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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Fr 16.09.2005 | | Autor: | Skydiver |
Hallo.
Weiß nicht wirklich wie ich folgendes Beispiel lösen soll:
Berechnen sie die Kovarianz und den Korellationskoeffizienten der Zufallsgrößen X1 = x und X2 = x + y bezüglich der Rechtecksverteilung auf [mm] [0,1]^2.
[/mm]
Nun ist das einzige was ich zu diesem Beispiel weiß die Formel für die Kovarianz, jedoch verstehe ich nicht, wie ich diese nun auf dieses Beispiel anwenden soll.
V(X1,X2) = E[(X1-EX1)*(X2-EX2)], wobei E für Erwartungswert steht.
oder V(X1,X2) = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} \int_ {-\infty}^{\infty} [/mm] (x1-µ1) * (x2-µ2) [mm] f_{X1,X2}(x1,x2) \, dx1\,dx2 [/mm] worin [mm] f_{X1,X2}(x1,x2) [/mm] für die Wahrscheinlichkeitsdichte steht, wobei ich wiederum nicht wüsste wie ich die berechnen sollte.
Vielen Dank für jede Hilfe!
mfg.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Fr 16.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Es gilt für die Dichte einer [mm] $R([0,1]^2)$-verteilter [/mm] Zufallsvariablen [mm] $(Y_1,Y_2)$:
[/mm]
[mm] $f_{(Y_1,Y_2)}(y_1,y_2) [/mm] = [mm] \left\{ \begin{array}{cc} 1 & \mbox{für}\ (y_1,y_2) \in [0,1]^2 , \\[5pt] 0 & \mbox{sonst} \end{array} \right.$ [/mm]
Außerdem haben wir für [mm] $X_1=Y_1$
[/mm]
[mm] $E[X_1] [/mm] = [mm] \int\limits_0^1 y_1 \, dy_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
und für [mm] $X_2=Y_1+Y_2$
[/mm]
[mm] $E[X_2] [/mm] = [mm] \int\limits_0^1 \int\limits_0^1 (y_1+y_2)\, dy_1dy_2 [/mm] =1$.
Damit erhalten wir:
[mm] $Cov(X_1,X_2) [/mm] = [mm] \int\limits_0^1 \int\limits_0^1 \left( y_1 - \frac{1}{2} \right) \cdot \left( y_1 +y_2 - 1 \right) \, dy_1\, dy_2$.
[/mm]
Das solltest du jetzt selber ausrechnen können... 
Man könnte auch erst [mm] $Cov(Y_1,Y_2)$ [/mm] berechnen und dann die Linearität ausnutzen:
[mm] $Cov(X_1,X_2) [/mm] = [mm] Cov(Y_1,Y_1+Y_2) [/mm] = [mm] Var(Y_1) [/mm] + [mm] Cov(Y_1,Y_2)$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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