Kovarianz Normalverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | A und B sind standardnormalverteilt und unabhängig. Gesucht ist die Kovarianz von A und A + B. |
Was ist A + B? Ist das eine simple Addition wegen der Unabhängigkeit oder muss ich die bedingte Funktion da noch reinbringen oder ist es
[mm] \bruch{1}{2Pi}exp -(a^2+b^2). [/mm]
Ich hoffe, Ihr könnt mir helfen... und tut mir leid wegen dem Zeitdruck ;-(
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:07 Do 20.12.2007 | | Autor: | Zorba |
Du musst zuerst die Verteilung von A+B und die von A(A+B) berechnen, das muss in beiden Fällen nicht unbedingt die Standardnormalverteilung sein(ist aber möglich)
Dann nimmst du die Formel für die Kovarianz und setzt dort die Erwartungswerte der jeweiligen Verteilung ein.
Also: Kov(A,A+B)= E(A(A+B)) - E(A)E(A+B)
Hier nun die Erwartungswerte der jeweiligen Verteilung einsetzen.
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Um ehrlich zu sein, die theoretische Vorgehensweise ist mir jetzt schon klar. Bei mir scheitert es leider an deinem ersten Satz: Wie kann ich denn A(A+B) und A+B berechnen?
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> Um ehrlich zu sein, die theoretische Vorgehensweise ist mir
> jetzt schon klar. Bei mir scheitert es leider an deinem
> ersten Satz: Wie kann ich denn A(A+B) und A+B berechnen?
Du musst ja nicht direkt diese Zufallsvariablen "berechnen", sondern etwa $E(A+B)$. Wegen der Linearität des Erwartungswertes ist $E(A+B)=E(A)+E(B)$.
Dann musst Du noch $E(A(A+B))$ berechnen. Dies ist gleich [mm] $E(A^2+AB)$. [/mm] Wegen der Unabhängigkeit von $A$ und $B$ ist aber [mm] $E(AB)=E(A)\cdot [/mm] E(B)$.
Und nun benutzt Du einfach, dass Du die Verteilung von $A$ und $B$ kennst, insbesondere also $E(A)$, $E(B)$ und [mm] $\mathrm{var}(A)=E(A^2)-E(A)^2$.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:17 Do 20.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin KarlOttoBerlin,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Nutze doch die alte Bauernregel: [mm] $\operatorname{Cov}[A,A+B]=\operatorname{Cov}[A,A]+\operatorname{Cov}[A,B]=\operatorname{Var}[A]=1$.
[/mm]
vg Luis
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Vielen, vielen Dank für diese "Bauernregel". Hast du einen Link, wo sie hergeleitet wird... würde mich interessieren...
Beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Do 20.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> Hast du einen
> Link, wo sie hergeleitet wird... würde mich
> interessieren...
Das kann man schnell linklos einsehen: Seien $X,Y,Z$ Zufallsvariablen mit
[mm] $\operatorname{E}[X]= \operatorname{E}[Y]= \operatorname{E}[Z]= [/mm] 0$ (Das ist keine Einschraenkung, wie man sich leicht
ueberlegt und trifft auf deinen Fall ohnehin zu). Dann ist
[mm] $\operatorname{Cov}[X,Y+Z]=\operatorname{E}[X(Y+Z)]= \operatorname{E}[XY+XZ]= \operatorname{E}[XY]+\operatorname{E}[XY]= \operatorname{Cov}[X,Y]+\operatorname{Cov}[X,Z]$.
[/mm]
vg Luis
PS: Fuers Archiv: Sind $U,V,X,Y$ Zufallsvariablen und [mm] $a,b,c,d,e,f\in\IR$ [/mm] Zahlen, so ist
[mm] $\operatorname{Cov}[a+bU+cV,d+eX+fY]=be\operatorname{Cov}[U,X]+bf\operatorname{Cov}[U,Y]+ce\operatorname{Cov}[V,X]+cf\operatorname{Cov}[V,Y]$.
[/mm]
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