Kreis/Gerade Quadrik < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:15 Sa 06.04.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Zeige, dass jeder Kreis bzw. Gerade in [mm] \IC [/mm] als Nullstellenmenge einer Quadrik in [mm] \IC [/mm] P (Projektive Raum) geschrieben werden kann, und dass umgekehrt die Nullstellenmenge jeder solchen QUadrik ein Kreis bzw. eine Gerade ist. |
Hallo
Definitionen der Vorlesung:
Eine QUadrik in [mm] \IC [/mm] P ist eine Nullstellenmenge einer hermitschen Form:
[mm] \pmat{ \overline{z} & \overline{\omega} } \pmat{ \alpha & \beta \\ \gamma & \delta } \vektor{z \\ \omega} [/mm] =0
[mm] \alpha, \beta, \gamma, \delta \in \IC
[/mm]
Geradengleichung: ax+by =c
Kreisgleichung: [mm] |z-z_o|^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
[mm] \pmat{ \overline{z} & \overline{\omega} } \pmat{ \alpha & \beta \\ \gamma & \delta } \vektor{z \\ \omega} [/mm] =0
[mm] \alpha |z|^2 [/mm] + [mm] \gamma |\omega|^2 [/mm] + [mm] \overline{z} \beta [/mm] w + [mm] \overline{\omega} \gamma [/mm] z =0
Ich erkenne da weder geraden noch kreis gleichung..
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EDIT: Die erste Richtung habe ich komplett mir fehlt der zweite Teil.
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Hallo sissile !
Ganz ohne in Details zu gehen:
ich zweifle etwas daran, dass als Nullstellenmengen
wirklich nur Kreise und Geraden in Frage kommen
sollen. Sollten da nicht beispielsweise auch Ellipsen
und andere Kegelschnitte in Frage kommen ?
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Sa 06.04.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
Im projektiven Raum sind Kreise, Hyperbelln, Ellipsen und Parabeln dasselbe, der unterschied ist salopp gesagt ja nur wieviel im unendlichen liegt.
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> Hallo
> Im projektiven Raum sind Kreise, Hyperbeln, Ellipsen und
> Parabeln dasselbe, der Unterschied ist salopp gesagt ja nur,
> wieviel im Unendlichen liegt.
Aha, OK
ich habe offenbar nicht geschnallt, was das "P" besagen
sollte !
LG , Al
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(Frage) überfällig | | Datum: | 21:14 Sa 06.04.2013 | | Autor: | sissile |
1 Ansatz:
ax+by =c
[mm] \vektor{a \\ b }\vektor{x \\ y} [/mm] =c
[mm] \vektor{a \\ b }\vektor{Re(z) \\ Im(z)} [/mm] =c
[mm] \vektor{a \\ b }\vektor{\frac{z + \overline{z}}{2} \\ \frac{z - \overline{z}}{2i}} [/mm] =c
z durch [mm] z/\omega [/mm] ersetzten (homogenisieren)
[mm] \vektor{a \\ b }\vektor{\frac{z/\omega + \overline{z}/\overline{\omega}}{2} \\ \frac{z/\omega - \overline{z}/\overline{\omega}}{2i}} [/mm] =c
ai ( [mm] \overline{\omega} [/mm] z + [mm] \overline{z} \omega [/mm] ) + b (z [mm] \overline{\omega} -\overline{z} \omega) [/mm] = 2i [mm] \omega \overline{\omega} [/mm] c
z [mm] \overline{\omega} [/mm] *(ai+b) + [mm] \overline{z} \omega [/mm] (ai-b)- 2 i [mm] \omega \overline{\omega} [/mm] c=0
Hätte die gewünschte Form.
Aber.. darf ich das alles so machen?
Ich habe es am anfang als Vektoren geschrieben (man kann ja [mm] \IC [/mm] als [mm] \IR^2 [/mm] auffassen) und daraus wollte ich interpretieren, dass es sich um Real und Imaginärteil handelt. Darf ich das so interpretieren?Wie kann ich das besser begründen?
Was mache ich wenn [mm] \omega=0 [/mm] ist? Ich dachte im projektiven Raum nimt man [mm] \infty [/mm] auch als Punkt an und es ist kein problem?
Trotzdem weiß ich nicht so recht..
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
> 1 Ansatz:
> ax+by =c
> [mm]\vektor{a \\ b }\vektor{x \\ y}[/mm] =c
> [mm]\vektor{a \\ b }\vektor{Re(z) \\ Im(z)}[/mm] =c
> [mm]\vektor{a \\ b }\vektor{\frac{z + \overline{z}}{2} \\ \frac{z - \overline{z}}{2i}}[/mm]
> =c
> z durch [mm]z/\omega[/mm] ersetzten (homogenisieren)
> [mm]\vektor{a \\ b }\vektor{\frac{z/\omega + \overline{z}/\overline{\omega}}{2} \\ \frac{z/\omega - \overline{z}/\overline{\omega}}{2i}}[/mm]
> =c
> ai ( [mm]\overline{\omega}[/mm] z + [mm]\overline{z} \omega[/mm] ) + b (z
> [mm]\overline{\omega} -\overline{z} \omega)[/mm] = 2i [mm]\omega \overline{\omega}[/mm]
> c
> z [mm]\overline{\omega}[/mm] *(ai+b) + [mm]\overline{z} \omega[/mm] (ai-b)-
> 2 i [mm]\omega \overline{\omega}[/mm] c=0
>
> Hätte die gewünschte Form.
> Aber.. darf ich das alles so machen?
> Ich habe es am anfang als Vektoren geschrieben (man kann
> ja [mm]\IC[/mm] als [mm]\IR^2[/mm] auffassen)
man kann C mit [mm] \IR^{2} [/mm] identifizieren ja.
und daraus wollte ich
> interpretieren, dass es sich um Real und Imaginärteil
> handelt. Darf ich das so interpretieren?Wie kann ich das
> besser begründen?
> Was mache ich wenn [mm]\omega=0[/mm] ist? Ich dachte im projektiven
> Raum nimt man [mm]\infty[/mm] auch als Punkt an und es ist kein
> problem?
Also in der projektiven Geometrie sagt man es gibt Fernpunkte , also einen "unendlich" weit entfernten Punkt . Dennoch ist es immer mühsam etwas uenendichem Sinn zu verleihen und damit zu arbeiten. Aber ja du hast recht hier gestaltet sich das "Umgehen" damit leichter als in einem anderen Raum
lg THomas
> Trotzdem weiß ich nicht so recht..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Mo 08.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mo 08.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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