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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 Di 15.04.2008 | | Autor: | Kueken |
| Aufgabe | | Bestimme die beiden Ursprungsgeraden, die aus dem Kreis k: [mm] (x-3)^{2}+(y-2)^{2}=2 [/mm] Sehnen der Länge 2 ausschneiden. |
Hi!
Hab mir die letzte Nacht nen Wolf gerechnet, aber hatte nie ein Ergebnis *jammer*
Habe erstmal die allgemeinen Geradengleichungen aufgestellt
[mm] g_{1}: [/mm] y=ax
[mm] g_{2}: [/mm] y=bx
Dann hab ich noch die Abstandsformel benutzt:
2= [mm] \wurzel{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}
[/mm]
hab erstmal von g1 das y in die Kreisgleichung eingesetzt und hatte dann einen Hammerausdruck für x1 und x2
Das hab ich dann in der Hoffnung endlich a rauszukriegen in die Abstandsformel eingesetzt. Aber Pustekuchen, hab eine 6 Seiten Rechnung und immernoch kein Ergebnis.
Wie kann man das machen?
Vielen Dank für die Erlösung =) und liebe Grüße
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 Di 15.04.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Bestimme die beiden Ursprungsgeraden, die aus dem Kreis k:
> [mm](x-3)^{2}+(y-2)^{2}=2[/mm] Sehnen der Länge 2 ausschneiden.
> Hi!
> Hab mir die letzte Nacht nen Wolf gerechnet, aber hatte
> nie ein Ergebnis *jammer*
Arme Kerstin!
> Habe erstmal die allgemeinen Geradengleichungen
> aufgestellt
> [mm]g_{1}:[/mm] y=ax
> [mm]g_{2}:[/mm] y=bx
Eine reicht, du kriegst dann 2 Lös. für a.
> Dann hab ich noch die Abstandsformel benutzt:
> 2= [mm]\wurzel{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}[/mm]
>
> hab erstmal von g1 das y in die Kreisgleichung eingesetzt
> und hatte dann einen Hammerausdruck für x1 und x2
y1 und y2 brauchst durch natürlich auch, findest du durch Einsetzen der x'e in die Geradengl.
> Das hab ich dann in der Hoffnung endlich a rauszukriegen
> in die Abstandsformel eingesetzt. Aber Pustekuchen, hab
> eine 6 Seiten Rechnung und immernoch kein Ergebnis.
Verschteh ich nich... Die Differenz der x-Werte ist doch die doppelte Wurzel aus der p-q-Formel, quadriert ergibt sich 4mal der Term unter der Wurzel, bei den y's ganz entsprechend.
Versuch's noch mal, ich rechne das auch.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Di 15.04.2008 | | Autor: | Kueken |
Hi!
Danke dir schonmal.
Aber hat wieder nicht gefunzt.
Ich stell mal meine Rechnung mit rein.
Hier hab ich jetzt nur das [mm] x_{1} [/mm] ausgerechnet.
Liebe Grüße
Kerstin
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Hallo Kueken,
ich habe mir deine Rechnungen kurz angeschaut.
Ein solcher rechnerischer Lösungsweg sollte sicher möglich sein; ich kann mir aber vorstellen, dass er recht kompliziert werden kann.
Es handelt sich ja eigentlich um eine geometrische Aufgabe, und vielleicht wäre eine geometrische Lösung viel anschaulicher.
Welchen Mittelpunkt und welchen Radius hat der Kreis?
Welche Sehnen des Kreises haben die gewünschte Länge?
Welche davon entsprechen Geraden mit Gleichungen der Form y = a x ?
Vielleicht helfen dir diese Tipps - ich will dich allerdings auch nicht davon abschrecken, den rechnerischen Weg zu versuchen.
Gruss Al-Ch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Di 15.04.2008 | | Autor: | Kueken |
Hi!
Die Eine Skizze habe ich in meinem Buch zu dieser Aufgabe. Also ich soll hier die rechnerische Lösung bringen.
Ich meine, was der Mittelpunkt ist und der radius sieht man ja an der Kreisgleichung. Ich weiß nur nicht was diese beiden mit den Geraden zu tun haben...
Vielleicht gibt es ja auch noch einen einfacheren Weg...
Liebe Grüße
Kerstin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Di 15.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Kueken
Zeichne in den Kreis mit radius [mm] \wurzel{2} [/mm] mal ne Sehne der Länge 2 ein, verbinde die enden mit dem Mittelpunkt. dann ist [mm] 2=\wurzel{2}^2+\wurzel{2}^2
[/mm]
Die Senkrechte auf die Sehne=Höhe [mm] h^2=1*1 [/mm] h=1 (Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck.
Du suchst also ne Gerade y=ax, die Tangente an den Kreis mit Radius 1 ist und demselben Mittelpunkt! und das kannst du ja schon.
Dein Weg ist nicht falsch, sondern nur zu umständlich.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Di 15.04.2008 | | Autor: | Kueken |
Hab mit Müh und not jetzt ein bisschen was verstanden, aber ich kriegs mit den Tangenten nicht hin...ahhh...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Di 15.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch schon fast alles.
Nur jetzt den Kreis [mm] (x-3)^2+(y-2)^2=1 [/mm] mit y=ax schneiden (das hattest du doch schon richtig nur mit 2 statt 1, in deiner Gleichung kommt 10 statt der 11 in der ersten Wurzel) dann darf die Gleichung nur eine Lösung haben, d.h. der Ausdruck unter der Wurzel muss =0 sein.
das gibt ne quadratische Gleichung für a und deine 2 gesuchten a.
Gruss leduart
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Hallo Kueken,
deine Rechnungen werden so schwer, weil du die Loesungen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] nicht als eine Einheit betrachtest.
Eine moegliche Loesung funktioniert (unabhaengig von den geometrischen Betrachtungen nach) folgendem Muster.
1. Man setzt $y=mx$ an und ersetzt so das y in der Kreisgleichung.
2. Man kann mit der Loesungsformel fuer quadratische Gleichungen die x-Werte [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] der beiden Schnittpunkte von Ursprungsgerade und Kreis bestimmen. Die Loesungen sind etwas lang, das macht aber nix.
3. Der Abstand zwischen den Schnittpunkten in x-Richtung ist [mm] $x_2-x_1$, [/mm] da bleibt also nur der Wurzelterm uebrig. (Allgemein ist bei einer quadratischen Gleichung die Differenz der Wurzeln [mm] $\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$.)
[/mm]
4. Wegen $y=mx$ ist der Abstand zwischen den Schnittpunkten in y-Richtung m-mal so gross, wie der Abstand in x-Richtung, d.h.
[mm] $y_2-y_1=m\cdot(x_2-x_1)$.
[/mm]
5. Wenn du den Abstand der beiden Schnittpunkte von Kreis und Gerade mit $d$ bezeichnest, dann gilt ja wegen Pythagoras [mm] $d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$.
[/mm]
6. Wenn du alle vorherigen Schritte durchgefuehrt hast, dann hast du jetzt eine quadratische Gleichung in $m$, mit der du die beiden gesuchten Steigungen berechnen kannst.
Hugo
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Hallo Kueken,
die "geometrische" Lösung, die ich vorschlagen würde, wird am Ende natürlich ebenfalls rechnerisch durchgeführt. Der Weg über die Schnittgleichung von Kreis und Gerade wird wirklich so kompliziert, wie du schon erfahren hast.
Ein weiterer Tipp:
Überleg' dir, welchen Abstand [mm] d [/mm] vom Kreismittelpunkt eine Sehne der Länge 2 haben muss.
Die Geraden, die gesucht sind, sind jene, die durch [mm] O(0/0) [/mm] laufen und vom Kreismittelpunkt den Abstand [mm] d [/mm] haben.
Gruss Al-Ch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Di 15.04.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Ich stell mal meine Rechnung mit rein.
Das sieht soweit OK aus. Ich hab am Ende
[mm] a^{4} [/mm] + [mm] 7a^{3} [/mm] - [mm] 3a^{2} [/mm] - 10a +3 = 0
aber ohne Gewähr. Das Ding müßte dann mindestens 2 reelle Nullstellen haben, evtl. mmehr, weil es ja von einer Wurzelgl. stammt.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Di 15.04.2008 | | Autor: | Kueken |
ich hab einen ähnlichen Ausdruck heute nacht raus gehabt. Aber ein paar andere Zahlen vor den a's. Aber wer weiß was ich mir da ausgebrütet habe.
Hab dann aber nicht da weiter gemacht, weil ich nicht wußte wie...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Di 15.04.2008 | | Autor: | statler |
Wenn da wirklich so'n Brummer rauskommt, dann brauchst du Computer-Software oder ein Näherungsverfahren wie z. B. Newton.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Di 15.04.2008 | | Autor: | Kueken |
och nee, das kann ich doch nicht...
das kann doch nicht sein, dass so ne aufgabe in nem schulbuch steht...
also ich weiß wie diese Geraden heißen sollen aus dem Lösungsbuch dazu. Nur leider fehlen da die Rechenwege...
Aber vielen dank für deine Mühe!!!
Liebe Grüße
Kerstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Di 15.04.2008 | | Autor: | statler |
Ich glaub ich hab's! Der Radius ist ja [mm] \wurzel{2}, [/mm] was zur Folge hat, daß die gesuchten Geraden vom Mittelpunkt den Abstand 1 haben. Das Dreieck im Kreis ist rechtwinklig und gleichschenklig. Hilft das? Ja! Man muß die Tangenten an den Kreis mit gleichem MP und Radius 1, die durch den Ursprung gehen, suchen.
Diese wüste Gleichung zerfällt in 2 quadratische Gleichungen, was man so mit bloßem Auge nicht sieht.
Sind die beiden Steigungen [mm] \bruch{3}{4} \pm \bruch{1}{4}*\wurzel{3}?
[/mm]
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Di 15.04.2008 | | Autor: | Kueken |
ich weiß noch nicht so ganz... bin am überlegen =)
aber wie kommt man da auf den Abstand 1?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Di 15.04.2008 | | Autor: | statler |
Deswegen:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 Di 15.04.2008 | | Autor: | Kueken |
ich kam jetzt grad noch nicht mit... muss erst mal verstehen was du meinst. Die Geraden heißen
g1: [mm] (3-4\wurzel{3})x+(2+6\wurzel{3})y=0
[/mm]
g2: [mm] (3+4\wurzel{3})x+(2-6\wurzel{3})y=0
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:09 Di 15.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Komme auf die selben Steigungen. Schöne Variante, um die Aufgabe zu lösen :) Die Geradengleichungen habe ich dann mit der Hesseschen Normalenform berechnet. Ist ja wie dafür gemacht!
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Ja, das war die Idee.
Geometrische Aufgaben löst man oft mit Vorteil durch geometrisch motivierte Methoden.
Gruss an alle. Al-Ch.
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Hallo Dieter,
ich glaub, die Gleichung 4. Grades war nicht korrekt. Sie hat zwar vier reelle Lösungen, aber keine passt mit den richtigen Werten überein...
Al-Ch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Di 15.04.2008 | | Autor: | Kueken |
Also ich habs nu doch endlich geschafft!
Und wollt mich nochmal bedanken für die Zangengeburt bei der ihr mir geholfen habt *g*
Ihr seid echt der Renner! Dankeschön!
Liebe Grüße
KErstin
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