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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:18 Fr 20.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo.
Ich verstehe das mit dem Kroneckersymbol überhaupt nicht. Also erst einmal haben wir zu dem Thema folgende Formeln bekommen:
$\vec{e}_i \times \vec{e}_j = \summe_{k=1}^{3}\varepsilon_{ijk}\vec{e}_k $
$(\vec{a} \times \vec{b}) = \summe_{j,k=1}^{3}\varepsilon_{ijk}a_jb_k $
Warum sind das hier bei der zweiten Formel dann keine Vektoren mehr?
Aber weiter zu meinen Fragen.
ich weiß, dass $\varepsilon_{ijk}=\vec{e}_i({\vec{e}_j\times\vec{e}_k)$ ist.
Wenn ich das einmal in die erste Formel einsetze, bekomme ich
$\vec{e}_i \times \vec{e}_j = \summe_{k=1}^{3}(\vec{e}_i({\vec{e}_j\times\vec{e}_k))\vec{e}_k $
Und wie kann man das weitervereinfachen?
Wie funktionieren diese Formeln überhaupt? Ich meine, was kann ich damit berechnen?
Wir hatten diese Formeln im Zusammenhang mit dem antisemmetrischen Tensor 3.Stufe. So ganz habe ich den Nutzen der Formeln aber nicht verstanden.
Kann wer helfen`????
Grüße
Johann
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Zu deiner ersten Frage: Ich denke, in der Formel fehlt ein [mm] \vec{e}_i, [/mm] dann paßt's auch.
Ob du deine letzte Gleichung vereinfachen kannst? Ich weiß nicht...
Zum Sinn des ganzen:
Du kennst das Skalarprodukt. Das kannst du ja auch als Matrix-Funktion schreiben:
[mm] $\vec [/mm] a [mm] *\vec b=\vec a\pmat{1&0\\0&1}\vec [/mm] b$
Es gibt viele Anwendungen, wo es gut ist, daß man das als solche Funktion hat. Beispielsweise könntest du jetzt in ein anderes, nicht rechtwinkliges Koordinatensystem übergehen und fragen, wie das Skalarprodukt dort aussieht. Es soll natürlich die gleichen Werte liefern!
Das Transformieren eines Vektors geht über eine Matrix, und für eine Funktion, also für eine Matrix braucht man zwei Transformationsmatrizen.
Man kann das dann alles zusammenrechnen, und erhält wieder so eine Matrix, die dann das Skalarprodukt berechnet - allerdings ist das dann nicht mehr die Einheitsmatrix!
Und genau das selbe möchte man evtl ja auch mit dem Kreuzprodukt machen - also in einem nicht rechtwinkligen Koordinatensystem das Kreuzprodukt berechnen, sodaß das Resultat doch senkrecht auf den Ausgangsvektoren steht.
Auch das geht mit einer Matrix, allerdings ist das eine 3x3x3-Matrix, und deren Elemente sind genau die [mm] \epsilon_{ijk}.
[/mm]
Mit dreidimensionalen Matrizen zu rechnen, ist von der Vorstellung her nicht grade einfach, deshalb beschränkt man sich gleich auf den Index-Formalismus.
Du kannst ja auch das Skalarprodukt auf diese Art schreiben:
[mm] $\vec a*\vec b=\summe_{i,j=1}^3\delta_{ij}a_ib_j$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Fr 20.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo Event _ Horizon
> Zu deiner ersten Frage: Ich denke, in der Formel fehlt ein
> [mm]\vec{e}_i,[/mm] dann paßt's auch.
> Ob du deine letzte Gleichung vereinfachen kannst? Ich weiß
> nicht...
In welcher Formel fehlt das [mm] \vec{e}_i? [/mm] Kannst du mir mal sagen, wie es richtig lauten müsste?
Meinst du das so?
$ [mm] (\vec{a} \times \vec{b})*\vec{e_i} [/mm] = [mm] \summe_{j,k=1}^{3}\varepsilon_{ijk}a_jb_k [/mm] $
Den Rest muss ich erst einmal sacken lassen und darüber nachdenken
Klingt aber schon einmal alles gut. Danke.
Grüße
Phoney
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 Do 16.11.2006 | | Autor: | otto.euler |
Ich kenne das Kronecker-Symbol [mm] \delta_{ij} [/mm] als Kurzschreibweise für:
[mm] \delta_{ij} [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } i\not=j \\ 1, & \mbox{für} i=j \end{cases}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 20.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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