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| Aufgabe | | [mm] A=r^{2}*arccos(1-\bruch{h}{r})-\wurzel{2rh-h^{2}}*(r-h) [/mm] |
Hallo Leute,
die Formel dient der Berechnung der Fläche eines Kreissegmentes. Leider habe ich es bis jetzt, aufgrund des Arkuskosinus, nicht geschafft die Formel nach "h" aufzulösen. Kann mir jemand weiterhelfen?
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Vielen Dank im Voraus!
Beste Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 So 26.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Ich fürchte, diese Formel ist analytisch nicht nach h auflösbar, und du musst hier mit einem Näherungsverfahren arbeiten.
Woher stammt diese Formel denn? Was ist das h beim Kreissegment?
Die bekanntere Formel ist:
[mm] A=\frac{\pi\cdot r^{2}\cdot\alpha}{360} [/mm]
Bzw, wenn du den Mittelpunktswinkel im Bogenmass angibst:
[mm] A=\frac{\pi\cdot r^{2}\cdot\alpha}{2\pi}=\frac{r^{2}\cdot\alpha}{2} [/mm]
Marius
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Hallo,
meine übergeordnete Überlegung ist folgende, ich möchte einen Kreis in 12, auf die Fläche bezogen, gleichgroße Abschnitte aufteilen. Allerdings sollen die Segmente durch zueinander parallel horizontale Linie getrennt werden. Also keine Kuchenstücke. Mein Ansatz ist das ich die Formel zur Berechnung eines Kreissegmentes (http://de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment) verwende um mir mit Hilfe von [mm] h_{1} [/mm] die erste Position einer Parallelen zu berechnen. Die Fläche eines 1/12 großen Kreissegmentes ist schließlich bekannt. Im nächsten Schritt wollte ich diese Rechnung wiederholen, diesmal mit der 2-fachen Fläche. Die Höhe ergibt sich dann aus [mm] h_{ges}=h_{1}+h_{2}. [/mm] So wollte ich fortfahren bis ich schlussendlich die Position aller Parallelen bestimmt habe.
Da die ich die Formel nun aber nicht so einfach nach "h" umstellen kann ist dieser Ansatz hinfällig. Wie könnte eine weitere Berechnungsmethode aussehen?
Über eventuelle andere Ideen bin ich sehr dankbar.
Vielen Dank im Voraus!
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Deine Formel für die Segmentfläche ist korrekt. M.Rex hat das mit der Sektorfläche verwechselt.
Ich würde erst eine Substitution vornehmen:
[mm]t = 1 - \frac{h}{r}[/mm]
Dann schreibt sich die Formel für das Kreissegment so:
[mm]A = r^2 \left( \arccos(t) - t \sqrt{1 - t^2} \right)[/mm]
Du hast folglich die Gleichung
[mm]\arccos(t) - t \sqrt{1 - t^2} - \frac{\pi}{12} = 0[/mm]
zu lösen. Eine formelmäßige Lösung ist hier nicht möglich. Du kannst aber etwa das Newtonsche Verfahren verwenden. Nennen wir die linke Seite der Gleichung [mm]f(t)[/mm], dann ist
[mm]f'(t) = -2 \sqrt{1 - t^2}[/mm]
und die Rekursion nach Newton
[mm]t_{k+1} = t_k - \frac{f(t_k)}{f'(t_k)} \, , \ \ k \geq 0[/mm]
lautet hier konkret
[mm]t_{k+1} = \frac{1}{2} t_k + \frac{12 \arccos(t_k) - \pi}{24 \sqrt{1 - t_k^{\, 2}}}[/mm]
Mit [mm]t_0 = 0{,}5[/mm] findet man nach fünf Iterationen:
[mm]t \approx t_5 \approx 0{,}723998670937004[/mm]
Damit gilt
[mm]h \approx 0{,}27600 \cdot r[/mm]
Und so kannst du auch die andern Höhen ermitteln.
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