Kreis,offen,wegzusammenhängend < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Mo 05.10.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | 1)Warum ist die Kreisscheibe [mm] B_r(c):=\{z \in \mathbb{C}: |z-c|
2) Sei U [mm] \subseteq \mathbb{C} [/mm] offen. Dann folgt aus U zusammenhängend, dass U wegzusammenhängend ist. |
Hallo,
1)
Praktisch ist das natürlich klar, aber wie beweist man das?
Eine Teilmenge X [mm] \subseteq \mathbb{C} [/mm] heißt wegzusammenhängend falls je zwei Punkte [mm] z_1, z_2 \in [/mm] X durch eine stetige Kurve in X verbunden werden können.
Seien x,y [mm] \in B_r [/mm] (c).
D.h. |x-c|<r [mm] \wedge [/mm] |y-c|<r
Ich hätte nun gedacht den Weg zu wählen von x zum Mittelpunkt c und dann zum Punkt y.
[mm] \gamma_1:[a_1,b_1] \rightarrow \matbb{C}, \gamma_1(a_1)=x, \gamma_1(b_1)=c [/mm]
[mm] \gamma_2:[a_2, b_2] \rightarrow \mathbb{C}, \gamma_2(a_2)=c, \gamma_2(b_2)=y [/mm]
[mm] (\gamma_1 [/mm] + [mm] \gamma_2) [/mm] (t) := [mm] \begin{cases} \gamma_1(t), & \mbox{für } t \in [a_1,b_1] \\ \gamma_2(t+a_2-b_1), & \mbox{für } t \in [b_1, b_1+b_2-a_2] \end{cases}
[/mm]
Nach Definition von der Verkettung zweier Wege.
Nun reicht ja zuzeigen, dass für geeignete Wege gilt [mm] \gamma_1[a_1,b_1] \subseteq [/mm] X, [mm] \gamma_2[a_2,b_2] \subseteq [/mm] X und, dass die jeweils stetig sind.
Ich denke am einfachsten ist es 0,1 für die [mm] a_i, b_i [/mm] zu wählen und die Verbindungsstrecke [mm] \gamma_1(t)=(1-t)x [/mm] + tc.
Aber so richtig wie ich das auschreiben und beweisen soll weiß ich noch nicht.
2)
Sei [mm] x_0 \in [/mm] U beliebig.
Sei [mm] C_{x_0} [/mm] die Menge der Punkte, mit denen man einen stetigen Weg von [mm] x_0 [/mm] zu dem Punkt bilden kann, der ganz in U ist.
gZZ.: [mm] C_{x_0}\not= \emptyset [/mm] ist abgeschlossen und offen
(Denn dann folgt aus U zsh: [mm] C_{x_0}=X)
[/mm]
-) [mm] C_{x_0} [/mm] abgeschlossen
Sei u [mm] \in [/mm] U [mm] \setminzs C_{x_0}, [/mm] so [mm] \exists \epsilon>0: [/mm] u [mm] \in B_{\epsilon}(u) \subseteq [/mm] U
Wäre [mm] B_{\epsilon}(u) \cap C_{x_0} \not= \emptyset [/mm] könnte ich einen Weg von u zum SChnittpunkt und anschließend zu [mm] x_0 [/mm] legen, so wäre aber u [mm] \in C_{x_0}. [/mm] Wid
[mm] \Rightarrow [/mm] u [mm] \in B_{\epsilon} [/mm] (u) [mm] \cap [/mm] U [mm] \setminus C_{x_0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] U [mm] \setminus C_{x_0} [/mm] offen
[mm] \Rightarrow C_{x_0} [/mm] abgeschlossen
-) [mm] C_{x_0} \not=0 [/mm] da [mm] x_0 \in C_{x_0}
[/mm]
-) [mm] C_{x_0} [/mm] offen
Sei x [mm] \in C_{x_0}
[/mm]
ZZ.: [mm] \exists \epsilon>0 [/mm] : [mm] B_\epsilon(x) \subseteq C_{x_0}
[/mm]
Da komme ich nicht so recht weiter...
Ich weiß nur [mm] \exists \epsilon>0: B_{\epsilon} (x_0) \subseteq [/mm] U, da U offen . [mm] B_\epsilon(x_0) \subseteq C_{x_0} [/mm] da nach oben [mm] B_{\epsilon} (x_0) [/mm] wegzusammenhängend ist und [mm] x_0 [/mm] enthält.
Aber wie funktioniert, dass für x [mm] \in C_{x_0} [/mm] beliebig?
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Di 06.10.2015 | | Autor: | hippias |
> 1)Warum ist die Kreisscheibe [mm]B_r(c):=\{z \in \mathbb{C}: |z-c|
> wegzusammenhängend in [mm]\mathbb{C}?[/mm]
>
> 2) Sei U [mm]\subseteq \mathbb{C}.[/mm] Dann folgt aus U
> zusammenhängend, dass U wegzusammenhängend ist.
> Hallo,
>
> 1)
> Praktisch ist das natürlich klar, aber wie beweist man
> das?
> Eine Teilmenge X [mm]\subseteq \mathbb{C}[/mm] heißt
> wegzusammenhängend falls je zwei Punkte [mm]z_1, z_2 \in[/mm] X
> durch eine stetige Kurve in X verbunden werden können.
> Seien x,y [mm]\in B_r[/mm] (c).
> D.h. |x-c|<r [mm]\wedge[/mm] |y-c|<r
> Ich hätte nun gedacht den Weg zu wählen von x zum
> Mittelpunkt c und dann zum Punkt y.
> [mm]\gamma_1:[a_1,b_1] \rightarrow \matbb{C}, \gamma_1(a_1)=x, \gamma_1(b_1)=c[/mm]
> [mm]\gamma_2:[a_2, b_2] \rightarrow \mathbb{C}, \gamma_2(a_2)=c, \gamma_2(b_2)=y[/mm]
> [mm](\gamma_1[/mm] + [mm]\gamma_2)[/mm] (t) := [mm]\begin{cases} \gamma_1(t), & \mbox{für } t \in [a_1,b_1] \\ \gamma_2(t+a_2-b_1), & \mbox{für } t \in [b_1, b_1+b_2-a_2] \end{cases}[/mm]
>
> Nach Definition von der Verkettung zweier Wege.
>
> Nun reicht ja zuzeigen, dass für geeignete Wege gilt
> [mm]\gamma_1[a_1,b_1] \subseteq[/mm] X, [mm]\gamma_2[a_2,b_2] \subseteq[/mm]
> X und, dass die jeweils stetig sind.
> Ich denke am einfachsten ist es 0,1 für die [mm]a_i, b_i[/mm] zu
> wählen und die Verbindungsstrecke [mm]\gamma_1(t)=(1-t)x[/mm] +
> tc.
> Aber so richtig wie ich das auschreiben und beweisen soll
> weiß ich noch nicht.
Das sind alles zielfuehrende Ideen. Du hast bisher [mm] $\gamma_{1}:[0,1]\to \IC$ [/mm] mit [mm] $\gamma_1(t)=(1-t)x [/mm] + tc$. Du musst nun ueberpruefen:
1. [mm] $\gamma_{1}(0)=x$ [/mm] und [mm] $\gamma_{1}(1)=c$.
[/mm]
2. [mm] $\gamma_{1}$ [/mm] ist stetig.
3. [mm] $\gamma_{1}$ [/mm] verläuft in [mm] $B_{r}(c)$. [/mm] Dazu zeige, dass $|(1-t)x + [mm] tc-c|=\ldots [/mm] <r$ gilt.
>
> 2)
> Sei [mm]x_0 \in[/mm] U beliebig.
> Sei [mm]C_{x_0}[/mm] die Menge der Punkte, mit denen man einen
> stetigen Weg von [mm]x_0[/mm] zu dem Punkt bilden kann, der ganz in
> U ist.
Das ist ziemlich unklar formuliert. Mein Vorschlag: [mm] $C_{x_{0}}$ [/mm] ist die Menge aller Punkte von $U$, die sich mit [mm] $x_{0}$ [/mm] durch einen stetigen Weg in $U$ verbinden lassen.
> gZZ.: [mm]C_{x_0}\not= \emptyset[/mm] ist abgeschlossen und offen
> (Denn dann folgt aus U zsh: [mm]C_{x_0}=X)[/mm]
>
> -) [mm]C_{x_0}[/mm] abgeschlossen
> Sei u [mm]\in[/mm] U [mm]\setminzs C_{x_0},[/mm] so [mm]\exists \epsilon>0:[/mm] u
> [mm]\in B_{\epsilon}(u) \subseteq[/mm] U
> Wäre [mm]B_{\epsilon}(u) \cap C_{x_0} \not= \emptyset[/mm] könnte
> ich einen Weg von u zum SChnittpunkt und anschließend zu
> [mm]x_0[/mm] legen, so wäre aber u [mm]\in C_{x_0}.[/mm] Wid
> [mm]\Rightarrow[/mm] u [mm]\in B_{\epsilon}[/mm] (u) [mm]\cap[/mm] U [mm]\setminus C_{x_0}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] U [mm]\setminus C_{x_0}[/mm] offen
> [mm]\Rightarrow C_{x_0}[/mm] abgeschlossen
Das ist bis auf leichte Schreibfehler richtig.
>
> -) [mm]C_{x_0} \not=0[/mm] da [mm]x_0 \in C_{x_0}[/mm]
>
> -) [mm]C_{x_0}[/mm] offen
> Sei x [mm]\in C_{x_0}[/mm]
> ZZ.: [mm]\exists \epsilon>0[/mm] : [mm]B_\epsilon(x) \subseteq C_{x_0}[/mm]
>
> Da komme ich nicht so recht weiter...
> Ich weiß nur [mm]\exists \epsilon>0: B_{\epsilon} (x_0) \subseteq[/mm]
> U, da U offen . [mm]B_\epsilon(x_0) \subseteq C_{x_0}[/mm] da nach
> oben [mm]B_{\epsilon} (x_0)[/mm] wegzusammenhängend ist und [mm]x_0[/mm]
> enthält.
> Aber wie funktioniert, dass für x [mm]\in C_{x_0}[/mm] beliebig?
Das Problem scheint von der unsauberen Definition der Menge [mm] $C_{x_{0}}$ [/mm] herzuruehren. Es ist nach Definition [mm] $x\in [/mm] U$, also [mm] $B_{\epsilon}(x)\subseteq [/mm] U$. Damit solltest Du den Rest leicht hinbekommen.
>
> LG,
> sissi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Mi 21.10.2015 | | Autor: | sissile |
Vergessen Danke zu sagen!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:46 Di 06.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> 1)Warum ist die Kreisscheibe [mm]B_r(c):=\{z \in \mathbb{C}: |z-c|
> wegzusammenhängend in [mm]\mathbb{C}?[/mm]
Bei diesen Kreisscheiben kannst Du Dir das Leben einfacher machen: beide sind konvex !!
>
> 2) Sei U [mm]\subseteq \mathbb{C}.[/mm] Dann folgt aus U
> zusammenhängend, dass U wegzusammenhängend ist.
Nein. Das ist falsch !
Sei
[mm] $U:=\{x+i*sin(1/x): x>0\} \cup \{i*y: y \in [-1,1]\}$
[/mm]
U ist zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend !
FRED
> Hallo,
>
> 1)
> Praktisch ist das natürlich klar, aber wie beweist man
> das?
> Eine Teilmenge X [mm]\subseteq \mathbb{C}[/mm] heißt
> wegzusammenhängend falls je zwei Punkte [mm]z_1, z_2 \in[/mm] X
> durch eine stetige Kurve in X verbunden werden können.
> Seien x,y [mm]\in B_r[/mm] (c).
> D.h. |x-c|<r [mm]\wedge[/mm] |y-c|<r
> Ich hätte nun gedacht den Weg zu wählen von x zum
> Mittelpunkt c und dann zum Punkt y.
> [mm]\gamma_1:[a_1,b_1] \rightarrow \matbb{C}, \gamma_1(a_1)=x, \gamma_1(b_1)=c[/mm]
> [mm]\gamma_2:[a_2, b_2] \rightarrow \mathbb{C}, \gamma_2(a_2)=c, \gamma_2(b_2)=y[/mm]
> [mm](\gamma_1[/mm] + [mm]\gamma_2)[/mm] (t) := [mm]\begin{cases} \gamma_1(t), & \mbox{für } t \in [a_1,b_1] \\ \gamma_2(t+a_2-b_1), & \mbox{für } t \in [b_1, b_1+b_2-a_2] \end{cases}[/mm]
>
> Nach Definition von der Verkettung zweier Wege.
>
> Nun reicht ja zuzeigen, dass für geeignete Wege gilt
> [mm]\gamma_1[a_1,b_1] \subseteq[/mm] X, [mm]\gamma_2[a_2,b_2] \subseteq[/mm]
> X und, dass die jeweils stetig sind.
> Ich denke am einfachsten ist es 0,1 für die [mm]a_i, b_i[/mm] zu
> wählen und die Verbindungsstrecke [mm]\gamma_1(t)=(1-t)x[/mm] +
> tc.
> Aber so richtig wie ich das auschreiben und beweisen soll
> weiß ich noch nicht.
>
> 2)
> Sei [mm]x_0 \in[/mm] U beliebig.
> Sei [mm]C_{x_0}[/mm] die Menge der Punkte, mit denen man einen
> stetigen Weg von [mm]x_0[/mm] zu dem Punkt bilden kann, der ganz in
> U ist.
> gZZ.: [mm]C_{x_0}\not= \emptyset[/mm] ist abgeschlossen und offen
> (Denn dann folgt aus U zsh: [mm]C_{x_0}=X)[/mm]
>
> -) [mm]C_{x_0}[/mm] abgeschlossen
> Sei u [mm]\in[/mm] U [mm]\setminzs C_{x_0},[/mm] so [mm]\exists \epsilon>0:[/mm] u
> [mm]\in B_{\epsilon}(u) \subseteq[/mm] U
> Wäre [mm]B_{\epsilon}(u) \cap C_{x_0} \not= \emptyset[/mm] könnte
> ich einen Weg von u zum SChnittpunkt und anschließend zu
> [mm]x_0[/mm] legen, so wäre aber u [mm]\in C_{x_0}.[/mm] Wid
> [mm]\Rightarrow[/mm] u [mm]\in B_{\epsilon}[/mm] (u) [mm]\cap[/mm] U [mm]\setminus C_{x_0}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] U [mm]\setminus C_{x_0}[/mm] offen
> [mm]\Rightarrow C_{x_0}[/mm] abgeschlossen
>
> -) [mm]C_{x_0} \not=0[/mm] da [mm]x_0 \in C_{x_0}[/mm]
>
> -) [mm]C_{x_0}[/mm] offen
> Sei x [mm]\in C_{x_0}[/mm]
> ZZ.: [mm]\exists \epsilon>0[/mm] : [mm]B_\epsilon(x) \subseteq C_{x_0}[/mm]
>
> Da komme ich nicht so recht weiter...
> Ich weiß nur [mm]\exists \epsilon>0: B_{\epsilon} (x_0) \subseteq[/mm]
> U, da U offen . [mm]B_\epsilon(x_0) \subseteq C_{x_0}[/mm] da nach
> oben [mm]B_{\epsilon} (x_0)[/mm] wegzusammenhängend ist und [mm]x_0[/mm]
> enthält.
> Aber wie funktioniert, dass für x [mm]\in C_{x_0}[/mm] beliebig?
>
> LG,
> sissi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Mi 21.10.2015 | | Autor: | sissile |
Danke, das Wort offen ist natürlich entscheident;)
LG,
sissi
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