guck nach, ob's funktioniert.
Es kann ja nichts passieren, außer daß Du feststellst: funktioniert nicht.
Gruß v. Angela
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