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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 So 03.09.2006 | | Autor: | amalie |
| Aufgabe | | M={x [mm] \in \IC [/mm] \ | |x+i| [mm] \ge [/mm] 2} Menge zeichnen |
Ich weiß bereits dass die Menge alle Zahlen beinhaltet die ausserhalb des Kreises befinden (Mittelpunkt bei (0,-1) r=2) ich verstehe aber nicht warum. Wann wären es denn alle Punkte innerhalb des Kreises und warum ist der Kreis auf der Imaginären Achse nach -1 verrückt.
Gibt es da eine allgemeine Formel wie man solche "Kreismengen" angeben kann ich habe in keinem Buch etwas dazu gefunden.
Vielen Dank für jegliche Hilfe (ich schreibe morgen früh Klausur)
Amalie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Amalie,
> [mm] $M=\{x \in \IC \ | |x+i| \ge 2\}$ [/mm] Menge zeichnen
> Ich weiß bereits dass die Menge alle Zahlen beinhaltet die
> ausserhalb des Kreises befinden (Mittelpunkt bei (0,-1)
> r=2)
Das ist richtig.
> ich verstehe aber nicht warum. Wann wären es denn alle
> Punkte innerhalb des Kreises und warum ist der Kreis auf
> der Imaginären Achse nach -1 verrückt.
> Gibt es da eine allgemeine Formel wie man solche
> "Kreismengen" angeben kann ich habe in keinem Buch etwas
> dazu gefunden.
Dass M diesen Kreis beschreibt ist leicht einzusehen:
Der Betrag einer komplexen Zahl ist ja sozusagen die Länge des Vektors $(x,y)$, wenn man diesen in die Gauß'sche Zahlenebene einzeichnet:
[mm] $|z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}$
[/mm]
Deswegen kann man den Betrag einer Differenz zweier komplexer Zahlen [mm] $z_1=x_1+iy_1$ [/mm] und [mm] $z_2=x_2+iy_2$ [/mm] auffassen als den Abstand der zugehörigen Punkte in der Gauß'schen Zahlenebene:
[mm] $|z_1-z_2|=\ldots=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
[/mm]
Diese Formel dürfte Dir noch aus der Schule bekannt sein.
Deswegen gibt der Term $|z+i|=|z-(-i)|$ nichts anderes an, als den Abstand der komplexen Zahl $z$ von der komplexen Zahl $-i$.
Die Gleichung $|z+i|=2$ beschreibt deswegen alle Zahlen $z$, die den Abstand 2 von der Zahl $-i$ haben.
Jetzt dürfte auch klar sein, warum [mm] $|z+i|\ge2$ [/mm] alle Zahlen $z$ beschreibt, die ausserhalb des Kreises liegen (übrigens wegen = auch alle Punkte, die genau auf der Kreislinie liegen).
Eine allgemeine Formel für Kreise ist leicht aufzustellen:
Es sei [mm] $m\in\IC$ [/mm] der Mittelpunkt des Kreises, und $r$ der Radius.
Kreislinie = [mm] $\{z\in\IC\ :\ |z-m|=r\}$
[/mm]
das Innere des Kreises = [mm] $\{z\in\IC\ :\ |z-m|
Kreisscheibe = [mm] $\{z\in\IC\ :\ |z-m|\le r\}$
[/mm]
das Äußere des Kreises = [mm] $\{z\in\IC\ :\ |z-m|>r\}$
[/mm]
das Äußere des Kreises inkl. der Kreislinie = [mm] $\{z\in\IC\ :\ |z-m|\ge r\}$
[/mm]
> Vielen Dank für jegliche Hilfe (ich schreibe morgen früh
> Klausur)
Viel Glück!
Gruß, Frusciante
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 So 03.09.2006 | | Autor: | amalie |
Herzlichen dank!
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