Kovarianz, Unkorreliert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Finden Sie ein Beispiel für zwei Zufallsvariablen X, Y die unkorreliert, aber nicht unabhängig sind. |
Hi, habe dazu mal folgendes Beispiel im Internet gefunden.
Betrachten wir den Grundraum [mm] \Omega=\{1,2,3,4 \} [/mm] mit X,Y [mm] \in \Omega.
[/mm]
Mit [mm] P(1)=P(2)=\bruch{2}{5} [/mm] und [mm] P(3)=P(4)=\bruch{1}{10}.
[/mm]
X und Y seinen Zufallsvariablen mit:
X(1)=1, Y(1)=-1
X(2)=-1, Y(2)=1
X(3)=2, Y(3)=2
X(4)=-2, Y(4)=-2
Man erhält, dass Cov(X,Y)=0 ist und [mm] P(X=1,Y=1)=\bruch{2}{5} \not= \bruch{4}{25}=P(X=1)P(Y=1)
[/mm]
So, habe zu dieser Lösung mal eine Frage:
[mm] P(1)=P(2)=\bruch{2}{5} [/mm] , das bedeutet doch, dass die W für 1,2 gleich [mm] \bruch{2}{5} [/mm] beträgt, richtig??
Aber was bedeutet jetzt eigentlich X(1)=1, Y(1)=-1, X(2)=-1, Y(2)=1 und wieso können da eigentlich negative Zahlen herauskommen? dachte, dass W. immer positiv sein müssen..
Danke für Erklärungen.
Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 So 17.01.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Steve,
> Finden Sie ein Beispiel für zwei Zufallsvariablen X, Y die
> unkorreliert, aber nicht unabhängig sind.
> Hi, habe dazu mal folgendes Beispiel im Internet
> gefunden.
>
> Betrachten wir den Grundraum [mm]\Omega=\{1,2,3,4 \}[/mm] mit X,Y
> [mm]\in \Omega.[/mm]
>
> Mit [mm]P(1)=P(2)=\bruch{2}{5}[/mm] und [mm]P(3)=P(4)=\bruch{1}{10}.[/mm]
>
> X und Y seinen Zufallsvariablen mit:
>
> X(1)=1, Y(1)=-1
> X(2)=-1, Y(2)=1
> X(3)=2, Y(3)=2
> X(4)=-2, Y(4)=-2
>
> Man erhält, dass Cov(X,Y)=0 ist und
> [mm]P(X=1,Y=1)=\bruch{2}{5} \not= \bruch{4}{25}=P(X=1)P(Y=1)[/mm]
>
> So, habe zu dieser Lösung mal eine Frage:
>
> [mm]P(1)=P(2)=\bruch{2}{5}[/mm] , das bedeutet doch, dass die W für
> 1,2 gleich [mm]\bruch{2}{5}[/mm] beträgt, richtig??
Kurze Antwort :Ja, stimmt.
Je nachdem,wie ausführlich ihr in der Vorlesung seid, führe ich noch etwas aus,hoffentlich erkennst du einige Begriffe wieder:
Es soll ein Wahrscheinlichkeitsraum festgelegt werden . Dazu braucht man 3 Dinge :
1) Den Ergebnisraum [mm] \Omega, [/mm] seine Elemente nennt man Elementarereignisse.
2) Die Menge der Ereignisse, auf [mm] \Omega, [/mm] das ist eine Sigma Algebra
3) Ein W'keitsmass ,grob heisst das, jedem Ereignis muss man eine Zahl(seine Wahrscheinlichkeit) zwischen 0 und 1 zuordnen können
[mm] 1)\Omega [/mm] hast du angegeben,
2) die Menge der Ereignisse ist bei diskretem [mm] \Omega [/mm] gerade die Potenzmenge von [mm] \Omega
[/mm]
3) und indem man die W'keiten für die Elemente aus [mm] \Omega [/mm] angibt, hat man das W'keitsmass festgelegt.
>
> Aber was bedeutet jetzt eigentlich X(1)=1, Y(1)=-1,
> X(2)=-1, Y(2)=1 und wieso können da eigentlich negative
> Zahlen herauskommen? dachte, dass W. immer positiv sein
> müssen..
>
> Danke für Erklärungen.
>
> Grüße
Kurz:
Mit X(1) ist keine W'keit gemeint, sondern das Bild des Elementarereignisses '1' unter der Zufallsvariablen (=Abbildung mit gewissen Eigenschaften) X
Hier eine unmathematische Ausführung:
Zufallsvariable, sind erstmal nur Abbildungen(mit gewissen Eigenschaften), zwischen [mm] \Omega [/mm] und einem Zielraum [mm] \Omega', [/mm] (häufig [mm] \IR). [/mm] , d.h. deine ZV X bzw. Y ist eine Abbildung, die jedem Element aus [mm] \Omega [/mm] ein Element aus einem Zielbereich [mm] \Omega' [/mm] (hier zB {-2;-1;1;2}),zuordnet.
Aus [mm] \Omega', [/mm] der Potenzmenge von [mm] \Omega' [/mm] und einem neuen W'keitsmass,möchte man jetzt wieder einen andern W'keitsraum festlegen.
W'keiten (für Ereignisse, zB. -1) auf diesem Raum,werden festgelegt,indem man betrachtet, wie Wahrscheinlich es ist, dass die ZV diesen Wert annimmt (das durch die ZV transportierte Mass)
Ich hoffe, ich hab dich nicht noch mehr verwirrt.Falls ihr Begriffe wie Sigmaalgebra, Messraum, Massraum, W'keitsraum, transportiertes Mass usw. noch nicht hattet, belaste dich nicht damit, die kurze Antwort genügt dir dann hoffentlich als Erläuterung.
LG Walde
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 So 17.01.2010 | | Autor: | jaruleking |
Hi, super vielen Dank für deine ausführliche Erklärung. Den einzigen Begriff, den wir noch nicht haben ist: transportierte Mass.
Aber dennoch alles jetzt verstanden.
Grüße
|
|
|
|
