Kovarianz abhängiger ZV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:10 So 30.01.2011 | | Autor: | Naima |
| Aufgabe | Es sei $u = u(v) [mm] \in C^2(\IR_+,\IR)$ [/mm] mit $u'>0, u''<0, [mm] \limes_{v\rightarrow 0} u'=\infty [/mm] , [mm] \limes_{v\rightarrow\infty}u'=0 [/mm] $
und $v(X): [mm] [\underline{X},\overline{X}] \rightarrow \IR_+$ [/mm] mit $v(X):= r [mm] \cdot [/mm] X+ q [mm] \cdot \max(X-p,0)$,
[/mm]
wobei [mm] $X:\Omega\rightarrow[\underline{X},\overline{X}] [/mm] $ eine Zufallsvariable ist
Zeige, dass für [mm] $p\in [\underline{X},\overline{X}]$ [/mm] fest, $r,q [mm] \in \IR$, [/mm] folgendes gilt:
1. [mm] $\upshape{cov}(u'(v(X)),X)=0 \Rightarrow [/mm] r<0, q>0$ oder $r>0,q<0$ oder $r=q=0$
2. [mm] $\upshape{cov}(u'(v(X)),max(X-p,0))>0 \Rightarrow$ [/mm] $q<0$ |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich bin am verzweifeln und wäre sooooo dankbar wenn mir jemand helfen könnte!
Ich habe schon umstellen etc. ausprobiert, aber ich komme einfach nicht weiter!
Ein Freund von mir meinte, dass ich einfach u'(v(x)) nach x ableiten soll und dann muss es ein Intervall geben, in dem u'(v(x)) steigt und eins in dem es fällt, damit wäre das dann gezeigt.
Und für die 2. Aufgabe analog!
Da kommt dann auch das richtige heraus, allerdings kann ich mir nicht vorstellen, dass man das einfach so daraus schließen kann (Insbesondere beim 2. Teil)! Ich habe im Internet schon alles durchsucht, aber nichts gefunden, dass mir zeigt dass das einfach so geht! Und ich habe auch keinen anderen Weg gefunden um das zu beweisen!
Bin für jede Idee dankbar 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Mo 31.01.2011 | | Autor: | gfm |
> Zeige, dass folgendes gilt:
> 1. cov(u'(v(x)),x)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] r<0, q>0 oder r>0, q<0
> oder r=q=0
> 2. cov(u'(v(x)),max(x-p,0))>0 [mm]\Rightarrow[/mm] q <0
> mit u'>0, u''<0, [mm]u'\rightarrow \infty (v\rightarrow0), u'\rightarrow0 (v\rightarrow\infty),[/mm]
>
> v=r*x+q*max(x-p,0),
> x ist Zufallsvariable, q ist Konstante
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
>
> Ich bin am verzweifeln und wäre sooooo dankbar wenn mir
> jemand helfen könnte!
>
> Ich habe schon umstellen etc. ausprobiert, aber ich komme
> einfach nicht weiter!
>
> Ein Freund von mir meinte, dass ich einfach u'(v(x)) nach x
> ableiten soll und dann muss es ein Intervall geben, in dem
> u'(v(x)) steigt und eins in dem es fällt, damit wäre das
> dann gezeigt.
> Und für die 2. Aufgabe analog!
>
> Da kommt dann auch das richtige heraus, allerdings kann ich
> mir nicht vorstellen, dass man das einfach so daraus
> schließen kann (Insbesondere beim 2. Teil)! Ich habe im
> Internet schon alles durchsucht, aber nichts gefunden, dass
> mir zeigt dass das einfach so geht! Und ich habe auch
> keinen anderen Weg gefunden um das zu beweisen!
>
Magst Du mal bitte alle auftretenden Größen exakt und ausführlich definieren und auch die zu beweisenden Aussagen exakt und ausführlich formulieren?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 Di 01.02.2011 | | Autor: | Naima |
Sorry, die Aufgabe stammt aus der BWL, da wird ja nicht so viel Wert auf Bezeichnungen gelegt.. ich hab es mal versucht mathematisch korrekt aufzuschreiben. Falls noch Notierungsfehler bestehen bitte drauf hinweisen!
Es sei $u = u(v) [mm] \in C^2(\IR_+,\IR)$ [/mm] mit $u'>0, u''<0, [mm] \limes_{v\rightarrow 0} u'=\infty [/mm] , [mm] \limes_{v\rightarrow\infty}u'=0 [/mm] $
und $v(X): [mm] [\underline{X},\overline{X}] \rightarrow \IR_+$ [/mm] mit $v(X):= r [mm] \cdot [/mm] X+ q [mm] \cdot \max(X-p,0)$,
[/mm]
wobei [mm] $X:\Omega\rightarrow[\underline{X},\overline{X}] [/mm] $ eine Zufallsvariable ist (muss ich dazu noch mehr angeben?)
Zeige, dass für [mm] $p\in [\underline{X},\overline{X}]$ [/mm] fest, $r,q [mm] \in \IR$, [/mm] folgendes gilt:
1. [mm] $\upshape{cov}(u'(v(X)),X)=0 \Rightarrow [/mm] r<0, q>0$ oder $r>0,q<0$ oder $r=q=0$
2. [mm] $\upshape{cov}(u'(v(X)),max(X-p,0))>0 \Rightarrow$ [/mm] $q<0$
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:49 Mi 02.02.2011 | | Autor: | gfm |
> Es sei [mm]u = u(v) \in C^2(\IR_+,\IR)[/mm] mit [mm]u'>0, u''<0, \limes_{v\rightarrow 0} u'=\infty , \limes_{v\rightarrow\infty}u'=0[/mm]
> und [mm]v(X): [\underline{X},\overline{X}] \rightarrow \IR_+[/mm]
> mit [mm]v(X):= r \cdot X+ q \cdot \max(X-p,0)[/mm],
> wobei
> [mm]X:\Omega\rightarrow[\underline{X},\overline{X}][/mm] eine
> Zufallsvariable ist
>
> Zeige, dass für [mm]p\in [\underline{X},\overline{X}][/mm] fest,
> [mm]r,q \in \IR[/mm], folgendes gilt:
> 1. [mm]\upshape{cov}(u'(v(X)),X)=0 \Rightarrow r<0, q>0[/mm] oder
> [mm]r>0,q<0[/mm] oder [mm]r=q=0[/mm]
> 2. [mm]\upshape{cov}(u'(v(X)),max(X-p,0))>0 \Rightarrow[/mm] [mm]q<0[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
>
> Ich bin am verzweifeln und wäre sooooo dankbar wenn mir
> jemand helfen könnte!
>
> Ich habe schon umstellen etc. ausprobiert, aber ich komme
> einfach nicht weiter!
>
> Ein Freund von mir meinte, dass ich einfach u'(v(x)) nach x
> ableiten soll und dann muss es ein Intervall geben, in dem
> u'(v(x)) steigt und eins in dem es fällt, damit wäre das
> dann gezeigt.
> Und für die 2. Aufgabe analog!
>
> Da kommt dann auch das richtige heraus, allerdings kann ich
> mir nicht vorstellen, dass man das einfach so daraus
> schließen kann (Insbesondere beim 2. Teil)! Ich habe im
> Internet schon alles durchsucht, aber nichts gefunden, dass
> mir zeigt dass das einfach so geht! Und ich habe auch
> keinen anderen Weg gefunden um das zu beweisen!
>
Schreib doch bitte mal den Beweis mit dem Hinweis des Freundes konkret auf.
LG
gfm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Do 03.02.2011 | | Autor: | Naima |
Zu 1.
[mm] \upshape{cov}(u'(v(X)),X)=0 \gdw [/mm]
a)u'(v(X)) = const [mm] \forall [/mm] X [mm] \gdw [/mm] (u'(v(X)))' = 0 [mm] \forall [/mm] X , oder
b) [mm] \exists [/mm] zwei Intervalle [mm] [a,b],[c,d]\in [\underline{X},\overline{X}] [/mm] so, dass gilt u'(v(X)) streng monoton steigend für X in [a,b] und u'(v(X)) streng monoton fallend für X in [c,d].
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \exists [/mm] zwei Intervalle [a,b],[c,d] [mm] \in [\underline{X},\overline{X}] [/mm] so, dass gilt (u'(v(X)))'>0 für X in [a,b] und $(u'(v(X)))'<0 für X in [c,d].
Allgemein gilt:
für X [mm] \in [\underline{X},p]:
[/mm]
(u'(v(X)))' = u''(v(X)) [mm] \cdot [/mm] v'(X) = u''(v(X)) [mm] \cdot [/mm] r
für X [mm] \in [/mm] [p, [mm] \overline{X}]:
[/mm]
(u'(v(X)))' = u''(v(X)) [mm] \cdot [/mm] v'(X) = u''(v(X)) [mm] \cdot [/mm] (r + q),
Zu a) (u'(v(X)))' = 0 [mm] \gdw [/mm] r = 0 [mm] \wedge [/mm] (r + q) = 0 (da u''>0 gegeben)
[mm] \Rightarrow [/mm] r,q = 0. [mm] \Box
[/mm]
Zu b) (u'(v(X)))' ><0 für X [mm] \in [\underline{X},p] \Rightarrow [/mm] r <>0
(u'(v(X)))' ><0 für X [mm] \in [\underline{X},p] \stackrel{!}{\gdw} [/mm] (u'(v(X)))' <>0 für X [mm] \in [/mm] [p, [mm] \overline{X}] \Rightarrow [/mm] r+q ><0
[mm] \Rightarrow [/mm] q ><0. [mm] \Box
[/mm]
Zu 2.
[mm] \upshape{cov}(u'(v(X)),max(X-p,0))>0 \gdw \frac{\partial u'(v(X))}{\partial max(X-p,0)}>0 \forallX.
[/mm]
[mm] \frac{\partial u'(v(X))}{\partial max(X-p,0)}=u''(v(X)) \cdot [/mm] q
Mit u''(v(X))<0 folgt: q <0. [mm] \Box
[/mm]
Mein Problem dabei ist, dass ich nicht verstehe, warum oder ob man das so mit der Ableitung machen kann, ich mir deshalb auch nicht vorstellen kann das das so einfach geht und ich keine ähnlichen Beweise gefunden habe...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Fr 04.02.2011 | | Autor: | gfm |
> Zu 1.
> [mm]\upshape{cov}(u'(v(X)),X)=0 \gdw[/mm]
> a)u'(v(X)) = const [mm]\forall[/mm] X [mm]\gdw[/mm] (u'(v(X)))' = 0 [mm]\forall[/mm] X
Wieso soll u'(v(X)) eine konstante Zufallsvariable sein? Und wie ist die Ableitung der Zufallsvariablen u'(v(X)) definiert?
Das macht für mich gar keinen Sinn.
Und dann noch eins zur Aufgabenstellung. Es ist von v die Rede als Funktion in die positiven Zahlen. Die Formel in der Definition stellt das aber nicht sicher.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Sa 05.02.2011 | | Autor: | Naima |
> Wieso soll u'(v(X)) eine konstante Zufallsvariable sein?
Die Aussage ist folgende:
Die Kovarianz ist Null, wenn entweder a) u'(v(X)) konstant ist oder b) es zwei Intervalle gibt ...
Und ein Stück weiter unten steht dann, dass u'(v(X)) genau dann konstant ist, wenn die Ableitung Null ist und daraus folgt dann, dass r und q Null sein müssen!
> Und wie ist die Ableitung der Zufallsvariablen u'(v(X))
> definiert?
Die Ableitung der Zufallsvariablen u'(v(X)) steht für [mm] \frac{\partial u(v(X))}{\partial v(X)}
[/mm]
> Und dann noch eins zur Aufgabenstellung. Es ist von v die
> Rede als Funktion in die positiven Zahlen. Die Formel in
> der Definition stellt das aber nicht sicher.
Oh, das hab ich wohl übersehen. Ich werde mir mal Gedanken dazu machen. Für mich macht auf jeden Fall die Nutzenfunktionsdefinition u nur Sinn für positives v, aber du hast recht, das ist nicht gegeben...
LG
und danke schonmal
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 21:20 Mo 07.02.2011 | | Autor: | gfm |
> > Wieso soll u'(v(X)) eine konstante Zufallsvariable sein?
>
> Die Aussage ist folgende:
> Die Kovarianz ist Null, wenn entweder a) u'(v(X)) konstant
> ist oder b) es zwei Intervalle gibt ...
> Und ein Stück weiter unten steht dann, dass u'(v(X))
> genau dann konstant ist, wenn die Ableitung Null ist und
> daraus folgt dann, dass r und q Null sein müssen!
>
>
> > Und wie ist die Ableitung der Zufallsvariablen u'(v(X))
> > definiert?
>
> Die Ableitung der Zufallsvariablen u'(v(X)) steht für
> [mm]\frac{\partial u(v(X))}{\partial v(X)}[/mm]
Nun [mm]u'(v(X))[/mm] könnte man noch als [mm]u'\circ v\circ X[/mm]deuten. Was ist dann aber [mm](u'(v(X)))'[/mm] ?
Und laut voraussetzung ist [mm]u''<0[/mm]. Wie kann das dann mit den zwei Intervallen zusammenpassen, auf denen [mm]u''[/mm] unterschiedliches Vorzeichen haben soll?
[mm]COV(X,Y)=0[/mm] bedeutet erst einmal nur [mm]E(X*Y)=E(X)*E(Y)[/mm] oder ausgeschrieben
[mm]\integral_\Omega X*YdP=\integral_\Omega XdP*\integral_\Omega YdP[/mm]
Hier sollte man in die Voraussetzung also auch noch einfügen, dass die auftretenden Integrale/Erwartungswerte existieren.
Und wenn $Y$ eine Funktion von $X$ ist, $Y=g(X)$, heißt das
[mm]\integral_\Omega g(X)*XdP=\integral_\Omega g(X)dP*\integral_\Omega XdP[/mm]
bzw.
[mm]\integral_\IR g(x)*xdF(x)=\integral_\IR g(x)dF(x)*\integral_\IR xdF(x)[/mm]
wobei $F$ die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen $X$ bezeichne.
Hier ist nun [mm]g=u'\circ v[/mm] mit $v(x):= r [mm] \cdot [/mm] x+ q [mm] \cdot \max(x-p,0)$ [/mm] sowie einem zweimal stetig diff'baren $u$
mit $u'>0$, $u''<0$, [mm] $\lim_{t\to\infty} [/mm] u'(t)=0$ und [mm] $\lim_{t\to0} u'(t)=\infty$:
[/mm]
[mm]\integral_\IR u'(v(x))*xdF(x)=\integral_\IR u'(v(x))dF(x)*\integral_\IR xdF(x)[/mm]
Hier würde ich persönlich mich über partielle Integration beim Riemann-Stieltjes/Lebesgue-Stieltjes-Integral schlau machen und prüfen, ob das weiterhilft.
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Mi 09.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Mo 28.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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